Algebra Lineare - appunti di teoria

Appunti su funzioni lineari

• Una funzione lineare è determinata in modo univoco tra due spazi vettoriali V e W quando si conoscono le immagini dei vettori di una base di W
  • Quindi dati ad esempio 3 vettori di V se questi formano una base allora l'applicazione lineare esiste ed è unica
  • Se invece i tre vettori sono L.I. (non formano una base) se l'applicazione lineare esistesse non sarebbe unica
• Dato un endomorfismo (dominio e codominio hanno la stessa dimensione) una funzione f è suriettiva sse è iniettiva (quindi biettiva) In termini di matrice f è biettiva sse la matrice ≠ 0
• L'immagine di f è generata dalle colonne della matrice rispetto alle basi canoniche.
  • Per trovare una base dell'immagine basta prendere n colonne L.I. dove n = dim Imf = dim Rf - dim Ker
• Per chiedere che un vettore appartenga al nucleo di f si fa (matrice) vettore = 0
• Per chiedere che il vettore dell'N appartenga all'immagine di f equivale a chiedere che esso sia C.L. dei vettori che formano l'immagine di f
• f : V -> W, se dim(W) = dim(Im f) => f è suriettiva
• La dimensione dell'immagine coincide con il rango della matrice (dopo opportune operazioni elementari)
• Dato un sottospazio lineare V ⊂ , esso è un sottospazio dello spazio che contiene

Appunti su funzioni lineari

• Una funzione lineare è determinata in modo univoco tra due spazi vettoriali V e W, quando si conoscono le immagini dei vettori di una base di W.
• Quindi, dati ad esempio 3 vettori di V, se questi formano una base allora l'applicazione lineare esiste ed è unica.
• Se invece i tre vettori sono L.I. (non formano una base), se l'applicazione lineare esistesse non sarebbe unica.
• Dato un endomorfismo (dominio e codominio hanno la stessa dimensione), una funzione f è suriettiva sse è iniettiva (quindi bietiva).
• In termini di matrice, f è biettiva sse la matrice ≠ 0.
• L'immagine di f è generata dalle colonne della matrice rispetto alle basi canoniche.
• Per trovare una base dell'immagine basta prendere n colonne L.I. dove n = dim(Imf) = dim(ker).
• Per chiedere che un vettore appartenga al nucleo di f si fa (matrice) vettore = 0.
• Per chiedere che i vettori di W appartengano all'immagine di f è equivalente a chiedere che essi sia C.L. dei vettori che formano l'immagine di f.
• f: V →W. Se dim(W) ≤ dim(Imf) => f è suriettiva.
• La dimensione dell'immagine coincide con il rango della matrice (esso appartiene operazionie elementari).
• Data un varietà (lineare V + ), essa è un sottospazio V=S allo spazio che contiene .

- dato un endomorfismo esso è invertibile s.s. il determinante della

matrice associata è diverso da zero.

- Ma per essere invertibile deve essere biunivoca e quindi iniettiva e suriettiva.

- Scrivere la matrice di una f rispetto alla base B nel dominio

e rispetto alla base B nel codominio significa trovare

una matrice che abbia come colonne le coordinate delle C.L.

dei vettori della base B per ottenere ciascun vettore delle

immagine dei base A.

APPLICAZIONI LINEARI

• Il vettore nullo va nel vettore nullo (necessaria, ma non sufficiente)

Se W₀ = 0_V allora

L^-1(W⁰) = {v∈V | L(v)∈W⁰}⊆V si chiama nucleo

L^-1(W₀) = V₀ + Nul L è una varietà lineare

Se W₀⊆Im(L) ⟹ L^-1(W₀) ≠ 0

Un'applicazione lineare è iniettiva ⟺ Nul L = {0_V}

L: Un'applicazione lineare iniettiva LI ⟶ LI

Se W coincide con V (f va in se stessa), abbiamo un ENDOMORFISMO.

Un endomorfismo è iniettivo e suriettivo, quindi è invertibile.

• Un'applicazione lineare biettiva si dice ISOMORFISMO

L: I due spazi si dicono isomorfi: Fare i conti su uno o sull'altro è indifferente.

L: V ⟶ W

Regola di corrispondenza

Al posto della regola di corrispondenza posso avere i valori di una base

data una base V e dei valori qualunque, esiste una sola applicazione lineare Tale che ...

APPLICAZIONE LINEARE

• senza regola di corrispondenza L(v_i) = w_i
• con regola di corrispondenza L(x₁, ..., x_n)

Possibilità:

• [v₁, ..., v_n] _Bass, L esiste ed è unica.
• [v₁, ..., v_n] _L.D., dim V > n ⟶ Infinite applicazioni lineari
• [v₁, ..., v_n], dim V < n ⟶ Al più un'applicazione lineare

Appunti su determinanti

• Operazioni elementari su righe o colonne non alterano il rango.
• Scambiando due colonne il determinante cambia segno.
• Se una matrice è triangolare, il det è uguale a prodotto degli elementi che stanno sulla diagonale.
• Con metodo classico è quello per il calcolo dei determinanti si calcolano i cofattori che compongono le righe della matrice Atale che:

|λIA| = |Aⁿ| = A^λ

• Se il determinante _≠0, i vettori che formano la matrice sono LI.
• Se il determinante è ≠0, la matrice è invertibile.
• Data AGH, se |A| = 0 Img(f)

DATA UNA BASE U, TROVARE UN SISTEMA DI EQ. LINEARI CHE ABBIA U COME SOLUZIONE.

