Algebra lineare e Geometria (no coniche)

GEOMETRIA

SPAZI LINEARI ↔ EQUAZIONI LINEARI

Geometricamente

Algebricamente

ESEMPIO

Risoluzione di Sistemi Lineari

{ 3x + 3y = 2 x − y = 4

{ 3x + 3y = 2 x = y + 4

{ 3(y + 4) + 3y = 2 x = y + 4

{ y = -⁵/₃ x = y + 4

SCOPO

Trovare un algoritmo per risolvere, se possibile, i sistemi di equazioni lineari.

DEF:

Un'EQUAZIONE LINEARE è del tipo a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n = b dove a₁, ..., a_n, b ∈ R | n ∈ N x₁, ..., x_n incognite (tutte di grado 1)

DEF:

Una SOLUZIONE dell'equazione è una N-PLA di [ x₁, ..., x_n ∈ R ] tali che l'equazione sia un'uguaglianza

NOTAZIONE:

Se b = 0 l'equazione si dice OMOGENEASe b ≠ 0 l'equazione si dice NON OMOGENEA

Più in generale:

Un sistema di m equazioni in n incognite x₁, x_n eun numero finito di equazioni lineari che servivano

| a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = b₂ ... a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n = b_m

I coefficienti hanno 2 indici che indicano: - a che equazione appartengono - a che variabile appartengono

GEOMETRIA

SPAZI LINEARI <-> EQUAZIONI LINEARI

Geometricamente

Algebraicamente

ESEMPIO

Risoluzione di Sistemi Lineari

• {3x+3y=2
• x-y=4

• {3x+3y=2
• x=y+4

• {3(y+4)+3y=2
• x=y+4

• y=-⁵⁄₃
• x=7⁄3

SCOPO: Trovare un algoritmo per risolvere, se possibile, i sistemi di equazioni lineari.

DEF: Un'EQUAZIONE LINEARE è del tipo a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n = b

• a₁, ..., a_n, b ∈ ℜ, n ∈ ℕ n
• x₁, ..., x_n incognite (tutte di grado 1)

DEF: Una SOLUZIONE dell'equazione è una N-PLA di {x₁, ..., x_n ∈ ℜ} tali che l'equazione sia un'uguaglianza

NOTAZIONE:

• Se b=0 l'equazione si dice OMOGENEA
• Se b≠0 l'equazione si dice NON OMOGENEA

Più in generale: Un sistema di n equazioni in n incognite x₁, ..., x_n è un numero finito di equazioni lineari che scriviamo

• a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = b₁,
• a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = b₂,
• ...
• a_n1x₁ + a_n2x₂ + ... + a_nnx_n = b_n

I coefficienti hanno 2 indici che indicano:

• a che equazione appartengono
• a che variabile appartengono

Per alleggerire la notazione ci riferiamo (nei passaggi pratici) solamente dei coefficienti associati al sistema

DEF: Ci sono DUE MATRICI associate al sistema.

MATRICE INCOMPLETA 0 dei COEFFICIENTI

MATRICE COMPLETA

\[\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix}\]

\[\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} & b_{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} & b_{n} \\ \end{pmatrix}\]

ESEMPIO:

\[\begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_3 = 3 \\ x_1 + 3x_2 + 4x_3 = 1 \\ x_1 + x_3 = 2 \end{cases}\]

\[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}\]

\[A\]

\[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix}\]

\[A | b\]

DEF:

Una soluzione di un SISTEMA LINEARE è una k-pla di numeri reali: \( t_1, t_2, \ldots, t_m \in \mathbb{R} \) tali che \( t_1, \ldots, t_m \) è soluzione di OGNI equazione del sistema.

• Un sistema si dice COMPATIBILE se esiste una soluzione
• Un sistema si dice NON COMPATIBILE se non esiste una soluzione

PROPRIETÀ:

Un sistema si dice OMOGE