Algebra lineare (no geometria)

SPAZI VETTORIALI

I punti dello spazio possono essere rappresentati come coppie o terne di punti in base allo sistema di riferimento scelto. Da qui nasce l'idea di considerare un insieme Rⁿ dove sono accumulati vettori indicati come vettori riga o vettori colonna. Tale insieme viene definito SPAZIO VETTORIALE.

In Rⁿ vengono considerate solo 2 operazioni: ADDIZIONE (a₁, a₂, ..., a_n)+(b₁, b₂, ..., b_n)

Tali operazioni devono seguire i seguenti assiomi:

1. SOMMA È ASSOCIATIVA: u, v, w ∈ V ⇒ (u+v)+w = u+(v+w)
2. SOMMA È COMMUTATIVA: u, v ∈ V ⇒ (u+v) = (v+u)
3. ∃ 0 ∈ V : v + 0 = 0 (vettore nullo) e ELEMENTO NEUTRO RISPETTO ALLA SOMMA
4. ∀ v ∈ V ∃ -(v) : v + (-(v)) = 0
5. ∀ v ∈ V ∀ h ∈ R (scalare) ⇒ {1) h(kv) = (hk)v, 2)(h+k)v = hv+kv, 3)h(v+w) = hv+hw, 4)1v = v}

SOMMA VETTORI

V x V → V

PRODOTTO SCALARE: VETTORI

R x V → V

SOTTOspazi VETTORIALI

Sia S ∈ V, S è sottospazio vettoriale di V se soddisfa la condizione di essere spazio vettoriale rispetto alla somma e al prodotto.

Teorema sui sottospazi:

Condizione N.E.S. affinché un sottoinsieme non vuoto S di uno spazio vettoriale V sia un SOTTOspazio VETTORIALE di V è che risulti 1) v+w ∈ S : 2) λv ∈ S ∀ v, u ∈ S, ∀ λ ∈ R

Vettori Linearmente Indipendenti e Dipendenti

Sia V K-spazio vettoriale e consideriamo n vettori ∈ V (v₁, v₂, ... vₙ).

Consideriamo n scalari λᵢ∈ℝ: λ₁v₁ + λ₂v₂ + λ₃v₃ + ... λₙvₙ = 0

⇒ λ₁v₁ + λ₂v₂ + ... + λₙvₙ Combinazione Lineari di n vettori rispetto a n scalari

n vettori si dicono l.i. se ⇒ λ₁ = λ₂ = λ₃ = ... = λₙ = 0 /// l.d. ⇒ non tutti gli scalari sono nulli e la combinazione lineare risulta soddisfatta

Insieme di Generatori

Riprendiamo v = λ₁v₁ + λ₂v₂ + t... + λₙvₙ nello spazio vettoriale V

e consideriamo span{v₁, v₂, ..., vₙ} Insieme delle combinazione lineari dei vettori dello s.v.

Se span{v₁, v₂, ..., vₙ} = V ⇒ n vettori generano V

⇒ Insieme di Generatori

• Se span_w{v₁, v₂, ..., vₙ} Sistema Finito di Generatori

Basi

B = {v₁, v₂, ..., vₙ} ∈ V V Spazio Finitamente Generato

Base è un sistema finito di generatori con n vettori i.c.

x I sottoinsieme di vettori l.i. che genera V = ?

Verificare che n vettori costituiscono una base

Esempi

V = ℝ² v₁ = (1,0) v₂ = (0,1)

1) Insieme Finito di Generatori = {v ∈ V : v = λ₁v₁ + λ₂v₂ + ... + λₙvₙ} i.c.

2) Base di V il numero dei vettori ci forniscono dim V

1} Considero v² (a,b) e verifico v² = λ₁ v₁ + λ₂ v₂

a b = λ₁ (1,0) + λ₂ (0,1) λ₁, λ₂ ∈ ℝ ⇨ λ₁ = a λ₂ = b

1) 1t + λ₂ = 0; λ₁ + 0 + λ₂ = 1

2} Insieme Finito di Generatori

Regola di Sarrus (matrice 3x3)

det A = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂

- (opposto)

