Algebra e geometria lineare - le applicazioni lineari

Definizione di applicazione lineare

Siano \( V \) e \( W \) due spazi vettoriali sul campo \( K \). Dire che \( f: V \rightarrow W \)

è un'applicazione lineare significa che \( f \) è lineare in quanto rispetta le

seguenti proprietà:

1. \( f(x+y) = f(x) + f(y) \) qualunque siano \( x, y \in V \) (cioè l'immagine della somma di due elementi è uguale alla somma delle immagini);
2. \( f(ax) = a f(x) \) qualunque siano \( a \in K \), \( x \in V \).
   • \( \forall x, y \in V \)
   • \( f(x+y) = f(x) + f(y) \)
   • \( f(ax) = a f(x) \) \( \forall a \in K \) \( \forall x \in V \)

Esempio:

\( R^2 \rightarrow R^2 \) ovviamente verifichiamo che è lineare:

\( v_1, v_2 \in V = R^2 \)

\( v_1 = (x_1, y_1) \)

\( v_2 = (x_2, y_2) \)

\( f(v_1 + v_2) = f(v_1) + f(v_2) \rightarrow f(x_1 + x_2, y_1 + y_2) = f(x_1, y_1) + f(x_2, y_2) \)

\( v_1 + v_2 = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) \)

\( f((x_1 + x_2, y_1 + y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, x_1 + x_2, y_2) =

(x_1, y_1, 2y_1) + (x_2, y_2, 2y_2) = \)

le leggi di a \( (x_1 + x_2, y_1 + y_2, x_2, 2x_1, 2x_2, y_2, 2y_1, 2y_2) \)Solo esattamente uguali

Definizione di applicazione lineare

Sianno ed due spazi vettoriali sul campo K, una f:V→W è un'applicazione f: dice che f è lineare se satisfa le seguenti proprietà:

1. f(x+y)=f(x)+f(y) qualsiasi siano x, y (cioè l'immagine della somma di due elementi è uguale alla somma delle immagini)
2. f(ax)=af(x) qualsiasi siano a ∈ K e x ∈ V

per: x,y ∈ Vf(x+y)=f(x)+f(y)f(ax)=af(x) a ∈ K ∀ x ∈ V

Esempio:

• r^2→R^3 definito sef(x,y)=(x+y, 2y) applicazione lineare
• v1 e v2 o V=R^2

v₁=(x₁, y₁) v₂=(x₂, y₂)f(v₁+v₂)=f(v₁)+f(v₂)v₁+v₂ (x₁+x₂, y₁+y₂)f(x₁+x₂, y₁+y₂)=f(x₁, y₁)+f(x₂, y₂)

f(x₁+x₂, y₁+y₂)=(x₁+y₁, 2y₁),f(x₂+y₂)=(x₂+y₂, 2y₂)

Proprietà:

1. a ∈ R, ∀v = (x,y) ∈ R²

∃ f(av) = a f(v)

f(ax, ay) = a (x,y, 2y)

→ sbagliato ipotesi vale nell'insieme

(ax, ay, 2ay) = (ax + ay, 2ay)

sono ipotesi c.v.d.

Esempio non lineare

Verifico che non è lineare

1. ∀v₁ + v₂ ∈ R²

∃ f(v₁ + v₂) = f(v₁) + f(v₂)

dove v_i = (x_i, y_i) = (x₂, y₂)

f(x₁ + x₂, y₁ + y₂) = f(x₁, y₁) + f(x₂, y₂)

per le epse per la legge

x₁y₁ + x₂y₂ = x₁y₂, x₂y₁ ≠ x₁y₁ + x₂y₂

Sonono operai eseguire sbagliato perché lineare

3^o esempio

Applicazione lineare nulla f: V → W definita da f(x) = ∂∅ per ogni elemento x di V detto dominio

Proprietà elementari delle applicazioni lineari

1) f(a₁x₁ + ... + a_nx_n) = a₁f(x₁) + ... + a_nf(x_n)

es per la linearità f(a₁x₁ + a₂x₂) = f(e₁x₁) f₂(a₂x₂) =

--------------- 2) f(0_v) = 0_w

prove:

0_v = 0_v + 0_v

f(0_v) = f(0_v) = f(v₁ + v₂)

3^a proprietà

f(-v) = -f(v) per ogni vettore v∈V

f(-v) - f(1 v) = -f(v)

L'immagine di una applicazione lineare

Sia f: V → W una applicazione lineare tra due K-spazi vettoriali. Chiamiamo Im f (immagine di f) il sottospazio del così tale che i soli elementi

v∈V si ha Im f ={f(v) | v∈V} In simb

Im f = {f(v) | v ∈ V} = W}"

Osservazione: dato che f(0_v) è un oltre, 0∈v Im f quindi l'immagine di f non sarà mai l'insieme vuoto.

