Algebra lineare e geometria

INSIEMI NUMERICI

Algebra lineare - studio dei sistemi lineari o spazi vettoriali (insiemi che hanno come elementi i vettori o successioni di numeri)

ci sono delle grandezze di tipo numerico che sono delle generalizzazioni di numeri in più dimensioni.

N = { 0, 1, 2, ... }, numeri naturali

Operazioni su N sono la somma (a,b) → a+b e il prodotto (a,b) → ab

L'operazione binaria: bisogna fornire 2 numeri e restituire 4

N² = N × N = insieme delle coppie ordinate di elementi

Proprietà delle operazioni:

• SOMMA
• 1. PROPRIETÀ COMMUTATIVA: a+b = b+a ∀ a, b ∈ N
• 2. PROPRIETÀ ASSOCIATIVA: (a+b)+c = a+ (b+c)
• 3. ESISTENZA DELL'ELEMENTO NEUTRO 0: 0 + a = a
• PRODOTTO
• 1. PROPRIETÀ COMMUTATIVA: a B = B a
• 2. PROPRIETÀ ASSOCIATIVA: (a·b)·c = a·(b·c)
• 3. ESISTENZA DELL'ELEMENTO NEUTRO 1: 1·a = a ∀ a ∈ N

PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA: a(b+c) = a·b + a·c

Dalle distribuite un operazione rispetto all'altra

Numeri interi relativi - si passa a questi perché certe equazioni non hanno una soluzione uniforme.

Osservazione:

x + y = z → fissati x e z numeri naturali {x, z ∈ N}, non è sempre possibile trovare y numero naturale che soddisfi l'equazione

è un problema che non ha sempre una soluzione - per questo si estende Z all'insieme Zℓ dei numeri interi relativi.

Zℓ = { 0, 4, -1, 2, -2, -3 }, numeri interi relativi

Operazioni su Zℓ: somma e prodotto

Proprietà

sono: a+b = b+a , a+(b+c) = (b+a)+c , la somma è ancora commutativa associativa, e l'elemento neutro 0+a = a

Dato un numero intero esiste un unico numero che a lui sommatio da 0: ∀ a ∈ Z , ∃ b ∈ Z t.c. a+b = 0 ESISTENZA DELL'INVERVO RISPETTO ALLA SOMMA DI UN QUALSIASI ELEMENTO

Visto che l'opposto di un numero è unico l'opposto è denotato con -a

Le proprietà del prodotto rimangono invariate a·b = b·a , a· (b·c) = (a·b)·c , 1·a = a

(a+b)·c = a·c + b·c

Osservazione

y × z = z fissati x,z negli interi relativi (x,z ∈ Z) non è sempre possibile

trovare y e z che soddisfi l'equazione

per questo si estende l'insieme dei numeri da a (frazioni, indicano i numeri razionali)

= ^m / _n con m ∈ ℤ, n ∈ ℕ \ {0}

(identificando frazioni m/n e m'/n' tale che m n' = n m')

Operazioni - somma e prodotto

(a+b)∙c = a∙c + b∙c

a+b = b+a

a∙b = b∙a

a+(b+c) = (a+b)+c

(a∙b)∙c = (b∙c)∙a

a+0 = a

a∙1 = a

∀a ∈ ℚ ∃ b ∈ ℚ t.c. a+b=0

l'opposto è unico b = -a

∀a ∈ ℚ \ {0} ∃ b ∈ ℚ t.c. a∙b=1

b_e unico b= ¹ / _a = a^-1

campo = un'insieme , munito di due operazioni binarie +, ∙ soddisfare gli assiomi:

➀ a+b = b+a

(a+b)+c = a+ (b+ c)

∃0∈ t.c. ∀a∈, a+0 = a

∀a∈, ∃b∈ t.c. a+b =0

➁ a∙b = b∙a

(a∙b)∙c = a∙ (b∙c)

∃1∈ t.c. ∀a∈, 1∙a = a

∀a∈ \ {0}∃b∈ t.c. a∙b = 1

→ (a+b) ∙c = (a ∙ c) + (b∙c) ∀a,b,c ∈

è detto campo

Esempio di un "campo esotico"

₂ = {0, 1}² è un campo con due elementi

b_non hanno a che fare con 0, 1 ∈ ℕ

Definisco le operazioni 0+0 = 0 0∙0 = 0

0+1=1 0∙1 = 0

1+0 = 1 1∙0 = 0

1+1 = 0 1∙1 = 0

Questo è un campo → per verificarlo bisogna controllare che tutti gli assiomi valgano

= ^{√13 ₂s₂ = z₂i}

RAPPRESENTAZIONE TRIGONOMETRICA DEI NUMERI COMPLESSI

z = a + ib

• b = p ·senθ
• a = p ·cosθ

z = p (cosθ + i senθ)

Def. forma trigonometrica: sia z un numero complesso.

la rappresentazione z = p (cosθ + i sen θ), si dice forma trigonometrica di z.

