Algebra e geometria lineare - le applicazioni lineari

Definizione di apprezzione lineare

Siano V e W due spazi vettoriali sul campo K, una f: V→W

s: V x V → W si dice che f e lineare se valendono le

seguenti proprietà:

1. f(x+y)= f(x) + f(y) Per qualsiasi x, y ∈ V (cioè l'immagine della somma di due elementi è uguale alla somma delle immagini)
2. f(ax) = a f(x) per qualsiasi x ∈ V, per ogni a ∈ K

Esempio:

R²→R² definito da Per estensione che f e lineare

V₁ e V₂ ∈ V = R²

V₁ = (x₁, y₁) V₂ = (x₂, y₂) f(V₁, V₂) = f(V₁) + f(V₂) → f(x₁, x₂, y₁+y₂) = (y₁+x₁, y₂+y₁) V₁ + V₂ = (x₁+x₂, y₁+y₂) f V(x₁, x₂, y₁+y₂) f(x₁+x₂, y₁+y₂)

La legge di ↔x₁+x₂, x₃+x₄, x₅+x₂, x₄x₅+x₆, y₁+y₂

(x₁+x₃, x₁+x₄, x₂, y₂, x₆).

Definizione di proiezione:

∀ a ∈ ℝ, ∀ \(\vec{v} = (x,y) \in \mathbb{R}^2\)

\(\vec{f} (a \cdot \vec{v}) = a \cdot \vec{f}(\vec{v})\)

\(\vec{f}((x, xy))\) = a \cdot (x + y, x + y) = [legge viale nel testo]

(ax + ay, 2ay) = (ax + ay, 2ay)

Sono uguali C.V.D.

Esempio non lineare

: ℝ² → ℝ da (, ) =

(2, 3) = 6 (1, 5) = 5

Verifica che non è lineare

1) ∀ \(\vec{v}_1 + \vec{v}_2 \in \mathbb{R}^2\)

\(\vec{f}(\vec{v}_1 + \vec{v}_2) = \{\) □, \(f(\vec{y}) \}\) dove \(\vec{v}_1\) = \((x_1, y_1)\)

\(\vec{f}(x_1 y_1, x_2 y_2) = f(x_1 y_1),\) \(f(x_2 y_2)\)

Per la legge f

(x_1 x_2 y_1, y_1 y_2) = x_1 x_1, x_1 x_1

(x_1x_1, x_1 x_1, y_1, x_1 y_2) x ≠ x1 x2 x1

Non sono uguali, quindi non lineare

3° esempio

Applicazione lineare nulla \(\vec{f}\): \(\vec{V} \rightarrow W\) definito da \(f(x) = 0_W\) per ogni elemento \(x\) di \(V\) detto dominion

Diagramma:

\(V \rightarrow \{x, y\} \rightarrow W\)

Applicazioni lineari iniettive

L'analisi a livello di grafico aiuta per verificare se una funzione lineare è iniettiva.

Se A e B due insiemi e detto iniettiva se f fa corrispondere ad elementi distinti di A elementi distinti di B

x₁, x₂ ∈ A sse y₁, y₂ ∈ B f(x₁) ≠ f(y₁) o equivalentemente

x, y ∈ A, f(x) = f(y) → x = y

_∀

Per x ≠ y f(x) ≠ f(y)

Altra definizione

x, y, t che f(x) ≠

Teorema che caratterizza le applicazioni lineari iniettive

- Il nucleo

f: V → W un'applicazione lineare. Allora f è iniettiva sse Kerf contiene soltanto Ov (cioè Kerf = {Ov})

DIMOSTRAZIONE

⇒ C.N.

Hp f è iniettiva._∀ x∈V

f(x) = (fase x0)

Penso x∈Kerf e fasso vedono v = 0_v

f e (fase nel nullo ma in iniezione quindi

f(x) = 0_v quindi f(0_v) = 0_v (proprietà)Ho trovato due vettori che hanno lo stesso inunque, ma per HP la f è iniettiva deve i due vettori devono essere uguali.

V = L(x₁, x₂, x₃) L ^B (1,0,1,0) L ^B (1,1,0,1)

V = L(a,b) (0,1,0,0)

k = 0, 2, 3

VcR

x = v₁ + v₂ + x

f(x) = x₁

f(x) = v₁ + ? + v₂ = 1(x)v

find M^ϲϲ(p) da {x} {v₁,v₂,v₃}

bound di V

image

B = A

dom V ⊃ ⊂⟨?

f(x, y) = (...)

v₁ = l₁v₂ l₂y₂ + l₃y₃ = (a x, y x z)

• (0,0,0) (0,0,2) (0,1,0) (0,2,0)
• (1, x, y, z, 0) = (a)

x+y = x

otherwise x+4y;y₂

• x+y = 0
• x=z
• x+y = 0
• z=4

• x = a
• y = 1
• z = a

(y x y x) = r₀ +x

• y₂ + v₃ + v₃
• -v₁ - 1 + 2v₂ + v₃

f(a) = x ² - y ^a

f≤(x,v) = [0,0,1]