Applicazioni lineari suriettive

Se Im f = W allora ƒ si dice suriettiva o surlocutiva.

Si costruiscano test f grafic per verificare se un'applicazione lineare è suriettiva.

A = 3 che cure inifiori è detta suriettiva. A tutti gli elenchi del CODOMINIO piraquono da album reoleonuti del DOMINIO - B, - B.

• es. ƒ : Q → Q ƒ(x) x

Ker f. Nuclco dirive applicazione lineare

Sia ƒ : V → W una applicazione lineare tra due k-spazi caltoriali. Chimiciano Ker di ƒil nucleo di ƒ la fotoruviso dei DOMINIO tale che noi elencomi burma come linemari lo zero di W ƒ(x) = 0

Ker ƒ = {v Є V | ƒ(v) = 0ԝ}

Doto che {0ᵥ} Є 0ᵥ 0ᵥ sopre e Reг di amica che ฮถ шые объ เหї вуз линечоне возд

• Ker ƒ

Ker ƒ di V dellema ƒ(v) = 0ᵥ Volote ƒ(v) = 0ᵥ Conoliotere che 0ᵥ в Ker ƒ

Proposizione

Dimostrare che ker(f) e ker(g) sono due sottospazi (basi verificano che

sono chiusi rispetto alla somma ed il prodotto esterno)

1) ∀ x, y ∈ ker(f) -> x + y ∈ ker(f)

2) ∀ a ∈ K, ∀ x ∈ ker(f) -> a * x ∈ ker(f)

Verifichiamo 1)

x ∈ ker(f) -> f(x) = 0

y ∈ ker(g) -> g(y) = 0

sommi membro a membro

f(x) + g(y) = 0 w

f(x + y) = 0 w

per la lineare

quindi x + y ∈ ker(f) c.v.d.

Verifichiamo 2)

∀ a ∈ K

a * f(x) = a * 0 w

f(ax) = 0 w -> ax ∈ ker(f) c.v.d.

Inf f è isomorfismo ==> bijettore

Dato V uno spazio vettoriale dato come catodome f(V)

Se V = L(v₁, ..., v_n) allora f(v) = L(f(v₁), f(v_n))

Applicazioni lineari iniettive

Un esercizio da usare di grafica anche per verificare se un'applicazione lineare è iniettiva.

Se f: A → B tra due insiemi è detto iniettiva se fa corrispondere elementi distinti di A elementi distinti di B cioè:

Se x, y ∈ A _{x ≠ y} → f(x) ≠ f(y) O equivalentemente

Se x, y ∈ A , f(x) = f(y) → x = y.

Altro equivalente:

f(x) = f(y) → x = y

Esempi, f(x) = x²

1. 2
2. -2

non è iniettiva

Teorema che caratterizza le applicazioni lineari iniettive

(im) inverso

Se f: V → W un'applicazione lineare. Allora f è iniettiva se e solo se Kerf contiene soltanto Ov (cioè Ker f = {Ov})

DIMOSTRAZIONE

⇒ C.N.: Hp f è iniettiva

⇒ Ker f = {Ov}

Prendo v ∈ Ker f e fario vedere v = 0_v

1. Di v sto nel varco ma in un'immagine quindif(v) = 0_w quindi f(0_v) = 0_w (proprietà)

Ho trovato due vettori che hanno la stessa immagine, ma per Hp la f è iniettiva allora i due vettori devono essere ugualiv = 0_v

C=5

Ho S=

J di S identica.

f(v), g(v) ? V=V'

g(v), f(v) = o v

J (v - v) =>

per la biuoneta.

(luarine le feureou roain er avera replezia)

V - V ∈ keg

una L: posica che ex il nucleo e fatto bsb dal vetein metta quirical

v_g - v = Σ v_j guy unita => v = v' C.V.d.

Data une matrice cauas si riesele all'appaizasione liunese besi a

di qua meta ci fiu asumure lo sprinkle a l, le

prime colume ad apriro delle meurire impuestos le crownsual

d(rj) restate sobe noto di W, doe b, p mundo annbe, le procima ecc..

