Algebra lineare e geometria

Piano Euclideo (o Cartesiano)

R²: due ₂ per 2 dimensioni

Su questo piano posso rappresentare i punti come coppie ordinate.

• x_q e y_k → se cambio l’ordine, cambiano i punti.

In uno spazio vettoriale, i punti sono individuati da vettori.

SOMMA

In R² si possono sommare vettori.

(3, 2) + (1, 5) = (3+1, 2+5) = (4, 7).

Il vettore somma si trova con la regola del parallelogramma.

PRODOTTO

Posso inoltre moltiplicare un vettore per uno scalare (un numero).

5 (3, 2) = (5 3, 5 2) = (15, 10).

Il vettore prodotto si trova sulla stessa retta del vettore ma è stato allungato di molto.

Spazio vettoriale

: è un insieme i cui elementi sono vettori (V) e che è dotato di un’operazione interna detta “somma”.

• È interna perché manda due elementi dell’insieme ad un altro elemento dell’insieme.

(U,V) → U + V

Possiede proprietà commutativa U + V = V + U

Possiede anche un’operazione “esterna” che consente di moltiplicare un numero per un vettore, ottenendo un vettore:

• V = {u, v, w, ...}
• K: insieme dei numeri (reali o complessi)

(U, V) ∈ V × V

λ∈K, u∈V

U + V ∈ V

(λ, U) → λU ∈ V

λ(u+v) = λu + λv

λ(uv) = (λu)v

Esiste un unico elemento di V neutro rispetto alla somma

∃ unico e ∈ V t.c. u + e = e + u = u ∀u ∈ V

Esempio

(1, 3) + (0, 0) = (1, 3)

(0, 0) + (1, 3) = (1, 3)

(-10, -3) + (0, 0) = (-10, -3)

Il vettore (0, 0) è elemento neutro della somma

Considero un insieme di funzioni

f: [a, b] ->

V = { f: [a, b] -> funzione }

Prendo f, g ∈ V posso definire

(f+g)(x) = f(x) + g(x)

Data f in [a, b] e λ ∈

f ∈ V, λ ∈

(λf)(x) = λf(x)

Perciò e elemento neutro di questo spazio vettoriale

e: [a, b] ->

e(x) = 0 ∀x ∈ [a, b]

Opposto del vettore u

u ∈ V (-1)u

ha la proprietà che se sommo me e il suo opposto ottengo l'elemento neutro

u + (-u) = e

Equazione lineare

Equazione in cui x è a potenza 1

Rappresentano una retta

Rappresentazione Polare

x = r cos θ

y = r sin θ

r = √(x² + y²)

e^iθ = cos θ + i sin θ

|e^iθ| = √(cos²θ + sin²θ) = 1

Quando si un cerchio di raggio unitario e r viaggia lungo il parametro

e^iθ = (cos θ sin θ)

Perciò

z = r e^iθ

Con r = |z| = √(x² + y²)

Questa è la rappresentazione polare di un numero complesso attraverso i se coordinate polari

ESEMPIO

z = (√2/2 + i √2/2) = e^iπ/4

Prodotto di Coordinate Polari

z = r e^iθ

w = r' e^iθ'

θ = argomento

zw = re^iθ r'e^iθ' = rr' e^i(θ+θ')

Esistenza della Radice N-Sima di un Numero Complesso

n√z = w complesso tal che wⁿ = z

→ dato

w indagato

in campo reale quando facciamo una radice abbiamo un solo risultato, per numeri complessi no.

Dato z complesso esistono m numeri complessi tali che

w₁, ..., w_m w_k = m√z con k = 1,..,m

In uno spazio vettoriale possono esserci infinite basi, ed e₁ ed e₂ e scelta canonica ma posso usare qualsiasi esempio di vettori LT.

