Algebra Lineare e Geometria

ALGEBRA

1^o ANNO

Teoria + esempi esercizi

Algebra

Definizione campo:

È un insieme che possiede due operazioni, somma e prodotto, le quali soddisfano le seguenti proprietà:

• Somma: associativa
• commutativa
• esiste un opposto → a + (-a) = 0
• esiste elemento neutro → 0 + a = a LO ZERO

• Prodotto: associativa
• commutativa
• distributiva
• esiste elemento neutro → 1.a = a L'UNO

D'ora in poi K sarà il nostro campo, che può essere Q, R, o C, se non pio distinguere.

Definizione spazio vettoriale:

Uno spazio vettoriale su un campo K, è un insieme che chiameremo V dotato di 2 operazioni:

• Somma di vettori: v + u ∈ V
• associativa
• commutativa
• esiste il opposto O' tale che v + O' = v
• prodotto per scalare: a v ∈ V
• esiste elemento neutro → 1/v = v

Definizione combinazione lineare:

Sia V sp. vettoriale su K. Presi i vettori v₁... v_r ∈ V, e per scalari d₁... d_r ∈ K, il vettore d₁v₁ + d₂v₂ + ... + d_rv si chiama combinazione lineare dei vettori v₁... v_r a coefficienti d₁... d_r.

Definizione: linearmente indipendenti

Sia V sp. vettoriale su K. I vettori v₁... v_r si dicono LINEARMENTE INDIPENDENTI se l'unica combinazione lineare dei v₁... v_r = O è quella a coefficienti TUTTI NULLI (cioè 0.v₁ + 0.v₂... = O').

Se sono invece dipendenti si può scrivere come comb. lineare con almeno 1 coefficiente non nullo.

OSSERVAZIONE: Se i sono dei vettori da 2 a n, che vanno fino a uno stesso angolo, allora essi sono DIPENDENTI generalmente, perché usando una rotazione si ha di ottenere anche se tutti i pio il favore o, al ritorno proprio puoi mettere uno di non posso.

ESERCIZIO: Quando mi danno dei vettori devo vedere se sono linearmente indipendenti, devo porre come comb. lineare e porre i coefficienti a zero e ottenere i valori degli d_i. Se sono TUTTI ZERI sono linearmente indipendenti, altrimenti no.

Teorema combinazione lineare:

n vettori sono linearmente dipendenti se e solo se (↔) uno di essi si può scrivere come combinazione lineare dei rimanenti V₃ = d₁v₄ + d₄v₄ + d₄v₄ + d₄v₄.

OSSERVAZIONE: Se due vettori sono tipo v₁ = ( a ) e v₂ = ( 2 ) è modo che sono uno il doppio dell'altro allora lo già che sono sono lin. indipendenti.

ESERCIZIO: Se mi danno un vettore con immagine V_i, per vedere se appartiene ad V

devo vedere se si può scrivere come combinazione lineare con gli altri. Esempio:

V_t = d₁u₁ + d₄u₄ + d₃u₃ + d₄v₄ + d₄v₄ + d₄v₄.

ESERCIZIO: Se mi chiedono l'atequa o di un sottospazio pongo (X₁, X₂, X₃, X₄) = a₂U₁ + a₃U₂ + a₃U₃ dove gli abbia come base di il grado sottospazio.

Teorema

Sia f: V → W

Allora la dimensione di partenza [_{dimV = dimKerf + dimImmf}]

Usiamo n(ff) per indicare dimImmf.

f: R³→R²

Esercizio: Se mi chiedono dim base di Kerf Immf. Se vedo che f_i immagine di arrivo, mi ritrovo in dim di questo da cui parto, dominio ed Immf. Prendo un base del campo di partenza (R^m→Rⁿ ad es.), se m ha da 0 a 0 in es. Poi su ogni col vedo il vector (pol. lett.). Controllo se sto lin dep. (devo compendiar i do sol) e cerco nuove base di Imm. Se dim