Algebra e geometria - matrici

Matrici esercizi soluzioni

1. Calcolo prodotto delle righe per colonna in una matrice 3x3

BA = 1 2 3 6 0 4 1 -1 2 1 0 0 3 2 0 3 2 5 1 1 3 A+ = 2 -1 2 3 2 0 AB = Prodotto delle righe per colonna matrice 3x3

17 6 19 11 4 14 20 0 12

2. Determinazione del discriminante

1 -1 2 3
1 0 1 2
3 -1 -1 -2
0 1 1 2

detA = -1 * det(-1 2 3 -1) * det(1 -1 3)
-1 -1 -2
3 -1 -2
1 1 2 0 1 2
+2 * det(1 -1 2 3 -1 -1)
0 1 1 -1 2

– 4 -3 + 3 -2 + 4
1 1 2 1 1 = 0
Devo ripetere la stessa cosa per tutte e 3.

3. Calcolo determinanti di matrici al variare del parametro k

k -1 2 k
1 1k -2 1 1
0 13 1 0 2 k 0k
-1 2 k -1k .2 1 k -2

= -9 + 2k + 12 - k3 1 0
3 1 = k + 9
Se detA = 0, se k = -9 => A non è invertibile.
Se detA!= 0, se k != -9 => A è invertibile.

4. Determinazione matrici inverse (se esistono)

1 1 1 0 -1 2 1 0
2 0 0 1 0 1 1 1
0 0 1 1 2 1A = 1 1 = 0 -2 = -2
2 0A+ = 1 21 0A^-1 = 1/ detA 0 -1 = 1/-2 0 -1
-2 1 -2 10 +1/2 +1 - 1/2−1
A * = I = 1 0A 0 1
1 1 0 ½ = 1 02 0 1 - ½ 0 1

5. Calcolo delle matrici AB * B^-1, B^-1 * AB, BA, AB

detA = +5 * det(5 1 -1) * det(0 5)
1 4 -1 1= 5 * (19) -1 * (5) == 95 – 5 = 90
A+ = 5 0 -10 5 1-1 1 4A+ = 1/90 + det(5 1 - det 0 1 + det 0 5)
1 4 -1 4 -1 1- det 0 -1 + det 5 -1 - det 5 0
1 4 -1 4 -1 1+det 0 -1 - det 5 -1 + det 5 05
1 0 1 0 5= 1/90 19 -1 +5-1 19 -5+5 -5 25−1 1 0 0A ∗A= 0 1 00 0
1detA = a * det(a 1 =1 a= a * (2a-1))
Se a!= 0, a!=1/2 => det A != 0 è invertibile
a * (2a – 1) != 0
a!=0 2a – 1 != 0 → 2a != 1 a != ½

6. Risoluzione equazioni matriciali

a∈B
Trovare i valori a 1 -1 risulta invertibile.
Posto a = 1 risolvere l'equazione
matriciale A * X = B
a = 1 A*X = B
3x3 2x2 3x2
A = 1 1 -1 B= 2 10 2 1 0 10 1 1 1 0
X = a bc de f
A * X = Ba + c – e = 21 1 -1 a b 2 1
a + c – e = 20 2 1 c d = 0 10 1 1 e f 2 0
2c + e = 0c + e = 2a + c – 4 b + d – f 2 12c + e 2d+f 0 1 b + d – f = 1
c+e d+f 2 0 2d + f = 1d + f = 0
Trasforma le seguenti matrici in matrici e scala
A = 1 0 1 5 B = 0 0 1 1 C = 1 0 D = 1 0 03
1 0 3 1 -1 0 8 1 8 2 2 21 -1 0 8 1 50 2 0 0 2 0
B = 0 0 4 1 1 -1 0 8 1 -1 0 8
matrice1 -1 0 8 0 -2 0 0 0 -2 0 0 scala1 -1 0 8 0
0 4 1 0 0 1 10 -2 0 0 1 -1 0 8 0 0 0 0
R1 = R3 R4 = R4 - R1