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Algebra e geometria - Congruenze lineari (parte ll)

Appunti di Algebra e geometria per l’esame della professoressa Gerla. Gli argomenti trattati sono i seguenti: spiegazione dell'aritmetica modulare (uso delle classi di equivalenza/congruenza), definizione di proprietà commutativa, associativa su insiemi, definizione di struttura algebrica e di elemento neutro.
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Esame di Algebra e Geometria docente Prof. B. Gerla

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Congruenze lineari

ax = b(mod n)

ha soluzioni se e solo se d = MCD(a,n) divide b

in questo caso di esprime come combinazione lineare di a e n

d = a a' + n n'

e una soluzione è x0 = a' * b/d k

le altre soluzioni sono x0 + n/d * k con ∈ℤ

Es. 36 x = 24 (mod 105)

MCD(36,105) 105 = 36 * 2 + 33

36 = 33 * 1 + 3

33 = 3 * 11 + 0

3 divide 24

quindi ci sono soluzioni

3 = 36 – 33

33 = 105 – 36 * 2

3 = 36 – (105 -36 * 2) = 36 * 3 - 105

a = 36 n = 105 d = 3

a' = 3 n' = -1

36 * 24 = 24 (mod105)

36 * 24 – 24 è un multiplo di 105

864 – 24 = 105 * 8 24 + n/d * k = 24 + 105/3 * k

= 24 + 35 * k

k ∈ℤ

Aritmetica modulare

Proprietà Se a≡b n) allora a+ c≡b+ c(mod n)

(mod

* a≡b(mod n) e c≡d mod n), allora a n)

( +c≡b +d (mod

* Se a≡b( mod allora a∗c≡b∗c mod n)

) (

Esempio n = 4

a≡b 4) se a−b∈4

(mod ℤ

4={[0]4, [1]4, [2]4, [3]4}

ℤ k }

[0]4 = {0,4,8, … } [2]4 = {2 + 4k | ∈ℤ

k }

[1]4 = {1,5,9, -3} [3]4 = {3 + 4k | ∈ℤ

-3 -1 = -4 - 3 = 4 * (-1) + 1

−4∈4 ℤ

4)

−3≡1(mod

[a]4 è l'insieme dei numeri che divisi per 4 danno resto a

=>

2≡6( mod 4) 2+1≡6+5( mod 4)

2+ 3≡6+3( mod 4) 3≡11( mod 4)

5≡9 n)

(mod

DEF. n

[a]n + [b]n := [a + b]n n = 4

∈ℤ [0] [1] [2] [3]

+

[0] [0] [1] [2] [3]

4

[1] [1] [2] [3] [4]=[0]

4

[2] [2] [3] [0] [1]

4

[3] [3] [0] [1] [2]

4

2={[0]2,[1]2}

ℤ [0] [1]

[0] [0] [1]

[1] [1] [0]

[a] n * [b] n := [a * b]n n = 3

X [0] [1] [2]

[0] [0] [0] [0]

[1] [0] [1] [2] [2]*[2] = [1]

[2] [0] [2] [1]

DEF. Un'operazione (binaria, interna) su un insieme A

è una funzione

* : A x A → A

Invece di scrivere *(a1,a2) si scrive a1 * a2 (notazione INFISSA)

x -> x ->

Es. +: ℤ ℤ ℤ ℝ ℝ ℝ

(x,y) → (x * y)

m x m -> m

+: ℤ ℤ ℤ

([a]m , [b]m) → [a+b]m

U: P(A) x P(A) → P(A)

(X,Y) → X u Y

Anche è un'operazione su P(A)

∩ A

Es. è l'insieme delle funzioni f:A → A

A A A A

Se => la composizione di funz. È una operazione su

f , g allora f o g A A

∈A ∈ a , b∈ A

DEF. Un'operazione * su A è COMMUTATIVA se per ogni

a * b = b * a

NON E' COMMUTATIVA f o g != g o f

x => n−m∈ℤ

Es. (n,m) ∈ℤ ℤ

la sottrazione non è commutativa n-m != m-n

Es. A = {a,b,c} g

f: a a a g(f(a)) = g(b) = a f(g(a)) = f(c) = c

b b b g(f(a)) = g(a) = c f(g(b)) = f(a) = b

c c c g(f(c)) = g(c) = b f(g(c)) = f(b) = a


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koganzjo

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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Algebra e geometria per l’esame della professoressa Gerla. Gli argomenti trattati sono i seguenti: spiegazione dell'aritmetica modulare (uso delle classi di equivalenza/congruenza), definizione di proprietà commutativa, associativa su insiemi, definizione di struttura algebrica e di elemento neutro.
Definizione di elemento simmetrizzabile e esercizi su congruenze lineari


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in informatica
SSD:
A.A.: 2014-2015

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher koganzjo di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra e Geometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Insubria Como Varese - Uninsubria o del prof Gerla Brunella.

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