Algebra e geometria - applicazioni lineari

Applicazioni lineari e basi

Definizione di applicazione lineare

Un'applicazione lineare è una funzione f: V → W tale che per ogni v₁, v₂ appartenenti a V, si ha:

• f(v₁ + v₂) = f(v₁) + f(v₂)
• f(r * v) = r * f(v) per ogni scalare r

Ker e Im di un'applicazione lineare

Il nucleo (Ker f) di un'applicazione lineare f è definito come:

Ker f = {v ∈ V | f(v) = 0}

Ker f è un sottospazio di V.

Il teorema sulla dimensione afferma che se U ha dimensione n e f: V → W è un'applicazione lineare, allora:

• dim Ker f + dim Im f = dim V

Concetti di base

Sia Ker f generato da una base {w₁, ..., w_r} e Im f generato da una base {t₁, ..., t_s}. Esistono degli u_i tali che f(u_i) = t_i.

Per dimostrare che {w₁, ..., w_r, u₁, ..., u_s} è una base di V, consideriamo che ogni v in V si può esprimere come combinazione lineare di elementi di questa base.

Calcolo della combinazione lineare

Per ogni elemento v in V:

• f(v) = ∑_i=1^s c_i t_i, dove i coefficienti possono essere trovati sfruttando le proprietà delle applicazioni lineari.

Mostriamo che:

v = ∑ b_i w_i + ∑ a_i u_i, confermando che gli a_i e b_i sono nulli se la combinazione è zero, dimostrando così l'indipendenza lineare.

Conclusione

Abbiamo dimostrato che {w₁, ..., w_r, u₁, ..., u_s} genera V ed è linearmente indipendente, quindi è una base di V con dim V = n = r + s.

Rappresentazione matriciale

Se f: V → W è un'applicazione lineare tra spazi vettoriali su ℝ, allora f può essere rappresentata da una matrice m x n.