Algebra e geometria lineare - definizioni, enunciati e dimostrazioni

Definizioni

Spazio vettoriale

Sia K un campo e V un insieme non vuoto. V si dice spazio vettoriale su K o K-spazio vettoriale se:

• In V è definita un'operazione di somma: \( V \times V \to V \), denotata con \( v + v' \),
• È definita un'operazione di prodotto esterno: \( K \times V \to V \), denotata con \( kv \).

Sono verificate le seguenti proprietà:

• \( V \) è un gruppo commutativo.
• Per ogni \( k, k' \in K \) e \( v, v' \in V \), si ha: \( k(v + v') = kv + kv' \) e \( (k + k')v = kv + k'v \).
• \( kk'v = k(k'v) \) e \( 1v = v \), ove 1 è l'elemento neutro del campo K.

Sottospazio vettoriale

Sia V un K-spazio vettoriale rispetto alle operazioni di somma e prodotto esterno, e W un suo sottoinsieme. Diremo che W è un sottospazio vettoriale di V se, rispetto a queste operazioni, W ha una struttura di K-spazio vettoriale.

Base e dimensione di uno spazio vettoriale

Si consideri V un K-spazio vettoriale. Un insieme ordinato di vettori \(\{v_1, ..., v_n\}\) di V si dice base di V se è un sistema libero di generatori, cioè \(\{v_1, ..., v_n\}\) sono linearmente indipendenti.

Se esiste un intero positivo n tale che il K-spazio vettoriale V ammetta una base di n elementi, diremo che V ha dimensione n e scriveremo \(\dim(V) = n\). Qualora il campo K sia chiaro dal contesto, si può omettere. Altrimenti, se \(\dim(V) = 0\), poniamo \(\dim(V) = \infty\) se V non è finitamente generato.

Rango di una matrice

Data una matrice A di dimensioni \(m \times n\), si dice rango di A e si indica con \(\operatorname{rank}(A)\) il numero \(\dim(\operatorname{R}(A))\), dove \(\operatorname{R}(A)\) è lo spazio generato dalle righe di A.

Matrice ridotta per righe

Una matrice A si dice matrice ridotta per righe se, eliminando le righe nulle e permutando opportunamente le colonne, si ottiene una matrice della forma:

Spazio delle soluzioni di un sistema lineare

Un insieme di equazioni lineari nelle incognite \(\{x_1, ..., x_n\}\) a coefficienti in un corpo K si chiama sistema lineare. Si userà la seguente notazione:

• \(a_{11}x_1 + ... + a_{1n}x_n = b_1\)
• \(a_{21}x_1 + ... + a_{2n}x_n = b_2\)
• ...
• \(a_{m1}x_1 + ... + a_{mn}x_n = b_m\)

Una soluzione del sistema lineare è un n-upla \((x_1, ..., x_n)\) di K che soddisfa ogni equazione del sistema. L'insieme delle soluzioni del sistema è un sottoinsieme di \(K^n\), detto spazio delle soluzioni.

Applicazione lineare

Siano V e W due K-spazi vettoriali. Un'applicazione \(f: V \to W\) si dice lineare se gode delle proprietà:

• \(f(X+Y) = f(X) + f(Y)\)
• \(f(aX) = a f(X)\)

Nucleo e immagine di un'applicazione lineare

Data un'applicazione lineare \(f: V \to W\), si dice nucleo di \(f\), e si denota con \(\ker(f)\), il sottoinsieme di V definito da:

\(\ker(f) = \{v \in V \mid f(v) = 0\}\).

Si dice immagine di \(f\), e si denota con \(\operatorname{Im}(f)\), il sottoinsieme di W definito da:

\(\operatorname{Im}(f) = \{w \in W \mid \exists v \in V \text{ tale che } w = f(v)\}\).

Matrice di cambiamento di base

La matrice si dice cambiamento di base da B a C e si indica con \(M_{B,C}\).

Somma diretta di sottospazi vettoriali

Siano W1 e W2 due sottospazi di un K-spazio vettoriale V. La somma \(W1 + W2\) si dice diretta se ogni suo elemento v si scrive in modo unico nella forma \(v = w_1 + w_2\), con \(w_i \in W_i\), \(i=1,2\). In tal caso scriveremo \(V = W1 \oplus W2\).

Matrici simili

Due matrici A e B si dicono simili se sono associate ad uno stesso endomorfismo di \(K^n\), e scriviamo \(A \sim B\).

Autovettori e autovalori

Sia \(\varphi \in \text{End}(V)\) un endomorfismo di un K-spazio vettoriale V. Se \(v \in V\) è un vettore non nullo e se esiste \(\lambda \in K\) tale che \(\varphi(v) = \lambda v\), allora \(\lambda\) si dice autovalore di \(\varphi\) e \(v\) si dice autovettore associato a \(\lambda\).

Autospazi

Sia \(\varphi \in \text{End}(V)\) un endomorfismo di un K-spazio vettoriale V, e sia \(\lambda\) un autovalore di \(\varphi\). L'insieme \(\{v \in V \mid \varphi(v) = \lambda v\}\) è un sottospazio vettoriale di V e viene detto autospazio associato all'autovalore \(\lambda\).

Polinomio caratteristico di una matrice

Il polinomio caratteristico di una matrice A è definito come \(p(T) = \det(A - TI)\).

Giacitura di una retta e di un piano

Il sottospazio vettoriale univocamente associato ad una varietà lineare affine S si dice giacitura di L e si indica con \(\mathcal{L}(L)\).

Data una retta, la sua giacitura è la corrispondente retta parallela passante per l'origine.

Rette parallele

Se due varietà lineari affini <(\mathcal{L}, \mathcal{L}')\ hanno la stessa giacitura, si dicono parallele.

Piani paralleli e retta e piano paralleli

Due varietà lineari affini (anche di diversa dimensione) si dicono parallele se la giacitura di una è contenuta nella giacitura dell'altra.

Enunciati

Criterio di sottospazio vettoriale

Sia W un sottoinsieme non vuoto di un K-spazio vettoriale V. [Segue l'enunciato che non è stato completato nel testo originale.]