+ a₁₃a₂₂a₃₁ + a₁₂a₂₁a₃₃ + a₁₁a₂₃a₃₂

Diagonale -> triangolo con punta in basso e base parallela alla diagonale

Triangolo con punta in alto e / / /

I Metodo

det A = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂

- det A = a₁₁a₂₃a₃₂ + a₁₂a₂₁a₃₃ + a₁₃a₂₂a₃₁

II Metodo

Proprietà Matrici e Determinanti

1. 2 matrici quadrate tra loro trasposte hanno det uguale.
2. Se tutti gli elementi di linea di una matrice sono nulli, allora det A = 0
3. Se in una matrice quadrata due linee parallele sono proporzionali, allora det A = 0
4. Scambiando tra loro due righe (o colonne) det A' = - det A
5. Se si moltiplica ogni elemento di linea con un certo k, det A' = k det A
6. det A non cambia quando ad una linea si aggiunge una parallela x k
7. In una matrice quadrata la somma dei prodotti di una linea x i complementi algebrici di una parallela = 0 (Teorema di Laplace).
8. Date 2 matrice quadrate dello stesso ordine A e B e indicato con C il loro prodotto det C = det A * det B (Teorema di Binet)
9. Sia A =a₁₁ a₁₂ ... a_1n a₂₁ a₂₂ ... a_2n ...det A = prodotto diagonale principale
10. Una matrice quadrata si dice triangolare se gli elementi situati al di sopra o al di sotto della diagonale principale = 0

Superiore: elementi situati al di sotto

Inferiore: elementi situati al di sopra

Sistemi lineari omogenei

x1 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = 0 ... am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = 0

b1, b2, ..., bn = 0 m EQUAZIONI n INCOGNITE

A = a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... am1 am2 ... amn

A = A'

In un sistema lineare omogeneo, essendo i termini noti nulli, le due matrici (INCOMPLETA E COMPLETA) coincidono e pertanto il sistema è SEMPRE COMPATIBILE!

Tipi di soluzioni

Soluzione banale (x1 x2 x3 ... xn = 0) Auto soluzioni (∞^n-p soluzioni)

Proposizione

Un sistema lineare omogeneo ammette AUTO soluzioni (⇐) in base a Rouché-Capelli è possibile dare valore arbitrario alle incognite.

Condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema omogeneo ammetta AUTOsoluzioni

(LA) 0 _off < n ↔ det(A) = 0

Proposizione

L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo in n incognite rappresenta un sottospazio vettoriale di Rⁿ in particolare indicato con AX = 0 un sistema lineare omogeneo in n incognite con rg A = p < n se le prime p colonne di A risultano essere LINEARMENTE INDIPENDENTI allora le n-p autosoluzioni ottenute costituiscono una BASE per il sottospazio delle soluzioni del sistema. Pertanto la DIMENSIONE del sottospazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo in n incognite e di rango p < n è SEMPRE n-p.

Cambiamento di base e matrici di passaggio

Sia V k-spazio vettoriale

B = {v₁, v₂, ..., v_n} basi di V

v₁ = a₁₁ + a₁₂ + ... + a_1n

v₂ = a₂₁ + a₂₂ + ... + a_2n

...v_n = a_n1 + a_n2n + ... + a_nn

Matrice di passaggio (o del cambio di base)

Consideriamo ora w ∈ V (x₁, x₂, ..., x_n) rispetto a B

(x'₁, x'₂, ..., x'_n) rispetto a B'

⇒ X = A X'

Proposizione

La matrice di passaggio da B a B' e inversa della matrice di passaggio da B' a B

X = A^-1 X

B, B' ⇔ det(A) ≠ 0

Controverse ⇔ det A < 0

Ex. V = ℝ² B = {2, 1, 1, 3}

Verificare che v'₁ e v'₂ costituiscono B' di V e scrivere le due matrici di passaggio

v₁ e v₂ risultano L.I. perché non proporzionale, la dimensione di V o 2

e quindi B' = {v₁, v₂}

Matrici di passaggio

A (¹ ₁ ¹ ₀) Matrice di passaggio da B a B'

det A = 1

A^-1 = A_(a) (¹ ₁)

A_b (¹ ₁) Matrice di passaggio da B' a B

Determinare le coordinate di w rispetto a B'

X = A^-1 X' = (x) (1, 1) (3, 1) = (1) (y) (0, 1) _{(-1, 0) (2)}

Verifica w' = x'v'₁ + y'v'₂ = 1(-1, 1) + 2(1, 0) = (1, 3; -1)