Algebra e geometria lineare - disposizioni semplici e ripetute permutazioni

Disposizioni semplici e combinazioni

Disposizioni semplici

Le disposizioni semplici di h oggetti presi da n sono calcolate con la formula: \( \frac{n!}{(n-h)!} \).

Disposizioni con ripetizione

Le disposizioni con ripetizione sono calcolate con la formula: \( n^h \).

Numero di sottoinsiemi

Il numero di sottoinsiemi di h elementi presi da un insieme di n elementi è calcolato con la combinazione: \( \binom{n}{h} = \frac{n!}{h!(n-h)!} \).

Esempio: A = {a, b, c, d, e}. Quanti sottoinsiemi da 3 elementi ha? La risposta è:

\( \frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10 \).

Combinazioni di gusti

Esempio: Una gelateria ha 12 gusti di gelato, quanti coni gelato con 3 gusti diversi posso fare?

\( \frac{12!}{(12-3)!3!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220 \).

Combinazioni con ripetizioni

Esempio: Ci sono 10 tipi di frutta e ne voglio scegliere 4 anche uguali tra loro.

La formula per le combinazioni con ripetizioni è: \( \binom{n+h-1}{h} \).

Calcolo: \( \frac{13!}{4! \cdot 9!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 715 \).

Permutazioni

Una permutazione di n oggetti è una disposizione di n oggetti su n.

Esempio: A = {a, b, c, d}. La sequenza abcd è una permutazione degli elementi di A. Ci sono \( n! \) permutazioni possibili di n elementi, cioè \( n! = 4! \) permutazioni di a, b, c, d.

Funzioni tra insiemi

Funzioni tra due insiemi

Voglio contare le funzioni tra due insiemi finiti A e B.

Esempio: A = {1, 2, 3, 4} e B = {a, b, c}. Ci sono \( |B|^{|A|} \) funzioni tra A e B, cioè \( 3^4 = 81 \) funzioni possibili.

Funzioni iniettive

Esempio: A = {1, 2, 3, 4} e B = {a, b, c, d, e}. Ci sono \( \frac{|B|!}{(|B|-|A|)!} \) funzioni iniettive, cioè \( \frac{5!}{(5-4)!} = 120 \).

Funzioni biettive

Le funzioni biettive si hanno quando |A| = |B|. Ci sono |A|! funzioni biettive.

Problemi di probabilità

Probabilità di un quiz

Un quiz ha 10 domande con 4 possibili risposte. La probabilità di indovinare una risposta è \( \frac{1}{4} \). La probabilità di indovinare tutte e 10 le risposte è \( \left(\frac{1}{4}\right)^{10} = 9 \cdot 10^{-7} \).

Quali sono le possibilità di indovinare 7 risposte su 10? La probabilità è data da:

\( 10 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^7 = \frac{7}{1000} = 7 \cdot 10^{-3} \).

Principio di induzione

Somma di numeri consecutivi

Voglio sommare i numeri da 1 a 100. Esempio:

• 1 + 2 = 3
• 1 + 2 + 3 = 6
• 1 + 2 + 3 + 4 = 10
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

La formula per la somma dei primi n numeri naturali è \( \frac{n(n+1)}{2} \).