1 Algebra lineare

Introduzione

GLI INSIEMI

• Alcune nozioni e simbologie

Indichiamo gli elementi dell'insieme con lettere minuscole, e gli insiemi con lettere maiuscole:

Un elemento a appartiene all’insieme A: a ∈ A

a è un elemento di A

Oppure: a non appartiene ad A: a ∉ A

insieme vuoto

Ad esempio se un'operazione non ha soluzioni:

El. di un insieme: A = {2,4,3}; a ∈ A

Lista degli elementi dell'insieme: A = {2,4,3}

o sotto forma: A = { x | x è 1,2,3 }

Due e più insiemi sono uguali: A = {3, b, c, 4}, B = {b, c, a, d, 3}

C ⊆ A

se gli elementi di C sono un sottoinsieme di A:

C ⊆ A ∀ c ∈ C, c ∈ A

Se C è un sottoinsieme di A (esclusi certamente alcuni elementi) si dice: C ⊆ A

Un elemento non può appartenere a un insieme vuoto: ∄ x: x ∈ ∅

Due insiemi sono disgiunti: A ∩ B = ∅

Operazioni insiemistiche

• Unione e intersezione di due insiemi A, B:

C = A ∪ B se: ∃ c: c ∈ A ∨ c ∈ B

L'insieme C (l'unione di A e B se) è costituito da elementi c tali che appartengano ad A oppure a B

Unione "tale che", si può usare anche

1. Esempio: A = {2,4,3}, B = {b, c, 2}

A ∪ B = {2,4,3}

C = A ∩ B se: ∃ c: c ∈ A ∧ c ∈ B

L'insieme C è formato dall'intersezione fra A e B, se è formato da tutti gli elementi c tali che c appartengono ad A e appartengono a B

1. Esempio: A = {2,4,3}, B = {2, p, 3}

C = A ∩ B = {2,3}

Differenza di due insiemi: A e B:

C: A\B se: ∃c: c ∈ A, c ∉ B

L'insieme C è formato dalla differenza fra A e B, se è formato dagli elementi c tali che c appartengano ad A ma non appartengano a B

1. Esempio: A = {2,4,3}, B = {2, p, 3}

C = A\B = {4}

DIAGRAMMA DI VENN:

A ∪ B

A ∩ B

A\B

B\A

A ∩ B = ∅

C ^{è propriamente contenuto}

[un sottoinsieme ma non uguale, esiste sicuramente un element che appartiene ad A ma non appartenere a B]

C _{e non propriamente contenuto}

[non si esclude che A sia uguale a B]

con il simbolo ≠ si rende chiaro che i due insiemi non possono essere uguali ma equivalenti al simbolo C

Relazioni

Esistono delle relazioni tra 2 elementi di un insieme.

In un insieme A si definisce una relazione di equivalenza se qualsiasi siano gli elementi di A, valgano le seguenti proprietà:

• aRa riflessiva
• aRb è bRa simmetrica
• aRb è bRc è aRc transitiva

Un esempio di relazione di equivalenza è la relazione di parallelismo del piano:

x è parallelo a x x r

a ≠ c se e solo se c è parallela a b

simmetrica

transitiva

valgono tutte e tre le proprietà

Sommatore

• Il simbolo di sommatore
• ∑ simbolo di sommatore

Parleremo solo di somme finite:

punti di inizio dell'indice i:

ⁿ∑_i=4 a_i = a₄ + a₅ + a₆ + a₅ + a₃

U numero finito di elementi di cui facci la somma:

i aumenta di 1 a 5,6 una volta che aumenta 1 = 1, 2

Esempio

Considera una coni, ogni elementi:

• A = {3,2,6,3}

a₁ = 3

2

1. ²∑_i=4 a_i = a₄ + a₁ = 1+3
2. ²∑_i=4 a_i = a₄ + a₁ = 1+3 2 + 4 + 6

• ¹∑_i=3 a_i = 4+6

Operazioni tra sommatore

• ∑₄₌₁ x_i = 1,x₃ + x₄ + ... + x_m
• m^2m∑_i=4 = x₁ + x₃ + x₄ = a₁ + ... + a_m

mi chiedo se posso levare λ dal segno di sommatore, ovvero se:∑_i=4 λx_i?

se può fare λ∑_i=4 x_i si vale∑₃

2x₁ + 3x₂ + ... + x_m = ∑₄ x₁ + x₂ + x_m

mi chiedo se vale l'uguaglianza: ∑_i=4 (x_i + y_i) ? ...

