Algebra e geometria lineare - definizioni, enunciati e dimostrazioni

K

2. Sottospazio vettoriale: ⊆V

W

Sia V un K-spazio vettoriale rispetto alle operazioni s e p e un suo sottoinsieme.

Diremo che W è un sottospazio vettoriale di V se, rispetto ad s e p, W ha una struttura di K-

spazio vettoriale.

3. Base e dimensione di uno spazio vettoriale: = 

I v ,... , v

Si V un K-spazio vettoriale. Un insieme ordinato di vettori di V si dice base

1 n

=L 

V v ,... , v v ,... , v

di V se I è un sistema libero di generatori, cioè e sono

1 n 1 n

linearmente indipendenti.

Se esiste un intero positivo n tale che il K-spazio vettoriale V ammetta una base di n

V =n

dim

elementi, diremo che V ha dimensione n e scriveremo o più semplicemente,

K ={0 }

V

V =n

dim

qualora il campo K sia chiaro dal contesto, . Altrimenti: se v

V =0 V =∞

dim dim

poniamo ; se invece V non è finitamente generato, si pone .

4. Rango di una matrice m , n  A

Data una matrice , si dice rango di A e si indica con il numero

A∈ K

 C 

dim R=dim .

5. Matrice ridotta per righe

Una matrice A si dice matrice ridotta per righe se, eliminando le righe nulle e permutando

opportunamente le colonne, si ottiene una matrice di tipo:

 

a a a a

11 12 13 14

0 a a a

22 23 24

0 0 a a

33 34

6. Spazio delle soluzioni di un sistema lineare

Un insieme di equazioni lineari nelle incognite a coefficenti in un corpo si

x , ... , x

m n K

1 n

dice di equazioni in incognite.

sistema lineare m n

Si userà la seguente notazione:

  =

a x ... a x b

11 1 1n n 1

  =

a x ... a x b

 : 21 1 2n n 2

⋮ ⋮ ⋮

  =

a x ... a x b

m1 1 mn n m

Una è un di che è soluzione di ogni

   n

, ... , K

soluzione del sistema lineare n-upla 1 n

equazione del sistema. L'insieme delle soluzioni del sistema è un sottoinsieme di

Σ

, detto di

n Σ

K spazio delle soluzioni .

7. Applicazione lineare

Siano V e W du K-spazi vettoriali. Un'applicazione si dice se gode delle



f :V W lineare

proprietà:

L1:  Y =f  f Y 

f X X

L2: aX =a  

f f X

8. Nucleo e immagine di un’applicazione lineare

Data un applicazione lineare , si dice di , e si denota con ,

f 

 ker

f :V W f

nucleo

il sottoinsieme di V definito da:

f ={v∈V∣f  }

ker v=0 .

W

Si dice di , e si denota con , il sottoinsieme di V definito da:

f 

Im

f

immagine .

f ={w∈W∣esiste v }

Im v∈V tale che w=f

9. Matrice di cambiamento base

B, C

La matrice si dice da B a C e si indica con .

M B, C

M

matrice del cambio di base

id V

10. Somma diretta di sottospazi vettoriali =W W

W , W W

Siano due sottospazi di un K-spazio vettoriale V. La somma si

1 2 1 2

w

dice diretta se ogni suo elemento v si scrive in modo unico nella formula con

v=w 1 2

=W W

∈W W

w , i=1,2 . In tal caso scriveremo .

1 2

i i

11. Matrici simili

Due matrici si dicono se sono associate ad uno stesso endomorfismo di

n ,n

A , B∈K simili

e scriviamo .

n A~ B

K

12. Autovettori e autovalori

Sia un vettoriale e sia ; se è un vettore non nullo e se

∈End V  ∈V

v

V K-spazio

esiste tale che

∈K ,

v = v

allora si dice di e si dice associato a

   

v

autovalore autovettore di

13. Autospazi

Sia un vettoriale e sia ; se è un autovalore di , allora

∈End V   

V K-spazio

l'insieme

={v ∈V∣ }

V v= v



è un sottospazio vettoriale di e viene detto associato all'autovalore .



V autospazio

14. Polinomio caratteristico di una matrice

T 

p

il polinomio si dice della matrice

polinomio caratteristico A.

A  

T  det A−TI

è definito come .

p n

A

15. Giacitura di una retta e di un piano

Il sottospazio vettoriale univocamente associato ad una Varietà Lineare Affine

n

S⊂ K

si dice di L e si indica con .

S

n

L⊂A giacitura L

Data una retta la sua giacitura è la corrispondente retta parallela passante per

S

r, r

l'origine.

16. Rette parallele

Se sono due V.L.A. Che hanno la stessa giacitura si dicono

n

⊆A  

L , L ' K parallele.

17. Piani paralleli

18. Retta e piano paralleli ⊆S

S '

Due V.L.A. (anche di diversa dimensione) si dicono se o

n  

L , L '⊆A K parallele L L

⊇S

S ' .

