Algebra Lineare - appunti di teoria

Appunti su funzioni lineari

• Una funzione lineare è determinata in modo unico tra due spazi vettoriali V e W quando si conoscono le immagini dei vettori di una base di W
  • Quindi, dati ad esempio 3 vettori di V, se questi formano una base allora l'applicazione lineare esiste ed è unica
  • Se invece i tre vettori scelti sono l.i. (non formano una base), se l'applicazione lineare esistesse, non sarebbe unica
• Dato un endomorfismo (dominio e codominio hanno la stessa dimensione) una funzione f è suriettiva sse è iniettiva (quindi biiettiva)
  • In termini di matrice f è biiettiva sse il det(matrice) ≠ 0
• L'immagine di f è generata dalle colonne della matrice rispetto alle basi canoniche
  • Per trovare una base dell'immagine basta prendere n colonne l.i. dove n = dim(Im f) = dim(ker)
• Per chiedere che un vettore appartenga al nucleo di f si fa (matrice) vettore = 0
• Per chiedere che un vettore del W appartenga all'immagine di f equivale a chiedere che esso sia C.L. dei vettori che formano l'immagine di f
• f: V → W. Se dim(W) ≠ dim(Im f) => f è suriettiva
• La dimensione dell'immagine coincide con il rango della matrice (dopo opportune operazioni elementari)
• Data una inversione (lineare V = W), essa è un isomorfismo (=> f è univoca se contiene v)

dato un endomorfismo esso è invertibile sse il determinante della

matrice associata è diverso da zero.

Ma per essere invertibile deve essere biiettivo e quindi iniettiva e suriettiva.

Scrivere la matrice di una f rispetto alla base B nel dominio

e rispetto alla base B nel codominio significa trovare

una matrice che abbia come colonne le coordinate della C.L.

dei vettori della base B per ottenere ciascuna delle

immagine dei

DATA UNA BASE U, TROVARE UN SISTEMA DI EQ.

LINEARI CHE ABBIA U COME SOLUZIONE.

U = < V₁, V₂ >

V₁ (X Y 3)

V₂ (X Y 2)

(X' Y' Z') (a)

(X Y Z) (b)

(X Y Z) (c)

→ deve avere rango = dim U

Troverò quindi n - l equazioni in funzione di a, b, c.

ESEMPIO

L = (1, 2, 3) +

{1, 2, 3} ≠ → sistema non omogeneo

X - 1

X - 2

X↓3

deve avere rango 1 →

| x - 1

0 y x - 1

0 3 y x - 2 |

( y x - 1 0

y - x 0 |

| x y - 1

x - 3 - x 2

{1 2 3} sol del sistema lineare

{1, 1, 1} sol del sistema lineare omogeneo

Ho il vettore V e voglio che ||V-U|| sia minima. Allora per il Teorema della proiezione ortogonale questo vettore richiesto deve essere perpendicolare a U.

Pongo (V-U) = (X, Y, Z) che abbiamo detto deve essere ortogonale a U (ovvero appartenente a U^⊥). Ma allora deve poter essere scritto come CL dei vettori che formano una base di U^⊥. Allo stesso tempo il suo prodotto scalare con ciascun vettore della base di U deve essere zero.

Faccio il sistema e lo risolvo e ho trovato (V-U). Ora si tratta di fare V - [(V-U) = U.