V=R³ W=R²

1. v₁ = {r, 2, i} avene base ben ei piurein?

afj che bene canuire di β³ E; {r, 1, 0}

E; {0, 1, 0}

E; (tq, w)

1. &e i_k + j_t

Rifere V salah sloes bose A cuorito boce C. dei stanno di A

{r, 2, i}= x v₁ y v₂ + z y₃= {x, y } A

{r, 2, 1} riurare x v_li₂n

(v₁, z) => {x {r, 2

{y (2, 4

(x, 2, a}

[r, 3ry; i₂, x; x =x ] -> {λ + 3y i₂ i₃ = 1

2x = 2

[x.t = λ

La soluzione del sistema è:

x=4

y=0

z=0

Dati V= R³ e W= R² con basi:

A= {v₁=(1,2,0), v₂=(-3,0,0), v₃=(2,0,1)} base di V= R³

B1={(1,4), x₂=(1,0)} base di W= R²

Costruiamo la matrice definita a angoli due basi:

A^B(f) (_B) dato nel testo (base grafica)

1^o colonna=(4) è l’immagine del 1^o vettore base A, infatti:)

M(f)= tre basi coincide.

2^o colonna=(___,)_B2=(0,1)*2v₂=(-2,0)_B

3^o colonna=(4/3)*x₃=,(1,4)_B

Def2:

Data la luna una a, b, i, z consideriamo vettori introdotte delle basi A, idee f(u,v,) l’immagine o X, si devono compositori di diviti risotto alle basi Z o W e s elottato la colonna le neve vetta anzui che il diviene vettori steci.(ad e) stridente le basi di . o + ad f.o2 adjericano una componianzo bionica tra t_wj ed t(L.vj..w.)

Sia f R³ → R² con le seguenti uguaglianze:

f(v₁) = (1, 0) _A f(v₁) = 1w₁ + 2w₂

f(v₂) = 2w₁ + 3w₂

f(v₃) = w₁ − 3w₂

Trovare M^AB(f)

f(v_i)_B

{ f(v₁), f(v₂)_B

Osando c.l. di B

f(v₁) = w₁ + 2w₂ H = (1, 2) B 1^a colonna

f(v₂) = 0w₁ + 2w₂ (0, 2) B 2^a colonna

f(v₃) = w₁ − 3w₂ (1, −3) B 3^a colonna

M^AB(f) =

(1, 0, −1)

(2, 2, −3)

Esempio: Usa le basi dell'esempio precedente g: R³ → R² con le basi g(x, y, z) = (x + 2z, x + 2y)

Trovo f(v₁), f(v₂), f(v₃) e dopo traccio le componenti di questi vettori rispetto alla base B e le metto in COLONNA.

La matrice associata alla riduzione di base A B si denota con M^AB(_T)

Teorema M^Λ'Λ(g) ε M(_n)

dove Λ = {y₁ = (1, 2, 1)

                 y₂ = (3, 0, 0)

                 y₃ = (2, 3, 1) }

B = {α₁ = (1, 1)

        y₂ = (1, 0) } ε base canonica

M_B^B' (g) = \begin{pmatrix}5 & 3 & 2 \\0_B & 0_B & 0_B\end{pmatrix}

f(v_1) = ℓ(1,2,0) = \begin{pmatrix} 5,5 \end{pmatrix} \text{ cambio base (x-y,x) } \end{pmatrix} = x v_2 + y v_2 = x(1,1) + y(1,0) = (x-y,x) \begin{array}{l} x-y=5 \\ x=5 \end{array} y=0

f(v_1) = ℓ(3i,0,0) = (3,3) = \text{ cambio base = (x-y,x) } \begin{array}{l} x-y=3 \\ x=3 \end{array} (3,0_B)

f(v_3) = ℓ(2,0,1) = (6,2) \begin{array}{l} x-y=6 \\ x=2 \end{array}

\text{Correspondance } M(\gamma) = M^{\epsilon \epsilon}_{\xi' \xi}(g) = (J^{\beta|e})_{\epsilon}^{\xi} = (J^{e|g})_{\xi}^{\epsilon}

f(e_1) = ℓ(1,0,0) = (1,4,1) \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\1 \end{pmatrix}_{E_K}

f(e_2) = ℓ(0,1,0) = (0,2)_E

f(e_3) = ℓ(0,0,1) = -(1,m^3)

