Algebra lineare e geometria

INSIEMI NUMERICI

Algebra lineare - studio dei sistemi lineari o spazi vettoriali (insiemi che hanno come elementi i vettori o successioni di numeri)

Ci sono delle grandezze di tipo numerico che sono delle generalizzazioni di numeri in più dimensioni.

N = {0, 4, 1, 2, ...}, numeri naturali

Operazioni su N sono la somma (a,b) -> a+b e il prodotto (a,b) -> ab

L'operazione binaria: bisogna fornire 2 numeri e ne restituisce 1

N2 = N x N = insieme delle coppie ordinate di elementi

Proprietà delle operazioni:

• SOMMA - 1 PROPRIETÀ COMMUTATIVA: a+b = b+a         ∀a,b ∈ N
• 2 PROPRIETÀ ASSOCIATIVA: (a+b)+c = a+(b+c)
• 3 ESISTENZA DELL'ELEMENTO NEUTRO, 0 : 0+a = a
• PRODOTTO - 1 PROPRIETÀ COMMUTATIVA: a·b = b·a
• 2 PROPRIETÀ ASSOCIATIVA: (a·b)·c = a·(b·c)
• 3 ESISTENZA DELL'ELEMENTO NEUTRO, 1 : 1·a = a ∀a ∈ N

Proprietà DISTRIBUTIVA : (a+b)·c = a·c + b·c

Numeri interi relativi → si passa a questi perché certe equazioni non hanno una soluzione uniforme.

Osservazione: x+y = z, x, y, z fissati e x e y numeri naturali (x,y ∈ N), non è sempre possibile trovare un numero naturale che soddisfi l'equazione

è un problema che non ha sempre una soluzione → per questo si estende in all'insieme Z_ℤ dei numeri interi relativi.

Z_ℤ = {0, 4, -1, 2, -2}, numeri interi relativi

Operazioni su Z: somma e prodotto

Proprietà sono: a+b = b+a , a+(b+c) = (b+a)+c, la somma è ancora commutativa e associativa, c'è l'elemento neutro 0+a = a

Dato un numero intero esiste un unico numero che a lui sommato dà 0:

• ∀a ∈ Z, ∃ b ∈ Z t.c. a+b=0 - ESISTENZA DELL'INVERSO RISPETTO ALLA SOMMA DI UN QUALSIASI ELEMENTO

Visto che l'opposto di un numero è unico l'opposto si denota con -a

Le proprietà del prodotto rimangono invariate → a·b = b·a , a·(b·c) = (a·b)·c , 1·a = a

(a+b)·c = a·c + b·c

Osservazione y·x = z, fissati x, z negli interi relativi (x, z ∈ Z) non è sempre possibile trovare ...

INSIEMI NUMERICI

Algebra lineare - studio dei sistemi lineari o spazi vettoriali (insiemi che hanno come elementi i vettori o successioni di numeri)

ci sono delle grandezze di tipo numerico che sono delle generalizzazioni di numeri in più dimensioni.

ℕ = {0, 4, 2, 1, ...}, numeri naturali

Operazioni su ℕ sono la somma (a,b) → a+b e il prodotto (a,b) → ab

L’operazione binaria: bisogna fornire 2 numeri e ne restituire 1

ℕ² = ℕ x ℕ - insieme delle coppie ordinate di elementi

Proprietà delle operazioni:

• SOMMA - 1 PROPRIETÀ COMMUTATIVA: a+b = b+a ∀a,b ∈ ℕ
• 2 PROPRIETÀ ASSOCIATIVA: (a+b)+c = a+(b+c)
• 3 ESISTENZA DELL’ELEMENTO NEUTRO, 0 : 0+a = a

• PRODOTTO - 1 PROPRIETÀ COMMUTATIVA: a·b = b·a
• 2 PROPRIETÀ ASSOCIATIVA: (a·b)·c = a·(b·c)
• 3 ESISTENZA DELL’ELEMENTO NEUTRO , 1 : 1·a = a ∀ a ∈ ℕ

PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA: (a+b)·c = a·c + b·c

Numeri interi relativi - si passa a questi perché certe equazioni non hanno una soluzione uniforme.

Osservazione: x+y = z → fissati x e z numeri naturali (x,z ∈ ℕ) non é sempre possibile trovare y numero naturale che soddisfi l’equazione

    ↑è un problema che non ha sempre una soluzione e per questo si estende in all’insieme ℤ_Z⁺, dei numeri interi relativi.

ℤ_Z⁺ = {0, 4, -1, 2, -2 }, numeri interi relativi

Operazioni su ℤ_Z⁺: somma e prodotto

Proprietà sono: a+b = b+a , a+(b+c) = (b+a)+c , la somma è ancora commutativa e associativa, e l’elemento neutro è 0+a = a

Dato un numero intero esiste un unico numero che a lui sommato dà 0:∀ a ∈ ℤ_Z⁺, ∃ b ∈ ℤ_Z⁺: a+b = 0 ⇒ ESISTENZA DELL’INVERSO RISPETTO ALLA SOMMA DI UN QUALSIASI ELEMENTO

Visto che l’opposto di un numero è unico l’opposto si denota con -a

Le proprietà del prodotto rimangono invariate ∙ a·b = b·a , a·(b·c)