Algebra e geometria - anelli e matrici

Definizione di anello

Un anello è una struttura algebrica con due operazioni (A, +, *) tale che:

• (A, +) gruppo commutativo con 0 elemento neutro
• (A, *) monoide con 1 elemento neutro rispetto a *
• Proprietà distributiva: x * (y + z) = x * y + x * z e (y + z) * x = y * x + z * x

Esempi di anelli

(R, +, *), (Z, +, *), (Q, +, *) sono anelli. (Zm, +, *) è un anello per ogni m > 0. Mat nxn, l'insieme delle matrici nxn a valori in R, è un anello con le operazioni di somma tra matrici e il prodotto righe per colonne.

Elementi neutri

0000 è l'elemento neutro di +.

0...0 1000...0 0100...0 001... è l'elemento neutro di *.

Divisori dello zero

Se (A, +, *) è un anello, un elemento a ∈ A, a ≠ 0, si dice b ∈ A divisore dello 0 se esiste tale che a * b = 0.

In (Z, +, *) non ci sono divisori dello 0. Nemmeno in (R, +, *).

Esempio: in (Z₆, +, *), [2]₆ * [3]₆ = [6]₆ = [0]₆. [2]₆ e [3]₆ sono divisori dello zero. In (Z₇, +, *) non ci sono divisori dello zero. Se p è primo, in (Z_p, +, *) non ci sono divisori dello 0.

Elementi invertibili

In (A, +, *), un elemento a ≠ 0 si dice invertibile (o unitario) b ∈ A se esiste, b ≠ 0, tale che a * b = 1.

Esempi:

• In (Z, +, *), solo 1 è invertibile.
• In (R, +, *), tutti gli elementi ≠ 0 sono invertibili.
• In (Z_m, +, *), [a]_m è invertibile se e solo se MCD(a, m) = 1. In (Z₆, +, *), gli elementi invertibili sono [1]₆ e [5]₆.

Proprietà: Se (A, +, *) è un anello e U(A) è l'insieme degli elementi invertibili, allora (U(A), *) è un gruppo.

Esempio: {[1]₆, [5]₆} = U(Z₆) è un gruppo rispetto al prodotto. [5]₆ * [5]₆ = [1]₆ e [1]₆ * [1]₆ = [1]₆.

Definizione di campo

Un anello (A, +, *) in cui U(A) = A \ {0} (cioè tutti gli elementi diversi da zero sono invertibili) si chiama campo.

Esempi:

• (R, +, *) è il campo dei numeri reali.
• (Z, +, *) è l'anello dei numeri interi (non è un campo).

Esempio: Z₂ = { [0]₂, [1]₂ }.

Matrici 2x2 sull'insieme Z₂

Consideriamo l'insieme delle matrici 2x2 con valori in Z₂. Scriviamo 0 e 1 invece di [0]₂ e [1]₂.

Consideriamo la somma tra matrici e il prodotto righe per colonne. Ad esempio:

• (1 0) + (1 1) = (0 1)
• (1 0) (0 1) = (1 1)

In Mat 2x2 (Z₂), l'elemento neutro rispetto a + è 0.

Gli elementi invertibili sono quelli il cui determinante ≠ 0. Ad esempio, per la matrice:

• d = 0, b = 1, a = 0, c = 1 → det = a * d - b * c = 0 * 1 - 1 * 1 = -1 = 1 in Z₂.

Proviamo che: Mat 2x2 (Z₂) è un anello e gli elementi invertibili sono le matrici con det ≠ 0.

Esercizio 1

Trovare i divisori dello 0 in Mat 2x2 (Z₂).