Matrici - Algebra e Geometria

La matrice C ha tante righe quante sono le righe della matrice A e tante colonne quante sono le colonne della matrice B.

Il prodotto tra due matrici NON gode della proprietà commutativa(tranne per le matrici quadrate)

Gode della proprietà associativa e della proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma

Elevamento a potenza

E' possibile effettuare l'elevamento a potenza solo per le matrici quadrate.

Calcolo del determinante

• Ordine 1: il determinante è uguale all'unico elemento della matrice

• Ordine 2: prodotto della diagonale principale meno il prodotto della diagonale secondaria(?)

• Ordine 3: si copiano le prime due colonne a destra della matrice e si evidenzia la diagonale principale (azzurro); si esegue la somma dei prodotti della

diagonale principale e delle sue parallele e gli si sottrae la somma dei prodotti della diagonale secondaria e delle sue para llele. Regola di Sarrus

• Matrice quadrata di ordine n con tutti 0 nella prima colonna tranne il primo elemento: prodotto del primo elemento (prima riga e prima colonna) per il

determinante della matrice ottenuta eliminando la prima riga e la prima colonna (quelle di appartenenza dell'elemento).

In questo caso la matrice che

rimane è una matrice

quadrata di ordine 3 risolvibile

con Sarrus

Primo teorema di Laplace

Utilizzato per il calcolo del determinante di una matrice quadrata di ordine n

Il determinante associato alla matrice quadrata di A si può calcolare come somma dei prodotti degli elementi di una riga o di una colonna per i rispettivi

complementi algebrici

Secondo teorema di Laplace

La somma dei prodotti degli elementi di una riga o di una colonna per i complementi algebrici degli elementi di un'altra riga o colonna è uguale a 0

Matrice inversa

Data una matrice A, la sua inversa B è una matrice tale che A x B = matrice identità (matrice con tutti zero tranne la diagonale principale formata da tutti 1). Non

sempre esiste. E' unica. Esiste se il determinante di A non è nullo.

Metodo Gauss-Jordan: data una matrice A si affianca una matrice identità dello stesso ordine e si effettuano le operazioni elementari fino a che la matrice A

diventa una matrice identità. La matrice identità iniziale(quella a destra) sarà diventata la matrice inversa di A.

Matrice trasposta T

La matrice trasposta A è una matrice in cui si scambiano ordinatamente le righe con le colonne. La prima riga diventa la prima colonna, la seconda riga diventa

la seconda colonna e così via.

Matrice triangolare

Matrice i cui elementi sottostanti alla diagonale principale sono tutti 0. r -

Eliminazione gaussiana: per portare a 0 un elemento della riga r si applica la formula k

Sottomatrici

Data una matrice A di ordine m x n (quindi anche non quadrata), chiamiamo sottomatrice di A una matrice che si ottiene eliminando da A alcune righe e/o

colonne. Se la sottomatrice risultante è quadrata si chiama minore. Togliendo da una matrice una riga e una colonna, otteniamo una sottomatrice quadrata

solamente se la matrice di partenza è quadrata.

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