Algebra e geometria - calcolo del determinante della Matrice

Definizione di minore di una matrice

Un minore di ordine n di una matrice A è una matrice n x n ottenuta scegliendo n righe e n colonne di A.

Esempi di minori

• Esempio 1:

  A = 
          0 1 1 0 2
          1 2 3 -1 0
          0 1 -1 4 1
          3 -1 1 0 0
          2 1 0 0 2

  Il minore di ordine 2 di A è:

  0 1 
          1 2

• Esempio 2:

  1 0 1 
          1 -1 1 
          0 4 1

  Il minore di ordine 3 è:

  I, IV, V colonna di A

Definizione di rango di una matrice

Il rango (o caratteristica) di una matrice A è il massimo ordine di un minore di A con determinante diverso da zero.

Esempi di calcolo del rango

• Esempio 1:

  A = 
          0 1 0 
          0 2 0 
          1 0 0

  È un minore di ordine 2 con determinante diverso da zero:

  0 1 
          0 2

  Non ci sono minori di ordine più grande quindi rgA = 2.

• Esempio 2:

  A = 
          0 1 0 
          1 2 1 
          1 3 1

  Calcoliamo il determinante di questo minore:

  0 1 0
          1 2 1
          1 3 1

  Il determinante è diverso da zero, quindi rgA = 2.

Proprietà del rango

Se il determinante di A è diverso da zero allora rgA = n. Se 0 ≤ rgA ≤ min(m, n).

Esempi di proprietà

• 450 ≤ rgA ≤ 4

Metodo di Kronecker per il calcolo del rango

Sia A una matrice n x m:

• Se tutti gli elementi di A sono uguali a zero allora rgA = 0.
• Altrimenti c'è un elemento di A diverso da zero.
• Se non esiste una matrice 2 x 2 che contiene questo elemento allora rgA = 1.
• Altrimenti sia A2 un minore 2 x 2 con determinante diverso da zero che contiene questo elemento.
• Se non esiste un minore 3 x 3 con determinante diverso da zero che contiene A2 allora rgA = 2.
• Altrimenti sia A3 un minore di ordine 3 che contiene A2.

Esempi di applicazione del metodo di Kronecker

• Esempio 1:

  A = 
          0 1 0 
          1 2 1 
          1 3 1

  Poiché ci sono elementi diversi da zero, scegliamo un elemento diverso da zero:

  1 in I riga II colonna

  Cerchiamo una matrice 2x2 che contiene questo elemento:

  A2 = 
          0 1 
          1 2

  Ha determinante = -1 diverso da zero.

  Cerchiamo una matrice 3x3 che contiene A2. L'unica è A.

• Esempio 2:

  A = 
          3 x 4 
          1 0 1 
          2 3 1 0 
          0 0 1 3

  a = 1, A2 = 1 0 3 1

  Determinante di A2 = 1, diverso da zero.

  3 x 4 
          0 0 1

  rgA = 3.

Esempi di calcolo avanzato del rango

• Esempio 3:

  A = 
          1 0 0 1 
          1 0 0 0 
          0 0 1 0 
          0 0 1 1

  a = 1, A2 = 1 1 0 1

  I-II riga, determinante di A2 diverso da zero.

  Le matrici 3x3 da considerare sono:

  1 0 1 
          1 0 0 
          0 0 0

  Determinante = 0, quindi il rango è maggiore di 3.

• Esempio 4:

  A = 
          1 k 0 -1 
          0 2 0 -1 
          3 x 4 
          k 0 k 0

  a = 1, A2 = 1 -1 0 -1

  Determinante di A2 = -1, diverso da zero.

  1 k -1 
          1 0 -1

  A3 = 0 2 -1 0 0 -1

  Determinante = 0, quindi il rango è maggiore di 2.