Geometria e Algebra - algebra lineare

Esercizi di GEOMETRIA I - Algebra Lineare

1. Tra le seguenti matrici, eseguire tutti i prodotti possibili:

   

µ ¶

1 2 −1 1

1 3 4

   

0 1 1 2

A = B = C =

−2 0 1

−1 0 2 1





µ ¶ 0 −5

¡ ¢ 1 4 

 4 2

0 1 1

D = E = F =

4 2 6 1

 

1 1 −1

 

1 t

0 2

2. Data la matrice A = , calcolare A · A − A + I .

3

2

0 −2 −1

3. Calcolare i determinanti e, quando possibile, le inverse delle seguenti matrici:

   

1 4 1 1 −1 1

   

2 2 1 2 1 −1

A = B =

0 1 −1 3 0 0

 

  1 2 4 5 6

1 6 0 0  

3 4 0 2 7

   

−1 1 2 1

   

4 1 −1 3 2

C = D =  

 

0 1 0 1  

1 1 0 2 1

2 3 −1 1 5 4 0 0 5

4. Determinare quali tra i seguenti sottoinsiemi sono sottospazi vettoriali; di questi ultimi

determinare una base. 2 2

U = {(x, y) ∈ R | x + y = 0} U = {(x, y) ∈ R | x + y = 3}

1 2

3

U = {(x, y, z) ∈ R | 2x = y + 1}

3 4

U = {(x, y, z, t) ∈ R | x + y − z = 0, t = 3x}

4 µ ¶

a b

U = {A = ∈ M (R) | det A = 0}

5 2

c d

µ ¶

a b

U = {A = ∈ M (R) | a = 0}

6 2

c d 1

5. Determinare la dimensione ed una base dei seguenti sottospazi vettoriali:

U = L((1, 0, 1), (2, 1, 1), (−6, −2, −4))

W = L((3, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 1), (2h, h + 2, h, h + 1)) (al variare di h ∈ R).

6. Determinare la dimensione ed una base per i sottospazi U , W , U + W e U ∩ W , nei

seguenti casi: 3

(a) U, W ⊆ R U = L((1, 0, 1), (2, 1, 1)), W = L((8, −3, 5), (0, 1, 1), (3, −1, 2)).

µ ¶

a b

(b) U, W ⊆ M (R), U = { / a + b + c = 0, b + 2c + d = 0},

2 c d

µ ¶ µ ¶ µ ¶

4 1 3 0 9 3

W = L( , , ).

0 4 2 1 −2 11

7. Stabilire quali tra le seguenti applicazioni sono lineari; per queste ultime determinare

la dimensione ed una base del nucleo e dell’immagine. Stabilire inoltre quali sono iniettive,

quali suriettive e quali isomorfismi.

4 3

f : R → R f (x, y, z, t) = (x − y, y + z, t)

1 1

3 2

f : R → R f (x, y, z) = (x + 3y, y − 4z − x) f = f ◦ f

2 2 3 2 1

2 3

f : R → R f (x, y) = (x + y, y, x)

4 4

2 4

f : R → R f (x, y) = (3x, x, 2x, 0)

5 5

3 2

f : R → R f (x, y, z) = (x + 3, y)

6 6

3 3

f : R → R f (x, y, z) = (2x + y, z, x − y).

7 7

8. Per ciascuna delle seguenti applicazioni lineari determinare la matrice associata rispetto

0

alle basi B e B , dimensione ed una base dell’immagine e del nucleo:

4 3

(a) f : R → R , f (x, y, z, t) = (x − y, y + z, t)

B = ((2, −1, 0, 0), (−1, 1, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 1))

0

B = ((1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, −4, −3));

3 2

(b) g : R → R , g(x, y, z) = (x + 3y, y − 4z − x)

0 2

B = ((1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, −4, −3)), B = base canonica di R ; 0

(c) h = g ◦ f, B = ((2, −1, 0, 0), (−1, 1, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 1)), B = base canonica

2

di R ; 2

3 2 3 2 2

(d) f : R [t] → R [t], f (at + bt + ct + d) = (a + c)t + (−2a + 3b + c)t + (a − b + 4d)

2 3 0 2

B = (1, t, t , t ), B = (1, t, t ); 11 22 33 0

(e) f : M (R) → R, f (A) = trA = a + a + a , B la consueta base di M (R) e B la

3 3

base canonica di R.

