Algebra e geometria - spazi vettoriali

Spazi vettoriali

Definizione di spazio vettoriale

Uno spazio vettoriale è un insieme di vettori che possono essere sommati tra loro e moltiplicati per scalari, rispettando determinate proprietà. Le operazioni fondamentali in uno spazio vettoriale sono l'operazione interna (somma) e l'operazione esterna (prodotto per uno scalare).

Esempi di spazi vettoriali

Ad esempio, lo spazio ℝⁿ è costituito da vettori di n dimensioni con componenti reali. Ogni elemento di uno spazio vettoriale si chiama vettore, mentre gli elementi di ℝ sono chiamati scalari.

Combinazioni lineari

Una combinazione lineare di n vettori \( v_1, \ldots, v_n \) è un vettore della forma \( v = r_1 v_1 + \ldots + r_n v_n \), dove \( r_1, \ldots, r_n \) sono scalari.

Linearmente indipendente

Un insieme di vettori è linearmente indipendente se nessun vettore dell'insieme può essere scritto come combinazione lineare degli altri.

Esempio 1:

{(1,0,1), (0,0,1), (1,0,2)} non è linearmente indipendente poiché (1,0,2) = (1,0,1) + (0,0,1).

Esempio 2:

Per una matrice A di vettori, se il rango di A è r, allora al massimo r vettori tra quelli nella matrice possono essere linearmente indipendenti.

Calcolo del rango e dipendenza lineare

Consideriamo l'esempio della matrice:

• (1,0,1), (0,0,1), (1,0,2) con n = 3 e m = 3

La matrice è:

Il determinante è 0, quindi il rango è 2 → ci sono al massimo 2 vettori linearmente indipendenti.

Esempio 3:

Consideriamo un altro esempio con vettori:

• (1,1,0,1), (1,2,1,1), (0,0,0,1) con n = 4 e m = 3

La matrice è:

Il determinante è diverso da zero, indicando che i 3 vettori sono linearmente indipendenti.

Sottospazi vettoriali

Un sottospazio vettoriale è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale che è esso stesso uno spazio vettoriale, cioè si chiude sotto le operazioni di somma e prodotto per uno scalare.

Esempio: Generazione di un sottospazio

Sia S = {(1,1,0), (1,0,0)}. Allora il sottospazio generato da S è:

• <S> = {a(1,1,0) + b(1,0,0) | a,b ∈ ℝ}

Verifichiamo che <S> è un sottospazio.