Algebra Lineare e Geometria

ALGEBRA

1^o ANNO

Teoria + esempi esercizi

ALGEBRA

1^o ANNO

Teoria + esempi esercizi

ALGBRA

Definizione campo:

Un insieme che possiede due operazioni, somma e prodotto, le quali soddisfano le seguenti propriet:

• somma: associativa
• commutativa
• esiste un opposto
• esiste elemento neutro → 0+a=a LO ZERO
• prodotto: associativa
• commutativa
• distributiva
• esiste elemento neutro → 1⋅a=a L'UNO

Dire uno _se K ^un' nostro campo, che può essere _come , ^o , ma non per disturberemo.

Definizione spazio vettoriale

Uno spazio vettoriale su un campo K, ^un insieme che chiameremo V dotato di 2 operazioni:

• somma di vettori: v+w V → associativa
• commutativa
• esiste a posto
• esiste elemento neutro → O ^{tale che} v+O=V
• prodotto per scalare: ^{avV →} associativo
• commutativa
• esiste elemento neutro
• esiste _elemento neutro → 1/V=V

Sia V sp. vettoriale su K. Presi i vettori V ¹ ... v V ^, e gli scalari d ₁ ...dr ^∈ K, il vettore adv V ₁ +...+dx Vr ^si chiama ^combination lineare dei vettore V ¹ ...V con coefficienti dura...dr.

Definizione combinazione lineare

Sia V sp. vettoriale su K. I vettori v ₁...vr ^si dicano LINEARMENTE INDIPENDIENTI ^se l'unica combinazione lineare dei vettori V ₁ ...vr ^è = ₀ ^è uella a coefficienti _subi NULL!

Cioè 0 v ¹+0v ... vr=0. Seranno diverse dipendenti se possono scrivere come comb. linare con almeno 1 coefficiente con motion.

OSSERVAZIONE:

Se uno del vettor v _a ^se uno vettoro nullo, all'ora essi sono DIPENDENTI sempre, perché avendo datato dri tutorial anche se tutti gli tre of facilitare ⁰, da altro view posso mettersi ^uno _ad pon ^moo.

ESERCIZI:

Quando nei datain de vectore vedere se sone linemente indipendenti, ^deve potrei

dv1+dv2+v3... = _da ^equazione che il ^tutti _gli coefficienti ^a aree o lettere ^{valgono diverso} _dax . ^Se loro ^tutii _{mu 0}non, significano NO.

Teorema combinazione lineare

Dei vettor sono linariamente dipendenti ^se e ^use uno di essi si passo scrivere come combinazione linieare dei rimanenti

• _V³ = dvV5 + dv4 + dv7t

OSSERVAZIONE:

Se due vettor sono tipo

• v ₁ = ^(0/6)
• v ₂ = ^(4/2)

C modo che sono uno il doppi d'altra, all'ora so già che

sono linearmente independenti.

ESERCIZIO:

Se miani da un voltore come in questo V t, pur vape se appartenere ad V,

due vantage e posso scrivere come ^combi(^come) ^adare