CORREZIONE DELLA RADICE N-SIMA

cos(arctg(u))+sin(arctg(u)) = cos(x₀t₂)+sin(x₀t₂)

arctg(u)=argz+2Kπ

argz = argz+2Kπ/m

ESERCIZIO

9√_u → z=1,±i√0

Poiché argz≠0

arctg(u) = 0+2Kπ/4

K=0,1,2,3

Considero uno spazio vettoriale V in uno spazio numerico K

V₁,...,V_m∈V

C₁,...,C_m∈K

Diciamo che V₁,...,V_m sono generatori di V se ∀V∈V ∃C₁,...C_m∈K t.c. c'è

V=C₁V₁+...+C_mV_m

ESEMPIO

V=ℝ³

e₁=(0,1,0) e₂=(1,0,0) e₃=(0,0,1)

Sono generatori di ℝ³

V=(x,y,z)= x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1)= x e₁+ y e₂+ z e₃

ESEMPIO

V = insieme dei polinomi con x∈ℝ di grado ≤ n

p(x) = a₀ + a₁x+...+a_mx^m

a₀, a₁,...,a_m∈ℝ

q(x) = b+ bx + ... + b_nx^m

ESEMPIO

W = {x, y ∈ ℝ² | y < x }

0 ∈ W ma W non è un sottospazio

(0,0) - sottospazio banale

W = ℝ²

W = y = 2x

Se ci poniamo in R³ tutti e soli i sottospazi di R³ sono:

• (0,0,0)
• R
• rette passanti per l'origine
• piani passanti per l'origine

Sottospazi di Rᵐ

• {0}
• V ⊆ Rᵐ
• v₁, v₂ LT in Rᵐ => W = {v ∈ Rᵐ | v = λ₁v₁ + λ₂v₂, λ₁, λ₂ ∈ ℝ}

SOMMA

v, w ∈ W ⇒ v + w ∈ W

v = λ₁v₁ + λ₂v₂

w = μ₁v₁ + μ₂v₂

v + w = (λ₁ + μ₁)v₁ + (λ₂ + μ₂)v₂

PRODOTTO

v ∈ W λ ∈ ℝ

v = λ₁v₁ + λ₂v₂

λv = (λλ₁)v₁ + (λλ₂)v₂ ∈ W

Sono operazioni interne, W è chiuso rispetto a somma e moltiplicazione.

Posso trovare n vettori indipendenti: rette passanti per l'origine, piani passanti per l'origine, spazi bidimensionali passanti per l'origine ecc.

Algebra delle matrici

Matrice: tabella rettangolare con elementi organizzati in righe e colonne.

Esempio

Elemento di posto 13 non esiste.

Elemento di posto 21: a₂₁ = 3.

Matrice di taglia m x p

a_ij: il primo indice è quello che indica riga, il secondo è quello che indica la colonna.

Viene sempre prima l'indice di riga.

Notazione

M_{m x p} (K) - è l'insieme delle matrici di taglia m x p ad elementi nel campo K = R, C.

Si possono formare matrici i cui elementi sono funzioni.

Esempio

A =

• e^x 1 x²
• 1/2 logx 2^x

Gli elementi sono in R.

1. A si può considerare M_2x3 (R).
2. A: ]0, +∞[ -> M_2x3 (R)

A(1) =

• e 1 1
• 1 0 2

Esempio

A(θ) =

• cos θ -sin θ
• sin θ cos θ

θ -> A(θ)

θ = π/2

A(π/2) =

• 0 1
• 1 0

θ ∈ R

Esempio

A = [ 1 0 3 2 1 4 ] _2x3

B = [ 1 0 2 0 1 1 3 1 4 1 0 1 ] _3x4

AB = [ 13 3 2 3 15 4 1 3 ] _2x4

Esempio

A = [ 1 2 0 1 3 4 ] _3x2

B = [ 1 2 3 3 2 1 ] _2x3

AB = [ 7 6 5 3 2 1 9 2 5 ]

BA = [ 10 12 6 0 ]

Perciò A x B ≠ B x A, la proprietà commutativa del prodotto in generale non vale.

Nel caso di due matrici quadrate di stesso taglio:

A _mxm B _nxn

Def Una matrice di taglio mxn si dice quadrata di ordine m se A e B sono quadrate di ordine m:

A x B _{mxm nxn} = AB _{mxn nxn kn}

B x A _{nxn mxn} = BA _{nxn mxm}

Anche nel caso di matrici quadrate, il prodotto in generale non è commutativo.

A x B ≠ B x A

Esempio

A = [ 3 0 4 ]

B = [ 2 0 1 ]

Verificato che A x B ≠ B x A