Algebra e geometria lineare

AREA

MATRICE 2x2

2 righe 2 colonne

Determinante matrice 2x2

... numero che si indica con ... e il numero ottenuto da prodotto degli elementi della diagonale principale - il prodotto degli elementi della altra diagonale.

• Esempio: 1 2
• 3 1+4-2 3-4 6-5-2

I determinanti 2x2 servono a calcolare le aree

I determinanti 3x3 servono a calcolare i volumi

Area con determinante

Esempio v=(1,2)

w=(3,4)

A=-2

• Dimostrazione: Richiami di geometria elementare: A.BA (parallelopipedo)

A=ch=absin

A²=(Det)^2 ...

...

TROVARE L’AREA DI UN POLIGONO ASSEGNATE LE COORDINATE DEI VERTICI

SECONDO IL DETERMINANTE: L’ORIENTAZIONE POSITIVA DI ROTAZIONE È IN SENSO ANTIORARIO

• Det > 0
• Det < 0

ESEMPIO:

v = (3,1)

w = (1,3)

Det = _{^{3 1}}

         _{^{1 3}} = +8

ESEMPIO:

v = (1,3)

w = (3,1)

Det = _{^{1 3}}

         _{^{3 1}} = -8

ESEMPIO:

v = (2,3)

w = (3,2)

Det = _{^{2 3}}

         _{^{3 2}} = 4-9=-5

AREA POLIGONALE CHIUSA

ESEMPIO:

= 1/2 (0 + xh + 0) = xh/2

ESERCIZIO:

DETERMINANTI

A n x m Det (A) = |A| .

Moltiplicare . (r. prop. visto)

Accessione → = 2 determinanti e righe le det. costruite

segue)

c_1j = (-1)^j+i

NOTAZIONE: se A matrice i,j si indica con A_ij la matrice che si ottiene

eliminando da A la eo riga i e la colonna j

ESERCIZIO:

TEOREMA: A matriche n x n, i,j,k, ... ,h,

|A| =

SVILUPPO DI LAPLACE

v₃ v₃ = v₃ t v₂

v₁ v₃ v₁ v₂

w₃ w₃ = w₃ u w₂

w₁ w₁ w₂

P, Q, R non sono allineati ⇒ v₁, v₂ e v₃ non sono proporzionali

OSSERVAZIONI

Se A = b c d e con matrice 2x3 ⇒ vero oppure no che le righe di A sono

proporzionali se b f g c h i d e f = 0 ? VERO

d f: = d f = g h i = 0

18/10/18

v = (x₁, y₁, z)

w = (x₂, y₂, z)

Equivalente tra v i w non proporzionali e

* z

x₁ x₂

y₁ y₂ = 0

A crea parallelogramma generato da v e w

v e w proporzionali ⇔ A = 0

A: x₁ y₁ x₁ z

x₂ y₂ y₂ z = FORMULA (AREE)

A con

Usa le formule di Pitagora per le Equilatero

Se hai bisogno di Pitagora usalo anche per le aree

ESERCIZIO: v = (1, 2, 3) w = (3, α, 5)

3 x y₂ = 3 2 3

A² 4 i 15 v = 4 + 15 + 4 - 24

A = √20

y₂ i 2

METODO

[PITAGORA]

L 1 prima ipotesi v x + 2y - 3z = c con la giusta misura verso per punto passo per (3, α, 5)? π

si sostituiscono (3, α, 5) qui dentro c = 3*4 2 4r 1 3 5 - 3*4 8 t 5 = 26

= con x + 2y - 3z = 25 il piano di v = (1, 2, 5) lo stesso per π (3, α, 5)

Equazione parametica di v₂ nella passante per (0, 0, 0) e il passaggio all'ultimo

π per sostituire t: 4(4) - 6(5) + 26 t = 26 {4} 13

13 H = (13/7 26/7 39/7)

|v - t s = √l v 2 + 2 z 3 z²

s = √

DEFINIZIONE: Una matrice si usa in due casi:

• a) Pivot positivi
• b) Pivot negativi

TEOREMA (1): Ogni matrice si può trasporre mediante trasformazioni elementari sulle righe in una matrice a scala ridotta.

