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T• Si calcola il determinante della nuova matriceQuindi abbiamo che: (T ) = − · (9.8)P det(A T I)dove rappresenta la infatti abbiamo che:I matrice identica, −a T a ... a11 12 1n−a a T . . . a21 22 2n − = (9.9)A TI .. .. .. .. . . . . −a a . . . a Tn1 n2 nnEsiste inoltre un che non dimostreremo, che dice che gliteorema, autovaloridi sono le ovvero:f soluzioni del polinomio caratteristico,Teorema 12 ↔ = (9.10)λ autovalore per f P(λ) 09.3.1 Molteplicità algebricaPrima di vedere nel pratico come utilizzare le formule di cui abbiamo parlatoin maniera ”teorica”, diamo la definizione di che saràmolteplicità algebrica,utile negli esercizi:Definizione 10 Dicesi m molteplicità algebrica, quante volte λ è soluzioneλdel polinomio caratteristicoPer esempio:74 CAPITOLO 9. ENDOMORFISMI• 4Se abbiamo (T ) = 0 → (T − 5) , abbiamo = 5 autovalore, e =P T mλ= 4;m5• 2Se abbiamo (T ) = 0 → (T − 3)(t + 3) = 0, abbiamo = 3, = −3P T Tautovalori; e = 1, = 2m m−339.3.2 Esercizio sui polinomi caratteristiciPer rendere meglio l’idea di come viene applica la formula del polinomio carat-teristico per trovare gli autovalori facciamo un esempio di un esercizio: data3 3: → , e legge di : (x, = (x − + dobbiamo trovare glif f f y, z) z, hy, y z),R Rautovalori e gli autospazi corrispondenti.Risoluzione: calcolo autovalori• Troviamo il polinomio caratteristico (T ) = − ricordando cheP det(A T I),le immagini di sono le colonne della matrice associata :f A1 − 0 −1T0 − 0 (9.11)− = h TA TI 0 1 1 − T• Sappiamo che (T ) = − = (1 − )(h − )(1 − ).P det(A T I) T T T• Imponiamo, per il teorema 12 visto in precedenza, (T ) = 0 cosı̀ daPtrovare gli di :autovalori f(1 − )(h − )(1 − ) = 0 (9.12)T T T•Ponendo ogni fattore a 0 troviamo che:- − T = − T h;
- 1 − T = 1 − T•
- Per λ = 1, T• = T = T = 1. Si dice in questo caso che la molteplicità algebrica di 1 è 3: mλ = 3.
- Per λ ≠ 1, T• = T = T h. Si dice in questo caso che la molteplicità algebrica di 1 è 2, mentre la molteplicità algebrica di h è 1: mλ = 2, mλ = 1.
- Se λ = 1 ho un solo autovalore λ = 1 (3 volte);
- Se λ ≠ 1 ho 2 autovalori λ = 1 (2 volte), λ = h (1 volta).
- Per λ = 1, abbiamo che λ = 1 e λ = 3. Calcoliamo ker(λ):
h1 =
| 1 | -1 | 0 |
| -1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | -1 |
· X = (9.13)
h2 =
| 0 | 1 | -1 |
| 0 | -1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
· X = 0
Si viene a creare, quindi, il sistema lineare omogeneo:
–
{
−z = 0
y = 0
x = 0
} (9.14)
→ V = {(x, 0, 0)}
Avremo come : BASE = {(1, 0, 0)}, e,– base dell’autospazio V V1 1tale base è anche autovettore• Levando la condizione, abbiamo che λ ̸ = 1. In tal caso λ = 1 con λ = 2hT mλ(autospazio n.1), e λ = λ con λ = 1 (autospazio n.2): Utilizzando sem-T h mλpre il teorema 11, quindi attraverso il sistema lineare omogeneo (ometti-amo il procedimento) troveremo che:
Per l’autospazio n.1, V = {(x, 0, 0)} e BASE = {(1, 0, 0)}. In tal– V V1 1caso ovviamente non sostituiamo h, poichè lacondizione ci impone che ≠ 1;
h1z - (1-h)z, e BASE = { -(1-Per l'autospazio n.2, = { , z} V ,– V hh1-h1}h),;
9.3.3 Molteplicità geometrica
Abbiamo introdotto nella sezione 9.3.1 la che indica quantemolteplicità algebrica,volte l'autovalore è soluzione del polinomio caratteristico. Introduciamo adessola che indica lamolteplicità geometrica, dimensione dell'autospazio cor-(dim ), e si indica con :rispondente V gλ λ= (9.15)g dim Vλ λ
Inoltre possiamo dire che la dimensione dell'autospazio, ovvero del numero divettori che formano una base, è anche il Quindi,numero di incognite libere.
