Algebra lineare e Geometria (no coniche)

GEOMETRIA

SPAZI LINEARI → EQUAZIONI LINEARI

Geometricamente

Algebricamente

ESEMPIO

Risoluzione di Sistemi Lineari

{3x + 3y = 2

x = y + 4

{3x + 3y = 2

x = y + 4

{3(y + 4) + 3y = 2

x = y + 4

{y = -5/3

x = 7/3

SCOPO: Trovare un algoritmo per risolvere, se possibile, i sistemi di equazioni lineari.

DEF: Un'_i equazione lineare è del tipo a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n = b, dove a₁, ... , a_n, b ∈ R, n ∈ N, x₁, ... , x_n incognite (dette di grado 1).

DEF: Una soluzione dell’equazione è una N-pla di {x₁, ..., x_n} ∈ R^N tali che l'equazione sia un'uguaglianza.

NOTAZIONE: Se b = 0 l'equazione si dice OMOGENEA.

Se b ≠ 0 l'equazione si dice NON OMOGENEA.

Più in generale: Un sistema di m equazioni in n incognite x₁, ..., x_n è un numero finito di equazioni lineari che si riducono a:

1. a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = b₁
2. a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = b₂
3. ...
4. a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n = b_m

I coefficienti hanno 2 indici che indicano:

• a che equazione appartengono
• a che variabile appartengono

Per alleggerire la notazione ci riduciamo (nei passaggi pratici) solamente dei coefficienti associati al sistema.

DEF:

Ci sono due matrici associate al sistema.

Matrice incompleta dei coefficienti

Matrice completa

ESEMPIO:

A

A|b

DEF:

Una soluzione di un sistema lineare è una n-pla di numeri reali: t₁, t₂,...t_n ∈ ℝ tali che t₁,...t_m è soluzione di ogni equazione del sistema.

• Un sistema si dice compatibile se esiste una soluzione
• Un sistema si dice non compatibile se non esiste una soluzione

PROPRIETÀ:

Un sistema si dice omogeneo se b=0 e tale sistema è sempre compatibile ed ha la soluzione banale t₁, t₂,...t_k = 0.

Le altre soluzioni, se esistono, si dicono non banali.

ESEMPIO:

PROP:

Tramite operazioni elementari è sempre possibile ridurre una matrice in

FORMA A SCALA (o in FORMA A SCALA RIDOTTA)

DIM:

1. Se esistono righe composte esclusivamente da valori 0, allora tramite scambi di righe le possiamo spostare come ultime righe del sistema.
2. Se ₁₁ è il primo elemento non nullo della prima riga:
   • si chiama PIVOT;
   • sia la prima colonna della matrice che contiene elementi non nulli.
   • Se ₁₁ = 0, si scambiano la riga 1 con una riga k tale che _k1 ≠ 0.
   • Si dividano tutti i PIVOT.
   • Se _k1 ≠ 0 ⇒ 1 ⇒ cerchiamo il prossimo PIVOT
     • _k1 ≠ 0 ⇒ 1
     • moltiplichiamo la 1ª riga per 1/_k1 e la aggiungiamo alla
   • ⇒ ci dimentichiamo della 1ª riga e facciamo le stesse operazioni con le altre.

ESEMPIO:

(matrix examples)

OSS.1

Il numero dei PIVOTS è sempre ≤ del numero delle variabili t (ossia del numero delle colonne).

OSS.2

Se un PIVOT si trova nella colonna corrispondente ai termini noti ottengo una equazione del tipo 0 = b_i il sistema in questo caso NON AMMETTE soluzioni.