∑_m 1₄ ... + x_m = ∑_i=4 (x_i + y_i y_m)₄

x₄ + x₃ + x₄ + ... x₁ = x₁ + X₂ + y₂ + ... + y_m

Esempio:

3x + 2y - z = 11-x - y + 2z = 10

m = 2 -> numero di equazioni che abbiamon = 3 -> numero di incognite che abbiamo (x,y,z)

La matrice del sistema è:[ 3 2 -1 ][-1 -1 2 ]

La matrice aumentata è:[ 3 2 -1 | 11 ][-1 -1 2 | 10 ]

Proviamo proxare A (x = 5; y = 5; z = 6) dentro le due equazioni, avremo:{ ^{_{3(5) + 2(5) - 6 = 15 + 10 - 6 = 19 19 ≠ 11}} } ^{_{11 ≠ 11}} { ^{_{- (5) - 5 + 2 x 6 = - 5 - 5 + 12 = 2 2 ≠ 10}} }

Il vettore x1 = (5, y = 6, z = 10) è la soluzione di:...le equazioni del sistema

Esempio:

Stabilire se i vettori Δ = (-6, 6, 4, 1) e Σ = (10,5,1,2) sono soluzioni del sistema:x1 + x2 + x3 + 3x4 = 34x1 + x2 + 5x3 = x14x1 + 4x2 + 5x4 = x14x1 + 2x4 = x2 + x41

{- 6, 6, 4, 1}4x1+3x2+x3 = x1 6(4) + 2(-4x2+5)+(-3,5+24) = 0 (stesso valore)5(2x3 + 4)Il vettore è...

Il sistema di equazioni lineari si dice coerente quando ha una o più soluzioni, se non ha soluzioniSe consideriamo un sistema nel campo dei numeri reali ℝ o nel campo complesso ℂ succede il seguente teorema:

Teorema:

Supponendo che il campo K sia infinito, allora ogni sistema di equazioni lineari ha sempre:a) un'unica soluzioneb) nessuna soluzionec) un numero infinito di soluzioni

Operazioni sulle matrici

Somma di matrici

Per essere sommate devono essere dello stesso ordine ovvero devono avere lo stesso numero di colonne e lo stesso numero di righe.

Si sommano gli elementi in maniera ordinata:

La somma eredita tutte le proprietà classiche della somma dei numeri:

1. Proprietà commutativa
2. Esiste l’opposto di ogni matrice
3. La trasposta di una somma è uguale alla somma delle trasposte

Prodotto per uno scalare

E’ il prodotto tra un numero/scalare e una matrice

Proprietà del prodotto x scalare

1. Moltiplica un numero per una matrice i cui elementi sono tutti zeri
2. Moltiplica una matrice per il numero scalare zero

Esiste l’elemento neutro?

Se λ e μ ∈ ℝ posso calcolare

Proprietà distributiva

1. 2.(A + B) = 2.A + 2.B

Esempio di somma

Verificare che A+B = B+A

Le due matrici coincidono

Proprietà commutativa

équivale a calcolare:

_5×4 A: ^{[6 -1 4]                 [2 4]                 [3 -2]}_2×2 A1: [A A₁]          ^{[1 2 3]         [0 1 4]}

D:diag(-1,3):^{[-4 0]} _5×2                 ^{[0 3]}

A|A₁:

○ Se alcuni blocchi sono tutti nulli:Siano A e B quadrate e dello stesso ordine e siano anche A₁ e B₁ quadrate e dello stesso ordine:_3×3 ^{[ -6 8 3 ] [ A₁B₁+A₂B₃ A₃B₂ ]}[ A₁ A₂₂ ; A₂₂ ] _3×3

Si cerca di trovare i casi per semplificare le cose, questo perché la teoria delle matrici la applichiamo ai sistemi lineari per renderli più semplici.

^{1 2}  AB: ^{[-4 1]}  [B₁+3 ] A|A₂^{[ 1 2; [ 4 2; [ 6 3[3] [ 2 3]} B;      [AB]:A₁₂ [4; 12 ; 8 ; 12 ]^{[8] [4,2] [6,3] [2 3]}

A₃₂₄B₅₅₅ posizione è 2×5B₂ C₁₂₃₄ → non si può fare il prodottoC₁₂₃₄ B₁₂₃ → posizione è 2×4

Se ho una matrice A e una B

A:_4×3 ^{[1 2 3]      _{[4]; [1]}}