9. Data la famiglia di applicazioni lineari

3 4

f : R → R f (x, y, z) = (x − y + (1 − λ)z, λx + 2y + λz, 2x, λy + 2z)

λ λ

determinare la dimensione di Im f al variare di λ ∈ R.

λ 4 3

10. Data la famiglia di applicazioni lineari f : R → R (α ∈ R) f (x, y, z, t) =

α α

(αx, y − t, 2x + αz), determinare gli eventuali valori di α per i quali dim Kerf = 2. Per tali

α

valori di α determinare una base per Kerf e per Imf .

α α

11. Determinare gli eventuali valori di λ ∈ R per i quali l’applicazione lineare:

3 3

f : R → R , f (x, y, z) = (5x + 2y, (λ − 2)z, y − x)

λ λ

è un isomorfismo. Per tali valori di λ determinare l’inversa di f .

λ

12. Sia V uno spazio vettoriale su un campo K e f : V → V una applicazione lineare. Sia

2 2

W = {u ∈ V / f (u) = u} (dove f = f ◦ f ).

Dimostrare che W è un sottospazio vettoriale di V .

3

Nel caso in cui V = R e f (x, y, z) = (2x + y, x − z, z), trovare dimensione ed una base per W .

3 4

13. Determinare l’applicazione lineare f : R → R tale che Kerf = L((1, 0, 1)),

f ((2, −1, 3)) = (−2, 0, −1, −3), f ((1, 0, 0)) = (2, −3, 1, 1)).

4 0 3

Dire se esistono una base B di R ed una base B di R tale che la matrice associata ad f

 

1 3 −1

 

−1 0 −2

 

0

rispetto alle basi B e B sia la matrice .

 

0 2 −2

2 1 0

4 4

14. Sia f : R → R l’applicazione lineare tale che: f (1, 1, 0, 0) = (−2, 4, −2, 0), f (0, 0, 0, 1) =

(2, −1, 1, 5), f (2, 0, 1, 0) = (2, 1, 1, 0), f (0, 0, −1, 0) = (−2, 1, −3, 0). Trovare l’immagine del

vettore (2,3,-3,4). µ ¶

5 −1 11

3 2

15. Determinare l’applicazione lineare f : R → R che ha la matrice 0 2 −8

3 0

come matrice associata rispetto alle basi B = ((1, 1, 1), (0, 2, 1), (2, −4, −3)) di R e B =

2

((1, 1), (0, 2)) di R . 3

3 3 3

16. Sia V uno spazio vettoriale e B = (e , e , e ) una sua base. Sia T : V → V

1 2 3

l’applicazione lineare tale che:

T (e − 3e ) = e − 2e − e , T (e + e + e ) = 3e + 4e , T (e − e ) = e

1 3 1 2 3 1 2 3 2 3 2 3 1 2

Determinare il valore del parametro reale k affinchè il vettore v = (k + 1)e − 4(k − 1)e

2 3

appartenga al nucleo di T . 4

17. Si consideri il sottospazio vettoriale di R

U = L((1, h, 2, 0), (−1, 2, 0, h), (1 − h, h, 0, 2))

e se ne calcoli la dimensione al variare di h ∈ R.

4

Posto h = 2, trovare l’endomorfismo f di R tale che

Kerf = U , f ((0, 0, 1, 1)) = (1, 1, 1, −1) , f (1, 0, 1, 0) = (3, 1, 2, −2).

4

Dato il sottospazio W = L((0, 1, 0, −1)(2, 0, 1, −3), (1, 0, 1, −3)) ⊆ R , trovare dimensioni e

basi dei sottospazi W, f (W ), W ∩ f (W ), W + f (W ).

