Algebra e geometria - minimi massimi e nozioni

Massimo e minimo di un insieme

Consideriamo un insieme A con una relazione d'ordine RM tale che a∈A aRM∈A ∀m∈ A tale che a A mRa∀ ∈ES.

Esempio di insieme

Consideriamo l'insieme A = {2,3,5,6,15,30}. La relazione d'ordine è definita come nRm <=> m è multiplo di n (cioè n divide m).

30 è il massimo, 6 e 15 sono i minimali. 2, 3, 5 sono minimali.

Definiamo m∈ A come minimale se non esiste a∈ A tale che aRm. M è massimale se non esiste a A tale che MRa∈A ∈NOTA.

Note sull'ordine

Se tutti gli elementi sono confrontabili tra di loro, allora un elemento minimale è anche un minimo. Inoltre, se esiste il minimo, esso è unico.

Esempi

• Es. {1,2,3,4,5} - 1 è il minimo e minimale.
• {a,b},{a,b,c},{a,c,d},{a} - 5 è il massimo e massimale.

Un insieme è detto totale ordinato o catena se è totalmente ordinato, ad esempio, {a,b} ⊆ {a,c,d}.

Per aggiungere un massimo dobbiamo considerare un insieme che contiene gli altri, ad esempio {a,b,c,d},{a,b,c,d,e}.

Relazioni di ordine

Se A⊆ B, la relazione d'ordine su B è tale da considerare un elemento di B maggiore di ogni elemento di A.

Definiamo:

• {b∈ B | b ≤ a per ogni a∈ A} insieme dei minoranti di A in B.
• {b∈ B | b ≥ a per ogni a∈ A} insieme dei maggioranti di A in B.

L'estremo inferiore di A in B è il massimo dei minoranti, mentre l'estremo superiore di A in B è il minimo dei maggioranti.

Esempio calcolo estremo

Es. A = {3, 36, 4, 27} - Calcolare inf e sup di A in N.

• I minoranti di A sono {1} quindi inf_A = 1.
• I maggioranti di A sono {108, 216, 432,...} quindi sup_A = 108.

Funzioni e applicazioni

Consideriamo una funzione f tale che f: n∈ ℤ → ℤ con f(n) = n². Questa è una relazione binaria su ℤ.

Definiamo una relazione R su A×B come funzione se esiste b∈B tale che a R b per ogni elemento a∈A e l'elemento b in relazione con a è unico.

Esempio di funzione: {(n, n²) | n∈ ℤ} perché per ogni n∈ℤ esiste n² tale che nRn²∈ℤ e inoltre è unico.

{(n, n) | n∈ℤ} non è una funzione perché non tutti gli elementi di ℤ sono il quadrato di un numero. {(n², n) | n∈ℤ} è una funzione? Sicuramente per ogni n esiste n tale che n² R n∈ℤ, ma n non è unico.