Algebra e geometria lineare

Area matrice 2x2

Diagonale principale

Det = ad - bc

Determinante matrice 2x2

Esempio: 2, 3, 4, 5 = 2 * 5 - 4 * 3 = -2

I determinanti 2x2 servono a calcolare le aree.

I determinanti 3x3 servono a calcolare i volumi.

Area con determinante

Esempio: w₁ = (1, 2), w₂ = (3, 2), A = |2 - 2| = 2

1232, A = |1 * 2 - 3 * 2| = 2

Dimostrazione

Richiami di geometria elementare:

• A = b * h (Parallelogramma)
• h = b * sin θ
• A = a * b * sin θ
• A = √(Det( 1 )²a² - 2 * c² * (1 - cos(2θ)))
• 1 * ||w||² ||u||²

Determinante matrice 2 x 2

1. Scenario: 1, 2, 3, 4

Det A = 1·4 - 2·3 = 4 - 6 = -2

I determinanti 2 x 2 servono a calcolare le aree.

I determinanti 3 x 3 servono a calcolare i volumi.

Area con determinante

1. Esempio: v = (1,2), w = (3,4)

A = |2 - 8| = 2

1. 1, 2, 3, 4

Det A = 1·4 - 3·2 = 4 - 6 = -2

Dimostrazione: richiami di geometria elementare

Area A = b·h (parallelogramma)

• b = ||w||
• h = b sin
• A = b h = ||w|| b sin
• A² = (det 1)² = ||u|| ||w|| sin
• Area = √(b² sin²)(-u·w) = prodotto scalare
• ||u x w||² = (u_x² + u_y²) (w_x² + w_y²) - (u_xw_x + u_yw_y)²
• A² = |u|²|w|² - (u.w)²

Trovare l'area di un poligono

Assegnate le coordinate dei vertici:

Segno del determinante:

• Espressione positiva se rotazione è in verso antiorario

u = (a,b), w = (c,d)

Det > 0

Det Det = 0

Esempio: u = (3,1), w = (1,3), Det _{3 11 3} = +8

Esempio: u = (1, 3), w = (3, 1), Det _{1 33 1} = -8

Esempio: u = (2,3), w = (3,2), Det _{2 33 2} = 4 - 9 = -5

Area poligonale chiusa

Siano P₁,...,P_n i vertici di un poligono, allora:

• Esempio: A = 1/2 | Det 0 00 1 | + Det x x_hy_h y_h | + Det 0 1x_h 0 | | = 1/2 | 0 + x_h + 0 | = x_h y_h / 2
• Esempio: P₁ (a, 0), P₂ (0, h), P₃ (x₂, h), P₄ (x₁, h), Δ₂ = ¹/₂ | 0 a x₂ x₁ || 0 0 h h | = ¹/₂ [ah + x₂h - x₁h] = ^h/₂ [a + (x₂ - x₁)]

Matrici

Tabelle rettangolari di numeri con n righe e m colonne: le righe si numerano dall’alto in basso e le colonne da sinistra a destra.

Esempio: n=2, m=3, A = ²/₄ ³/₇ ⁵

Per indicare gli elementi di una matrice si usano i "doppi indici":

• 1^o indice = riga
• 2^o indice = colonna

Rappresentazione elementi matrice

A = | _a11 a₁₂ ... a_1m || a₂₁ a₂₂ ... a_2m || ... || a_n1 a_n2 ... a_nm |

Definizione

• Una matrice con una riga si dice vettore riga.
• Una matrice con una colonna si dice vettore colonna.
• Le matrici con una riga e una colonna si identificano con i numeri → [3]

a₁₁ a₁₂ ... a_1m

a₂₁ a₂₂ ... a_2m

a_m1 a_m2 ... a_mm

n vettori riga rappresentati su un'unica colonna

Somma tra matrici

Si può fare solo se A e B, due matrici, hanno lo stesso numero di righe e colonne dello stesso ordine. Se A=(a_ij) e B=(b_ij) allora A+B=C=(c_ij) con c_ij = a_ij + b_ij

Esempio:

• 2  3  1   +   3  0  7 = 5  3  8
• -1 -5  4           6  1  2      6  5  8

Moltiplicazione tra un numero e una matrice

A numero λ A=(a_ij) λ A=(c_ij)

Esempio:

• 2  3  1  4λ  2-1 -5  62  4  6 = 2λ  10 -12

Con le matrici dello stesso ordine posso fare delle combinazioni.