U = < (V₁),(V₂) >

V₁ (x, y, z)

V₂ (x', y', z')

• deve avere rango = dim U

• Troverò quindi n - l equazioni in funzione di a, b, c.

ESEMPIO

L = (1, 2, 3) + < (1, 1, 1) >

{1, 2, 3} ≠ < 1, 1, 1 > → sistema non omogeneo

• dim 1

deve avere rango 1

• sol del sistema lineare
• sol del sistema lineare omogeneo

Appunti su spazi vettoriali

• Per determinare il sottospazio intersezione, prendo un generico vettore W: W G V sottospazio e W G W sottospazio.
• quindi lo scrivo come CL della prima e della seconda base
• eguaglio le due equazioni e ricavo i parametri
• la dimensione del sottospazio cercato è pari al numero di incognite libere di variabile
• data la formula di Grassmann dim (U + W) = dim (U) + dim (W) - dim (U∩W)
• Conviene sempre una volta determinate le basi di U e W ricavare la base intersezione sapendo così la dim della base somma
• per ricavare le eq di uno spazio:
• scrivo un generico vettore W come (X, Y, Z, W) etc. come CL dei vettori che compongono la base
• ricavo i parametri e li sostituisco nell' eq rimanenti, fino ad avere sia eq con X, Y, Z, W
• se un vettore appartiene ad un sottospazio deve poter essere scritto come cl dei vettori che compongono la base

APPUNTI SU AUTOVALORI, AUTOVETTORI, AUTOSPAZI

• Se una matrice è simmetrica allora è ortogonalmente diagonalizzabile→ esiste una base ortonormale.
• La base ortonormale è formata da autovettori che formano i suoi autospazidivisi per la relativa norma.

DATA LA FUNZIONE VENDORF_H → PROIEZIONE ₁ SU _U SCRIVERE LA MATRICE RISPETTO ALLA BASE CANONICA

Consideriamo la funzione che associa ad ogni vetore W∈ℜⁿ la sua proiezione ortogonale sul sottospazio U.

Le colonne della matrice di P_U rispetto alla base canonica di ℜⁿ sono le proiezioni dei vettori e₁, e₂, ..., e_n sul sottospazio U.

Trovare la proiezione di un vettore su uno spazio

• Scrivo V come somma di V₁ + V₂, dove V ∈ U e V₂ ∈ U^⊥.
• V₁ è combinazione lineare dei vettori della base di U.
• V₂ non è altro che V₃ = V₂ + V₃ = V₃ = V − V₁.
• Scrivo un sistema ciascuna eq dove contengano l’eq di ortogonalità tra un vettore della base U e il vettore V₂.

• ( V₂ · U₁ = 0 )
• ( V₂ · U₂ = 0 )

• Ricavo i parametri e quindi V₁.

Trovare la proiezione di un punto su una retta

• Dall’eq. della retta ricavo il vettore direzione, che è anche i vettori ortogonale al piano ortogonale alla retta.
• Scrivo l’equazione del piano sopra detto, ma manca un parametro.
• Impongo la condizione di passaggio per il punto dato e ricavo l’eq. completa del piano contenente il punto dato e ⊥ alla retta.
• Interseco piano e retta e ricavo il punto proiezione ortogonale.

Ho il vettore V e voglio che il V-U|| sia minima. Allora per il Teorema

della proiezione ortogonale questo vettore richiesto deve essere perpendicolare

a U.

Pongo (V-U) ∈ (X, Y, Z

che abbiamo detto deve essere ortogonale a U

(ovvero appartenenie a U . Ma allora deve poter essere scritto come CL

dei vettori che formano una base di U . Allo stesso tempo il suo prodotto

scalare con ciascun vettore della base di U dev'essere zero.

Faccio il sistema e lo risolvo e ho trovato (V-U). Ora si tratta di fare

V - (V-U) = U

FORMULARIO GEOMETRIA

Fasci di piani:

L(a₁x + b₁y + c₁z + d₁) + μ(a₂x + b₂y + c₂z + d₂) = 0

• Se i piani sono paralleli:

  _{π₁₂ = λπ₂}

  Fascio improprio: (ax + by + cz - k = 0)

• Se i piani sono non paralleli:

  Fascio proprio (contiene una retta)

Distanza punto-piano:

dati P(x₀, y₀, z₀)e π: ax + by + cz + d = 0

d(P, π) = ^{|aₓ₀ + by₀ + cz₀ + d|} / _{√(a² + b² + c²)}

Distanza punto-punto:

dati P(x₀, y₀, z₀)e Q(x₁, y₁, z₁)

d(P, Q) = ||P Q|| = √(x₁ - x₀)² + (y₁ - y₀)² + (z₁ - z₀)²