Algebra e geometria - matrici

3)

Calcolare, al variare del parametro k, i determinanti delle seguenti matrici

k -1 2 k 1 1

k -2 1 1 0 1

3 1 0 2 k 0

k -1 2 k -1

k .2 1 k -2 = -9 + 2k + 12 - k

3 1 0 3 1 = k + 9

Se detA = 0, se k =-9 => A non è invertibile

Se detA!= 0, se k !=-9 => A è invertibile

4)

Determinare, se esistono, le matrici inverse delle seguenti

1 1 1 0 -1 2 1 0

2 0 0 1 0 1 1 1

0 0 1 1 2 1

A = 1 1 = 0 -2 = -2

2 0

A+ = 1 2

1 0

A^-1 = 1/ detA 0 -1 = 1/-2 0 -1

-2 1 -2 1

0 +1/2

+1 - 1/2

−1

A * = I = 1 0

A 0 1

1 1 0 ½ = 1 0

2 0 1 - ½ 0 1

6) A= -5 0 -2 B= 1 1 -1

0 5 1 -1 1 1

-1 1 4 2 0 1

Calcolare le matrici AB * B^-1, B^-1 * AB, BA, AB

detA = +5 * det 5 1 -1 * det 0 5

1 4 -1 1

= 5 * (19) -1 * (5) =

= 95 – 5 = 90

A+ = 5 0 -1

0 5 1

-1 1 4

A+ = 1/90 + det 5 1 - det 0 1 + det 0 5

1 4 -1 4 -1 1

- det 0 -1 + det 5 -1 - det 5 0

1 4 -1 4 -1 1

+det 0 -1 - det 5 -1 + det 5 0

5 1 0 1 0 5

= 1/90 19 -1 +5

-1 19 -5

+5 -5 25

−1 1 0 0

A ∗A= 0 1 0

0 0 1

detA = a * det a 1 =

1 a

= a * (2a-1)

Se a!= 0, a!=1/2 => det A != 0 è invertibile

a * (2a – 1) != 0

a!=0 2a – 1 != 0 → 2a != 1 a != ½

7) a∈B

Trovare i valori a 1 -1 risulta invertibile. Posto a = 1 risolvere l'equazione

matriciale A * X = B

a = 1 A*X = B

3x3 2x2 3x2

A = 1 1 -1 B= 2 1

0 2 1 0 1

0 1 1 1 0

X = a b

c d

e f

A * X = B

a + c – e = 2

1 1 -1 a b 2 1 a + c – e = 2

0 2 1 c d = 0 1

0 1 1 e f 2 0 2c + e = 0

c + e = 2

a + c – 4 b + d – f 2 1

2c + e 2d+f 0 1 b + d – f = 1

c+e d+f 2 0 2d + f = 1

d + f = 0

Trasforma le seguenti matrici in matrici e scala

A = 1 0 1 5 B = 0 0 1 1 C = 1 0 D = 1 0 0

3 1 0 3 1 -1 0 8 1 8 2 2 2

1 -1 0 8 1 5

0 2 0 0 2 0

B = 0 0 4 1 1 -1 0 8 1 -1 0 8 matrice

1 -1 0 8 0 -2 0 0 0 -2 0 0 scala

1 -1 0 8 0 0 4 1 0 0 1 1

0 -2 0 0 1 -1 0 8 0 0 0 0

R1 = R3 R4 = R4 - R1

R4 = R2