3 4

18. Per ogni λ ∈ R, sia T : R → R l’applicazione lineare avente come matrice associata

λ

rispetto alle basi canoniche la matrice:

 

λ − 2 λ − 1 λ − 1

 

0 1 1

 

A =  

λ λ − 2 2(λ − 1) 2λ − 1

0 λ 1

Determinare, al variare di λ ∈ R, basi e dimensioni dei sottospazi KerT e ImT .

λ λ

3 4

Posto λ = 2, determinare l’applicazione lineare f : R → R avente A come matrice associata

2

3

rispetto alla base canonica di R ed alla base

B = ((1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, −1, 1), (0, 0, 0, −2))

4

di R .

19. Risolvere, quando possibile, i seguenti sistemi lineari:

 

13x − 5y − 3z − t = 12 2x − 3y + 5z − t = 1

 

 

 

 

2x − y + t = 3 x + y − z − 2t = 2

 

3x − y − z − t = 2 x − 4y + 6z + t = −1

 

 

 

5x − 2y − z = 5 4x + 6y + 10z − 2t = 2

20. Discutere i seguenti sistemi lineari, al variare del parametro λ ∈ R:

4

  

λx + λy + z + t = λ 3x + y + z = 1

 

 

   (1 − λ)x + y + z + t = 2

  

x − λy + z = 3λ (1 − λ)x − 2y + z = 1 x + λy = 2

  

2x + 2z + λt = 4 2x + 3y = λ

  

  x + y + 3z − t = 4

 

(1 − λ)x + 2y + t = −2λ 4x − y + (2 − λ)z = 2

21. Discutere il seguente sistema lineare al variare dei parametri h, k ∈ R:



kx + y + z + 1 = 0









y + z = 0



x + hz + k = 0







x − hy = 0

22. Data, per ogni α ∈ R, l’applicazione lineare

3 3

f : R → R , f (x, y, z) = (3x + 3y + 3z, 3x + αy + z, y + αz)

α α

trovare, se esistono, i valori di α per i quali il vettore v = (α, 0, 2) appartiene a Imf .

α α

23. Data, per ogni α ∈ R, l’applicazione lineare

4 4

f : R → R , f (x, y, z, t) = (x+αy −3z +4t, 2x−y +2z −2t, 3x+y −z +αt, 4x+3y −4z +6t)

α α

trovare, se esistono, i valori di α per i quali il vettore v = (−1, 4, 3, 2) appartiene a Imf .

α α

4

24. Trovare un sistema lineare minimo che rappresenti i seguenti sottospazi di R :

U = L((0, 1, 1, 0), (0, 1, −1, 0)), W = L((1, 2, 3, 0), (1, 1, 0, 0)).

Lo stesso per U + W e U ∩ W .

25. Si determinino, se esistono, i valori del parametro k ∈ R per i quali esiste una base B k

4 4

di R rispetto alla quale sia diagonale la matrice associata all’endomorfismo T di R definito

k

da: T (x, y, z, t) = (3x + y + z, 4x + 3y + 2z, z, 2x + ky + 3z + 5t)

k

Per tali valori del parametro trovare B .

k

√

 

0 3 0

√

  −1

26. Data la matrice A = , trovare una matrice regolare E tale che E AE

3 2 0

0 0 −1

sia diagonale.

Determinare, se esistono, i valori dei parametri a, b, c, d ∈ R per i quali la matrice B =

 

a 0 b

 

2 3 0 è simile ad A.

2 c d 5

27. Trovare, se esistono, i valori dei parametri per i quali risultano simili le matrici:

 

 

2 1 1 3 0 1

   

1 2 1 a 0 b

A = e B =

1 1 2 5 1 c

. 3

28. Stabilire, motivando la risposta, se esiste una base B di R rispetto alla quale la





1 0 1 



2 −1 1 .

matrice associata all’endomorfismo f (x, y, z) = (2x + y, x − z, z) sia A = 1 2 3

3 3

22. Data, per ogni k ∈ R, l’applicazione lineare f : R → R definita da f (x, y, z) =

k k

((1 &