ESEMPIO:

PROPOSIZIONE: La matrice identità di ordine n è unica matrice quadrata di ordine n (n righe e n colonne) che sia a scala ridotta e si trova n (ossia n pivot).

ESEMPIO (2x2):

Ci sono solo una coppia pivotiali dove mettere i 2 pivot.

ESEMPIO (3x3):

Tre colonne dove costruire i pivot, con 3x fatto.

DIMOSTRAZIONE TEOREMA: Una matrice quadrata è invertibile se esiste una matrice dei coefficienti che faccia ottenere una sola soluzione come matrice identica e viceversa, infatti aggiungendo il termine noto si ottiene un'unica soluzione.

DIMOSTRAZIONE: Ax = b è equivalente a Sx = b dove la matrice S[1] è a scala ridotta se è raggiunta e anche S è a scala ridotta. S[1] = identica di ordine n. Tre matrice S[1] = x e quindi il sistema ha un'unica soluzione.

A matrice _4x4 quadrata inversa il sistema Ax = b ha come soluzione x = A^-1b

[ x ] = [ 2 -1 4 -2 ][ 5 ] [ y ] = [ -2 7 1 -2 ][ 5 ] [ z ] = [ 1 2 -1 3 ][ 9 ] [ w ] = [ 5 -1 -1 -3 ][ 9 ]

DIPENDENZA/INDIPENDENZA LINEARE

Det v₁, …, v_n vettori sono linearmente dipendenti se (almeno) uno di essi è combinazione lineare gli rimanenti.

Se v₁, …, v_n non sono linearmente dipendenti si dicono linearmente indipendenti (è impossibile trovarne uno che sia combinazione lineare dei rimanenti).

• ESEMPIO:

  v₁ = [ 1 2 ] v₂ = [ 10 0 ]

  v₂ = 10v₁ → linearmente dipendenti

• ESEMPIO:

  v₁ = [ 1 2 ] v₂ = [ 2 5 ] v₃ = [ 0 0 ]

  v₃ = 0v₁ + 0v₂ → linearmente dipendenti

Detti v₁, …, v_n vettori di Rⁿ a colonne

1. passo: scrivere in matrice le cui colonne sono v₁, …, v_n
2. passo: ridurre in forma la matrice (sono ammesse operazioni elementari solo sue righe che non scambiano colonne)
3. passo: r_n = il numero di pivot della matrice ottenuta:
• se r = n i vettori sono indipendenti
• se r < n i vettori sono dipendenti
4. ESEMPIO:

   v₁ = [ 1 2 ] v₂ = [ 10 20 ]

   [ 1 0 ] ← pivot = 1 [ colonne = 2 ] [ 0 0 ] r < n → vettori dipendenti

RANGO E MINORI DI UNA MATRICE

DEFINIZIONE

Il rango di una matrice è l'ordine massimo dei suoi minori non nulli.

ESEMPIO:

^[1 2 3^]

I minori di ordine 1 sono:

• [1]
• [2]
• [3]
• [6]

I minori di ordine 2 sono:

1. [1 2]
2. [3 2]
3. [4 5]
4. [4 6]
5. [5 6]

ESERCIZIO:

^[1 2 3^]

^[4 5 6^]

^[2 8 9^]

I minori di ordine 2 sono:

• [1 2]
• [3 2]
• [4 5]
• [6 5]
• [1 3]
• [2 3]
• [9 5]
• [9 8]

TEOREMA:

• Una matrice A ha rango r se:
• Tutti i minori di ordine r hanno determinante 0
• Tutti i minori di ordine superiore a r hanno determinante nullo

ESERCIZIO:

^[1 2 3^]

^[4 5 6^]

^[3 3 3^]

Det A ≠ 0 perché la 3^a riga è combinazione lineare delle prime e seconda riga.

(1=1,3=5-2=3,3=3)

DIMOSTRAZIONE:

Sia B una sottomatrice di A ottenuta cancellando righe linearmente indipendenti di A.

• ^I B ha r righe con ^r pivot
• I pivot trasportano le colonne per conseguenza: pivot