Algebra e geometria - anelli e matrici

In (R,+,*) tutti gli elemento != 0 sono invertibili

Es. In (Zm, +, *) [a]m è invertibile se e solo se MCD (a,m) = 1

In (Z6, +, *) gli elem. Invertibili [1]6. [5]6

Proprietà Se (A,+,*) + un anello e U(A) è l'insieme degli elementi invertibili

allora (U(A), *) è un gruppo

Es. {[1]6, [5]6} = U(Z6) è un gruppo risp. Al prodotto

[5]6 * [5]6 = [1]6

[1]6 * [1]6 = [1]6

Def. Un anello (A,+,*) in cui U(A) = A, {0} (cioè tutti gli elem. Diversi da zero sono invertibili) si

chiama CAMPO

Es. (R,+,*) campo dei numeri reali

(Z,+,*) anello dei numeri interi (non sono un campo)

Es. Z2 = {[0]2, [1]2}

Mat2x2 (Z2) = { a b | a, b, c, d } [0]2 [1]2 Mat 2x2(Z2)

∈Z2 ∈

c d [1]2 [0]2

| Mat 2x2 (Z2) | = 2^4 = 16 (per comodità scriviamo 0 e 1 e invece di [0]2, [1]2)

Consideriamo somma tra matrici e prodotto righe x colonne

1 0 + 1 1 = 0 1 l'elemento neutro rispetto a + è 0 0

1 0 1 0 0 0 0 0

0 1 * 1 0 = 1 1 In Mat 2x2 ( R) gli elementi invertibili sono quelli

1 1 1 1 0 1 il cui det è != 0 d b

a b ^-1 −

A)) A))

(det ( (det (

c d = a

−c

A)) A))

(det ( (det(

det 0 1 = 0 – 1 = 1 (perchè -1 = 1 in Z2)

1 1

0 1 ^-1= 1 -1 = 1 1

1 1 -1 0 1 0

proviamo che 0 1 ^-1 = 1 1 0 1 * 1 1 = 1 0

1 1 1 0 1 1 1 0 0 1

(Mat 2x2 (Z2), + , *) è un anello

gli elementi invertibili sono le matrici con det!= 0

Esercizio 1: Trovare i divisori dello 0 in Mat 2x2 (Z2)

2. Calcolare il determinante di alcune matrici in – Mat 2x2 (Z4)

- Mat 3x3 (Z2)

Es. Anello dei polinomi

∑ ai xi | ai∈ℝ , n∈N } Insieme dei polinomi a coefficienti in R sulla variabile x

R [x] = ¿

3

2 0

2x x+ 1 x X

+ ∈ℝ [ ]

4

n

∑ ∑

a , x ' se an !=0 allora n è il GRADO del polinomio a,x'

i=0

n m n m

∑ ∑ ∑ ∑

i i

a , x ' b , x ' x bi∗x

+ = (ai+bi) +

i=0 i=0 i=0 i=n+1

(n )

⊆m

Es.

(2x^2 + ¾ x + 1) + (1/3 x^3 + x^2 + 1/2x + 3) = 4 + 5/4x + 3x^2 + 1/3 x^3

n=2 m=3 a0+b0 = 4

a0 = 1 b = 3 a1+b1 = 5/4

a1 = ¾ b1 = ½ a1+b2 = 3

a2 = 2 b2 = 1 b3 = 1/3

b3 = 1/3

L'elemento neutro è il polinomio 0 x^0

∑ ∑

i i quindi

a , x x

+ (−ai) =0

∑ ∑ ∑

i i i

x è il simmetrico di x è il simmetrico di , x

(−ai ) (−ai ) (a )

(R[x], +) è un gruppo

Definisco il prodotto di polinomi (x^2 + x + 1) * (x-1) = (x^3 + x^2 + x – x^2 – x – 1) =

= (x^3-1)

(x^2 + x + 1) * (1 * x^0) = x^2 + x + 1

=> 1 è l'elemento neutro di *

gli unici elementi invertibili sono i polinomi di grado 0 (cioè i numeri

reali)

Esercizio 0

f : r -> r∗x x]

∈ℝ ∈ℝ [

Dimostrare che f è un omomorfismo iniettivo (non suriettivo) del gruppo (R,+) in (R[x], +)

ES. campo dei numeri COMPLESSI C

RxR = {(a,b) | a,b } a+ib(a , b)

∈ℝ

(a,b) + (a1,b1) = (a + a1, b + b1)

(a,b) * (a1,b1) = (aa1 – bb1, ab1 + a1b)

(0,1) * (0,1) = (-1,0)

(1,0) * (a,b) = (a,b) => (1,0) è l'elem. Neutro risp a *

(0,1) = i

(a,b) = (a,b) + (0,b) * i a+ib (a,b) i * i = .1

(a + ib) * (a1 + ib1) = (aa1 + iab1 – bb1 + ia1b) = (aa1 – bb1) + i (ab1 + a1b)

Riassumendo: un numero complesso ha la forma a+ib

dove a parte reale, b parte immaginaria i * i = -1

La somma e il prodotto di numeri complessi sono def. come per i polinomi

( C, + , *) è un CAMPO cioè ogni elemento != 0 è invertibile

(a + ib)^-1 = 1/ (a + ib) * (a-ib)/(a-ib) = a – ib / (a^2 + iab – iab + b^2)

= a – ib / (a^2 + b^2) = a / (a^2+b^2) – i (b/ a^2 + b^2)

= (a + ib)^-1 = (a/(a^2 + b^2) + i(- b/ (a^2 + b^2)

(a + ib) * (a / (a^2 + b^2) + i (-b / (a^2 + b^2)) =