L L

ENUNCIATI:

1. Criterio di sottospazio vettoriale

Sia un sottoinsieme non vuoto di un vettoriale Sono equivalenti i seguenti

W K-spazio V.

fatti:

i. è un sottospazio vettoriale di

W V;

ii. è chiuso rispetto a e cioè

W s p,

a) per ogni si ha ;

∈W

w , w ' ww '∈W

b) per ogni , per ogni si ha ;

∈ ∈W ∈W

k K w kw

iii. per ogni , per ogni si ha

∈ ∈W ∈W

k , k ' K w , w ' kwk ' w '

2. Metodo per il calcolo del nucleo di lineare

un’applicazione

B e C rispettivamente e sia

Siano V e W due K-spazi vettoriali, di basi 

f :V W

B ,C

un'applicazione lineare, con . Per determinare il nucleo di si procede come

A=M f

f

segue:

i. Si risolve il sistema e si determina una base

 =0

: AX

1 1 p np

a  

,... , a ,... ,a , ... , a

1 n 1 S

per lo spazio delle soluzioni .



1 1 p np

ii. Ne segue .

=La   

kerf , ... , a , ... , a , ... , a

1 n B 1 B =S

kerf

In particolare, se e è la base canonica, allora .

n

=K B

V 

3. Metodo per il calcolo dell’immagine di un’applicazione lineare

Siano e due vettoriali, di basi B e C rispettivamente e sia 

f :V W

V W K-spazi B ,C

un'applicazione lineare, con per determinare l'immagine di si procede come

A=M f

f

segue:

i. Si riduce la matrice A per colonne e si ottiene una base

   

b b

11 p1

,⋯ ,

⋮ ⋮

b b

1m pm

per lo spazio (A) delle colonne di

C A.

f =  b  

Im Lb , ... , b , ... , ,... , b

ii. Ne segue .

11 1m C p1 pm C

In particolare, se e è la base canonica, si ha .

f =C 

m Im A

=K

W C

4. Teorema di Grassmann

Sia un vettoriale di dimensione finita e siano e due sottospazi di Allora

V K-spazio U W V.

si ha .

U W =dim U dim W −dim U ∩W 

dim

5. Criterio di iniettività di un’applicazione lineare

Si consideri un'applicazione lineare ; i seguneti fatti sono equivalenti



f : V W

i. è iniettiva;

f f ={0 }

ker

ii. ;

V

iii. , per ogni matrice A associata a .

V 

rho A=dim f

6. Criterio di suriettività di un’applicazione lineare

Si consideri un'applicazione lineare ; i seguneti fatti sono equivalenti



f : V W

i. è suriettiva;

f

ii. , per ogni matrice A associata ad .

 

A=dimW f

7. Criterio di isomorfismo di un’applicazione lineare

Sia un'applicazione lineare tra K-spazi vettoriali della stessa dimensione.



f :V W

Sono fatti equivalenti:

i. è iniettiva;

f

ii. è suriettiva;

f

iii. isomorfismo.

f

8. Metodo di risoluzione dei sistemi lineari

Dato il sistema lineare , abbiamo quindi il seguente schema di risoluzione:

=B

AX

i. Si riduce per righe la matrice , ottenendo la matrice , con

  

A , B A ' , B ' A '

ridotta per righe (i sistemi e sono equivalenti).

=B =B

AX A ' X '

ii. Si determina lo spazio delle soluzioni di (usando il metodo di risoluzione

=B

A ' X '

dei sistemi ridotti), che coincide con lo spazio delle soluzioni di .

=B

AX

9. Teorema di Rouché-Capelli

Dato il sistema lineare in incognite , posto si ha:

 =B =

: AX A

n

a) ha soluzioni se e solo se .

  A= A , B

In tal caso:

b) le incognite libere sono ;

n−

c) si possono scegliere come incognite libere certe incognite se e solo se le

n−

restanti sono corrispondenti a colonne di linearmente indipendenti.

 A

10. Teorema su matrici associate ad una applicazione lineare e cambiamenti di base (con

diagramma)  

Siano V e W due K-spazi vettoriali, e due rispettive basi,

B= v ,... , v C=w , ... , w

1 n 1 m

e sia un'applicazione lineare. Si dice ad



f : V W f

matrice associata rispetto alle basi B e

B , C

e si denota con , la matrice di le cui colonne sono costituite dalle

m , n

M K

C, f

componenti, rspetto a , delle immagini dei vettori della base Esplicitamente, dalle

C B.

espressioni

v =a ⋯a  =a ⋯a

f w w ; f v w w

1 11 1 m1 m n 1n 1 mn m

 B , C

A=a

viene individuata la matrice e si pone .

=

M A

ij f

11. Metodo per determinare se una matrice è diagonalizzabile

Data una matrice , si consideri l'endomorfismo associato ad A

n n

n , n : 

K K

A∈K

rispetto alla base canonica . Per definizione, A è diagonalizzabile se e solo se è

 

semplice. Dunque si procede come segue: T = T 

p p

i. si calcola il polinomi caratteristico di e si calcolano le sue radici



 A

;

 

, ... ,

1 s

ii. se esiste tale che , allora A non è diagnoalizzabile;

 ∉ K

i i =dim V 

m

iii. se per ogni , basta verificare che , per ogni

 ∈K i=1,... , s i 

i i

; se ciò accade, A è diagonalizzabile;

i=1,... , s

iv. in quest'ultimo caso, A è simile ad ogni matrice diagonale avente gli autovalori



sulla diagonale, ripetuti secondo le relaticve molteplicità

 

, ... ,

1 s B , B

=M

; precisamente , ove è una base di autovettori di V;

 

m , ... , m B

1 s 

−1

v. i