76 CAPITOLO 9. ENDOMORFISMInei nostri esercizi, una volta trovati gli autovalori come soluzione del polinomiocaratteristico (teorema 12), e sapendo che ogni autovalore ha un autospazioλcorrispondente, per il teorema 11 sugli endomorfismi, che è = ker : quindiV fλ λtroveremo un
autospazio tale che:
−a λ a ... a₁₁ a₁₂ a₁ₙ
−a λ . . . a₂₁ a₂₂ a₂ₙ
...
−a λ . . . aₙ₁ aₙ₂ aₙₙ
Una volta che abbiamo sottratto l'autovalore dalla diagonale principale, troveremo il ker attraverso il sistema lineare omogeneo nel quale il numero di incognite libere ci indicherà la molteplicità geometrica.
9.4 Endomorfismi semplici
9.4.1 Teorema sulla molteplicità algebrica e geometrica
Prima di introdurre gli endomorfismi semplici, vediamo un teorema, di cui omettiamo la dimostrazione, che evidenzia la relazione fra molteplicità algebrica e geometrica:
Teorema 13 Dato un endomorfismo f: V → V e trovato un autovalore λ, si ha che: 0 < gm(λ) ≤ (9.17)
9.4.2 Caso particolare del teorema: endomorfismo semplice
Nel caso particolare in cui gm(λ) = 1 per tutti gli autovalori di f, allora l'endomorfismo si dice semplice.
soluzioni del polinomio caratteristico,semplice.
Definizione formale di endomorfismo semplice
Volendo dare una definizione formale di endomorfismo semplice, abbiamo che:
Definizione 11 Dato un endomorfismo f: V → V, esso si dice semplice se esiste una base formata da autovettori.
Quindi se l'endomorfismo f copre la dimensione del do-unione delle basi dei singoli autospazi, ovvero dim(V) = dim(Vλ1) + dim(Vλ2) + ... + dim(Vλn), allora l'endomorfismo f è semplice.
779.5. MATRICE DIAGONALIZZABILE
Se accade che dim(V) = ∑ dim(Vλi) posso sapere già quanto vale dim(V). Per il teorema 13 infatti sapevamo che 0 ≤ dim(Vλi) ≤ 1, di conseguenza abbiamo che: dim(V) = ∑ dim(Vλi).
Vediamo adesso, con un esempio pratico, come applicare ciò che finora abbiamo spiegato sugli endomorfismi semplici:
Esempio
Abbiamo ad esempio che le soluzioni del polinomio caratteristico (T) sono: (T + 1)(T - 2)(T + 3) = 0
(9.19)Pdi conseguenza avremo che per:= -1, la molteplicità algebrica sarà = 1;– T m−1= 2, la molteplicità algebrica sarà = 1;– T m2= -3, la molteplicità algebrica sarà = 1;– T m−3quindi poiché tutte le soluzioni del polinomio caratteristico sono uguali a1, e sapendo che èm g f sempliceλ λ• Vediamo un altro esempio in cui le soluzioni del polinomio caratteristicosono: 2(T ) : (T − 3) (T + 2) = 0 (9.20)Pdi conseguenza avremo che per:= 3, la molteplicità algebrica sarà = 2;– T m 3= -2, la molteplicità algebrica sarà = 1;– T m−2In tal caso, a differenza del primo esempio, per = -2, sapendo cheTla molteplicità algebrica è 1, e sapendo che la molteplicità geometrica è1, sappiamo che saranno uguali. Per = 3, dobbiamo controllare laTmolteplicità geometrica calcolando = kerV f3 39.5 Matrice diagonalizzabileUna matrice × si dice se esiste
una matrice, anch'essa diagonalizzabile, chiamata A, tale che:
$$P^{-1}AP = D$$
dove P è una matrice invertibile, D è una matrice diagonale, ovvero formata da elementi diversi da zero sulla diagonale principale e il resto degli elementi uguali a zero:
$$D = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \dots & a_{1n} \\ 0 & 0 & 0 & \dots & a_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}$$
Esiste un teorema sulle matrici diagonalizzabili che dice:
Teorema 14: Le matrici A degli endomorfismi semplici f: V → V sono tutte diagonalizzabili.
In tal caso, la matrice D sarà formata da autovalori sulla diagonale principale, ognuno con la sua molteplicità algebrica:
$$D = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \dots & \lambda_1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \lambda_2 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \lambda_n \end{pmatrix}$$
La matrice P, invece, si chiama matrice diagonalizzante, in modo tale che le sue colonne sono
Gli autovettori u1, u2, ..., un li troviamo con la formula u = ker(A - λI).
Facciamo un esempio attraverso un esercizio per capire se una matrice è diagonalizzabile. Abbiamo la matrice A associata a una funzione f, tale che:
A =
0 1 -1
0 0 0
0 1 -1
Per verificare che sia diagonalizzabile dobbiamo svolgere i seguenti passaggi:
- Trovare gli autovalori λ come soluzione del polinomio caratteristico
- Trovare gli autovettori u come soluzione del sistema (A - λI)u = 0
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