M(g) =\begin{pmatrix}1 & 0 & 4 \\1 & 2 & 0\end{pmatrix}

M_B^{B'} (\phi) = \begin{pmatrix}5 & 3 & 2 \\0 & 0 & 4\end{pmatrix};

2x3

\text{Al n. di righe e di colonne è giusto. Hanno lo stesso punte lenno lo stesso lungo. SONO SIMILI}

Sia

∀ α, β ∈

B = A

dim V = 3

=

Operazioni tra operazioni lineari e composizioni, matrici

Vediamo delle operazioni che le applicazioni lineari corrispondono alle analoghe operazioni sulle matrici omotetie pi

si basa su una ragione generale. Dicesi poichè le matrici associate agli ISSOMORFISMI sono invertibili e viceversa.

Teorema (matrice associata alle somme di due applicazioni lineari) Siano V, W due K-spazi vettoriali ed f: V → W una applicazione lineare, dire k. √(f + g) dice che ƒ, ʻ sono ƒ ʌ A, B sono di W, le K rispettivamente Allora y: L(A, B)[g] = y; √(f) + y√(g)

cioè le matrici associate alla somma di due applicazioni lineari è uguale alla somma di due matrici associate purchè si usano le STESSE BASI

Teorema (matrice associata al prodotto esterno di f) Siano V, W due K-spazi vettoriali e siano V''' → W una specie e π una y, sezione Siano pi A, B, soni di V, W rispettive Allora S''[g]

M(pi) = alt[pi].

Quindi Λ(V, W) = K nocch

Teorema (matrice associata alla APPLICAZIONE COMPOSTA) siano V, W, Z due K - spazi vettoriali e siano st V''' → W e V''' → Z due anche con g, l applicazione lineare composta de V''' E h sono pi A, B, C basi di V, W, + rispettivamente Anche Mφg = MΦ g (f) = mod φ(f)

V → B

qΦfg(u); g(πg(u))

M B Φ g; y mod Φ g

muolé φ poi g mu e sono sì contrario

Studio di un'applicazione lineare

Dato f: V → W un'applicazione lineare con

V e W quozio classi di dimensione di dominio e codominio che V e W dim che W dim

Supponiamo di fissare una base in dominio. Una base per codominio possiamo anche calcolarcia i codomini e cosò.'94.

Sia quindi ab bas Xi chiamato A。

Formula 1 (f) / DIm (f) ci proponiamo distudiare con definire Lin v delle f.

Lin f questo con vettore di codomini avere per comporio

Ed colonna di matrice quenze il numero mincoia.

L'applicazione a un certo numero di operazioni [x] e similal le dim (ρ) il (Ma (f)).

Lin f: (c1, c2, ..., cn) colonne RANGO Sejun Ling

Esempio V - R² R: applicazione lineare associata medesimeE base canoniche alle matrici.

e.g. (Ma (f)) :

• 1 2
• 2 3
• 3 1 4

(Rango di esempio prur. 2 ne volgere):

Indicare L di una sua base

{c1,C2} L di ρ 賞 constituito: 2

minchi domici: ρ = 2

O base 於 Rif Junf Lin f (c2, c3) op L(c1, c2)

Le liste la matrice associ α dim base

A: 1 = {1,1,0,0},_v2= {1,0,1,1},_v3={0,0,1},_v35 pol E omunico eLe password qui.

Il tappa :

{0,A1,3} pol Le omunico epoly [1 0 0]

{Ma (f)}:

• 1 1 1 2
• 2 3
• 3 1

Ahese Lineje invertito da L (pf.), B0 pf, wύ {wfυa} dove

f1(v1): (1,2,3)_B = x w1 + 2 w2 + 3 w3= (5,3,2,1)

g(w2): (0,1,-2)_B = 1 u1 + 1 u2 + 1 u3 = (1,2,2,1)

f(v3): (1,1,1)_B = 1 u2 + 3 u3 = (0,-1) =(5,3)

f(u): (2,-5,4)₀ = 3 w2 + 4 w3 = (5,1)

Base Img: {(1,2,3)_B, (1,1,1)_B}

Baza Img: {(3,3,1), (1,1,0)}

f^-1(w)

(cercare)

(da V taleche la lunghezza se uguale a w)

Casos trova la controimmagine:

(X₁ Y₁)

:(X_n Y_n)