• modulo di z è denotato anche con |z|
• argomento di z è denotato con Arg(z)
• l'argomento è definito solo per p > 0

(ben definito) θ è un numero reale

numero reale ≥ 0

ben definito a meno di multipli interi di 2π

Questa forma è utile perché il prodotto si esprime più facilmente

Proposizione: siano z₁ = p₁ (cos θ₁ + i sen θ₁), z₂ = p₂ (cos θ₂ + i sen θ₂) due numeri complessi non nulli in forma trigonometrica. Allora si ha

z₁z₂ = (p₁ · p₂) [(cos (θ₁ + θ₂) + i sen (θ₁ + θ₂))]

Dim: si ha

z₁ · z₂ = (p₁ (cos θ₁ + i sen θ₁)) (p₂ (cos θ₂ + i sen θ₂)) =

= p₁ · p₂ [ (cos θ₁ cos θ₂ - i sen θ₁ sen θ₂ + i (cos θ₁ sen θ₂ + i sen θ₁ cos θ₂)) =

= p₁ · p₂ (cos (θ₁ + θ₂) + i sen (θ₁ + θ₂))

Dunque |z₁ · z₂| = |z₁| · |z₂|

e Arg (z₁ · z₂) = θ₁ + θ₂

Osservazione: se z = a + ib, p = √a² + b² = √z · z

Osservazione: Poiché ogni numero complesso non nullo ammette inverso

l'insieme ℂ dei numeri complexi è un campo per le operazioni di somma e prodotto.

Corollario: Sia z = p (cos θ + i sen θ) un numero complesso non nullo dato in forma trigonometrica. Allora, per x ∈ N si ha

zⁿ = pⁿ (cos (nθ) + i sen (nθ))

Ossia |zⁿ| = |z|ⁿ

e Arg (zⁿ) = n Arg (z)

Esempio: x³-3x²+5 ∈ ℝ[x]≤3

Operazioni su ℝ[x]≤n

• somma: somma di due polinomi di grado ≤n è effettuata sommando i monomi di grado uguale.

Esempio: (2x³-5)+(x⁴-10x³+x+1) = x⁴-8x³+x-4

• prodotto per uno scalare: il prodotto di un polinomio per uno scalare è il polinomio ottenuto moltiplicando i monomi per lo scalare in questione.

Esempio: f(x) = 2x²+x-3

α ∈ ℝ ⇒ α f(x) = 5x+2x-15

Esercizio: verificare che ℝ[x]≤n munito delle operazioni definite sopra è uno spazio vettoriale nei reali.

Osservazione: anche ℝ[x] è uno spazio vettoriale

1. Osservazione: il vettore nullo di ℝⁿ è (0,...,0) n-upla fatta di tutti gli zeri

L'opposto di (a₁,...,a_n) è (-a₁,...,-a_n)

Esempio: (3,4,-2) = (-3,-4,2)

2. Il vettore nullo di M_3,4(ℝ) è (^{0 0 0 0}) matrice nulla di M_3,4(ℝ)

L'opposto di ^{4 5} / _{-1 0} / ^{2 3} è ^{-4 -5} / _{1 0} / ^{-2 -3}

3. Polinomio nullo = 0, opposto (segno opposto)

Definizione: un polinomio a coefficienti in un campo e nell'indeterminata x è un'espressione formale del seguente tipo:

f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a₂x + a₀ n ∈ ℕ

Definizione: dato il polinomio f(x) ∈ K[x], un elemento d ∈ K si dice una radice di f(x) se si ha

f(d) = 0

Osservazione: sia ω un elemento di K (ω ∈ K), allora una radice n-enna di ω (ossia un numero che alla n-nda è ω) corrisponde ad una radice del polinomio xⁿ−ω.