Algebra e geometria - prodotto scalare interno di uno spazio vettoriale

Prodotto scalare

InternoV sp. Vettoriale + r * v(u,v) ∈ → * ∈ ℝ* : ℝV = si definisce prodotto scalare canonico nu = (u1, …., un) V = (v1, … , vn ) ∑(* )u * v = i3ℝ

Esempio

u = (1,2,0) v = (-1,-2,-3) u*v = 1 (-1) + 2 * (-2) + 0 * (-3) ∈ ℝ

Definizione di norma

Def. || u || := sqrt(u * u) || u || è la norma di u (lunghezza)

Esempio

u = (1,0,2) u * u = 1 + 4 = 5 || u || = sqrt(5)

Teorema di Pitagora

u = (2,1) B 2 2 2=2 ||u|| + 1 =1 || u || = sqrt(4+1) = sqrt(5)

Calcolo della norma di v

v = (1,3) ||v|| = sqrt(1+9) = sqrt(10)

Calcolo del prodotto scalare

u * v = 2+3 = 5 u * v = ||u|| * ||v|| * cos(u * v) 5 = sqrt(5) * sqrt(10) * cos(u * v) => cos(u * v) = 5 * 5 * sqrt(2) = 1/ sqrt(2) = sqrt(2) / 2 => u * v = π / 4

Definizione di ortogonalità

Def. u e v sono ortogonali se u * v = 0

Esempio di ortogonalità

{(1,0),(0,1)} base canonica di u = (1,0) v = (0,1) u * v = 0 => u e v sono ortogonali ||u|| = sqrt(1+0) = 1 ||v|| = sqrt(0+1) = 1

Definizione di base ortonormale

Def. Una base si dice ortonormale se tutti i vettori della base hanno norma = 1 e sono ortogonali tra di loro

Esempio

u = (1,2,0) Trovare w tale che u,v,w è una base di v = (0,0,1) ortogonale w = (x,y,z) u * w = 0 x + 2y = 0 x = -2y v * w = 0 z = 0 z = 0 w = (-2y,y,0) y=1 1 2 0 1 2 det 0 0 1 = -1 * -2 1 = -5 != 0 w = (-2,1,0) -2 1 0

Esempio di norma

||v|| = 1 ||u|| = sqrt(5) u = (1/sqrt(5), 2/sqrt(5), 0) ||u'|| = sqrt(1/5+4/5) = sqrt(5/5) = 1 w' = -2 / ||w||, 1/ ||w|| , 0) = (-2/sqrt(5). 1/sqrt(5),0)

Funzioni tra spazi vettoriali

Def. U,V sp. Vettoriali suf: U → V è una applicazione lineare se:

• Per ogni u1, u2 f (u1+u2) = f(u1 + u2)
• Per ogni u f(r * u) = r * f(u)

Esempi

U = Mat2x2 (ℝ) V = a b 2(a+b, c+d) ∈ → ∈ ℝ f: c d 2 ∈ ℝ

Verifica della linearità di f

f 1 2 = (3,2) f 0 0 = (0,0) -1 3 0 0

Proviamo che f è lineare

f a b + a' b' = f a+a' b+b' = (a + a' + b + b', c+ c' + d+ d')

f a b + f a' b' = (a+a' b+b') + ( c+c' d+d') = (a + a' + b + b', c+ c' + d+ d')

f r * a b = f ra rb c d rc rd (ra+rb, rc+rd) r * f a b = r * (a+b, c+d) = (r*(a+b), r * (c+d)) c d

Proprietà

f(a) = 0 Immagine f = { v | ∈ ℋ ∈ }