Algebra e geometria - minimi massimi e nozioni

ES. A = {2,3,5,6,15,30} nRm <=> m è multiplo di n (n divide m)

30 MASSIMO

30

6 15 MINIMALI

2 3 5

Def

m∈ A è MINIMALE se non esiste a∈ A t.c. aRm

M è MASSIMALE se non esiste a A t.c. MRa

∈A ∈

NOTA che se tutti gli elementi sono confrontabili tra di loro

allora un elemento minimale è anche un minimo.

NOTA che se esiste il minimo allora è unico

Es. {1,2,3,4,5} Es. {{a,b},{a,b,c},{a,c,d},{a}}

≤

5 1 è il minimo 1 è minimale ⊆

4 5 è il massimo 5 è massimale {a,b,c} {a} minimo

3

2 TOT ORDINATO o CATENA {a,b} {a,c,d}

1 {a} {a,b,c} massimale

{a,c,d}

{a,b} non è massimale

perchè {a,b} {a,b,c}

⊆

Per aggiungere un massimo dobbiamo considerare un insieme

che contiene gli altri {a,b,c,d}

{a,b,c,d,e}

A⊆ B rel. d'ordine su B e su A

Def.

Es. A = {2,3,5,6,15} B = {1,2,3,5,6,15,30}

b∈ B | b≤a per ogni a∈ A}

insieme dei minoranti di A in B { b∈B | b≥a per ogni a∈ A}

insieme dei maggioranti di A in B {

L'estremo inferiore di A in B è il massimo dei minoranti

L'estremo superiore di A in B è il minimo dei maggioranti

Es. Es.

30 A = {3, 36, 4, 27}

6 15 Trovare inf e sup

27 36 di A in N

2 3 5 3 4

1 i minoranti di A {1} infA = 1

minoranti di A{1} => infA = 1 i maggioranti di A {108,216,432,...}

supA = 30 supA = 108

1 | n∈ℕ }⊆ℚ

Es. { non ha minimo, non ha elementi minimali

n infC = 0

1 1 1 1 1

{ , , , , ,...}

2 3 4 5 6

Funzioni e applicazioni

2 2

Es. f n∈ n f

ℤ-> ∈ℤ (n)=n

2

f = {(n , n | n∈ℤ }è una relazione binaria su

) ℤ

Def.

Una relazione R su AxB è una funzione se:

a∈ Aesiste b∈ B t.c. a R b

Per ogni elemento

– l'elemento b in relaz. con a è unico

– 2

Es. è una funzione

{( n , n | n∈ ℤ} 2 2

perchè per ogni n∈ℤ esiste n t.c. nRn

∈ℤ

2

e inoltre è unico

n 2

f: n∈ℤ-> n ∈ℤ

2,

{ non è una funzione

( n n ) |n∈ℤ}

perchè non tutti gli elementi di sono il

ℤ

quadrato di un numero

2,

{(n n)| n∈ℤ x

¿⊆Z ℤ

è una funzione? 2

Sicuramente per ogni esiste n tale che n^2 R n

n ∈ℤ

Ma n non è unico

(4,2) (4.-2) (1,-1) (2.,1)

→ NON è una funzione

RAPPRES. GRAFICA delle funzioni

è una funzione : da ogni elemento di A porte una e una sola freccia

Se R ⊆AxB

– .a .

.b

. . .

. .

. .

2

Es. n∈ n

ℤ-> ∈ℤ

-4 -4

-3 -3

-2 -2

-1 -1

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

|

9

16

2

n -> n−1

-4 -4

-3 -3

-2 -2

-1 -1

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

| 5

9 6

10 7

|

15

16

|

Def. f A x B

Se f è una funzione ⊆

allora A è il DOMINIO di f

B è CODOMINIO di f

f: x∈ P({a,b,c})->|x|

Es. ∈ ℕ 0

1

{a,b,c} 2

3

{a,b} {a,c} {b,c} 4

5

{a} {b} {c} 6

|

0 |

DOMINIO CODOMINIO

Def. f:A → B è una funzione

a∈ A

f(a) è l'IMMAGINE di a

(f(a)∈ B ) A}

f(A) = {f(a) | a ∈ ⊆B

IMMAGINE di A Im (A)

b∈ B

−1 = {

f a∈ A| f }⊆ A

(b) (a)=b

PRE-IMMAGINE di b

−1 −1

f f b)| b∈ B }

(B)={ (

f : x∈P ({a,b,c}) -> |x|∈ℕ

f({a,b}) = 2 l'immagine di {a,b} è 2

f(P({a,b,c})) = {3,2,1,0} ⊆ℕ

−1

f a , b , c }}

(3)={{

−1

f (2)={{a,b},{b,c},{a,c}}

−1

f (1)={{a},{b},{c}}

−1

f }

(0)={∅

−1 −1 −1

f f f ...

(5)=∅= (4)= (18)

Def. f: A → B

f suriettiva su

se b∈ B t.c f

∀ ∃a∈A (a)=b

cioè ogni elemento del codominio è raggiunto da una freccia

f è iniettiva se

f(x) = f(y) => x = y

o equivalente

x != y => f(x) != f(y)

f : n∈ℕ-> n∈ℕ

Es. f(n) = n funzione identica

è suriettiva per ogni n∈ℕ n= f n)

(

è iniettiva perchè n != m se e solo se f(n) != f (m)

f è biettiva(biettiva) o biunivoca se è sia su che in

Es. Es. A= {1,2,3} B = {h,k,l}

ℕ 1

n∈ℕ-> 3∈ℕ h

2 k

f(n) = 3 funzione costante Su? no

In? no 3

0 l

0

1 1 f(1) = h

2 2 no in

3 3 f(2) = l no su

4 4

5 5 f(3) = h

h

1 k

2 l

3

g(1) = h in

g(2) = k => biettiva

out

g(3) = l

Es. A={1,2,3,4} B={h,k,l}

1 h non esistono funzioni iniettice

2 k

3 l

4

Es. B → A È in

h 1 Non è su

k 2

l 3

4

Proprietà se X e Y insiemi finiti

Se |X| < |Y| allora non esistono funzioni suriettive da X a Y

Se |X| > |Y| allora non esistono funzioni iniettive da X a Y

Se |X| = |Y| e f: X → Y è iniettiva (su)

allora f è anche suriettiva (in) su?

Es. n∈ℕ

Sia

->

f x -2x se x<=0

∈ ℤ 2x-1 se x>0 o n è pari => n = 2 m => n = f(-m)

∈ℕ n = (-2)(-m) => n = f(-m)

f(-2) = 4 f(-1)=2 opp n è dispari => n = 2m – 1 m>0

f(-57) = 114 => n = f(m)

f(2) = 3 f(1) = 1

f(57) = 113

x , y x !=z

∈ℤ

per verificare che f è iniettiva

devo controllare che f(x) != f(y)

Diversi casi:

x,y <= 0

f(x) = -2x f(y) = -2y

se x != y => -2x != -2y OK

x,y > 0

f(x) = 2x -1 f(y) = 2y – 1

x!=y => 2x – 1 != 2y – 1

x <= 0 y >0

f(x) è pari => f(x) != f(y)

f(y) è dispari

Quindi f è iniettiva => è biettiva

Esercizi

n∈ℕ -> n+1∈ℕ

f: +

g∗n -> n+1∈ N

∈ ℕ

f : x∈ℤ -> 3x−2∈ℕ

Def. Se f:A → B biettiva

allora −1

f b∈ B -> a∈ A t.c. f(a)= b)

(

−1

f inversa di f