OSS.3/NOTE

Se il sistema ammette soluzioni allora chiameremo:

• VARIABILI DETERMINATE quelle corrispondenti ai PIVOT
• VARIABILI LIBERE le altre

(example equations)

La variabile libera è X₄

ESEMPIO

\[ \begin{pmatrix}1 & 5 & -1 \\0 & 3 & 0 \\4 & 1 & -1 \end{pmatrix}_{3 \times 3}\begin{pmatrix}2 & -1 \\0 & 3 \\1 & 0 \end{pmatrix}_{4 \times 2} = \begin{pmatrix}1\cdot2+5\cdot0+(-1)\cdot1 & 1\cdot(-1)+5\cdot3+0\cdot1+(-1)\cdot0 \\0\cdot2+0\cdot3+0\cdot1 & 0+3+2\cdot1+0\cdot \\4\cdot2+0\cdot1+(-1)\cdot1+(-1)\cdot0 & (-4)\cdot(-1)+0\cdot3+1\cdot1+0\cdot \end{pmatrix}_{3 \times 2} \subseteq M_{3,2} (\mathbb{R})\]

MATRICI PARTICOLARI (O SPECIALI):

• MATRICE NULLA \subseteq M_{m,n} (\mathbb{R})

\[ \begin{pmatrix}0 & \cdots & 0 \\\cdots & \cdots & \cdots \\0 & \cdots & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \cdots & 0 \\\cdots & \cdots & \cdots \\0 & \cdots & 0\end{pmatrix}\]

• MATRICE IDENTITÀ (O IDENTICA) \subseteq M_{n,n}(\mathbb{R})

\[I_n=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

• I_n = \{a_{ii} = 1 \ a_{ij} = 0; \ i \neq j \}

Nella diagonale ci sono solo 1

Nel resto solo 0

Proprietà (regole di calcolo) tra matrici:

1. \( A \subseteq \mathbb{M}_{m,n}(\mathbb{R}), \ B \subseteq \mathbb{M} _{m,n}(\mathbb{R}) \Rightarrow A+B = B+A \)
2. \( A, B, C \subseteq \mathbb{M} _{m,n}(\mathbb{R}) \Rightarrow A+(B+C) = (A+B)+C \)
3. \( A(0) \in \mathbb{M}_{m,n}(\mathbb{R}) \Rightarrow A+0 = 0+A = A \)
4. \( A \in M_{m,n}(\mathbb{R}), \ B \in M_{p,q}(\mathbb{R}), \ C \in M_{q,j} (\mathbb{R}) \Rightarrow (AB)C = A(BC) \)
5. \( A \in M_{m,n}(\mathbb{R}) \Rightarrow I_n \cdot A = A \cdot I_n = A \)
6. \( A \in M_{m,n}(\mathbb{R}), \ B, C \subseteq M \Rightarrow A(B+C) = AB+AC \)
7. \( A, B, C \subseteq \mathbb{M} _{m,p}(\mathbb{R}) \Rightarrow (A+B)C = AC+BC \)

Dimostrazione proprietà:

OSS: il prodotto tra matrici NON è commutativo

In generale AB ≠ BA

La Matrice Trasposta

Def Sia A ∈ ℳ_m×n(ℝ) Allora la matrice trasposta di A, denotata A^T, è la matrice definita (A^T)_ij = A_ji e in particolare A^T ∈ ℳ_n×m(ℝ)

Esempio:

A = 123 456

A^T = 14 25 36

A ∈ ℳ_2×3(ℝ) A^T ∈ ℳ_3×2(ℝ)

Proprietà:

Siano A, B ∈ ℳ_m×n(ℝ), C ∈ ℳ_n×p(ℝ)

1. (A + B)^T = A^T + B^T
2. (λA)^T = λ(A^T)
3. (A^T)^T = A
4. (A ⋅ C)^T = C^T ⋅ A^T
5. Se A è invertibile ⇒ anche A^T è invertibile e (A^T)^-1 = (A^-1)^T

Dimostrazione di (4):

(A ⋅ C)^T_i,j = (A ⋅ C)_j,i = Σ_k=1ⁿ A_j,k ⋅ C_k,i = Σ_k=1ⁿ (A^T)_k,j ⋅ (C^T)_i,k = Σ_k=1ⁿ (C^T)_i,k ⋅ (A^T)_k,j = (C^T ⋅ A^T)_i,j