Algebra e geometria

Università degli Studi di Catania

Facoltà di matematica e informatica

Corso di Laurea in Informatica

Riassunti di: Algebra lineare e Geometria

Candidato: Salvo Polizzi Salamone

Relatore: Prof. Lucia Maria Marino

Matricola 1000030092

Indice

• Algebra lineare 9
  • Insiemi 11
    • Rappresentazione degli insiemi 11
    • Simbologia degli insiemi numerici 11
    • Operazioni tra gli insiemi 12
      • Operazioni con insiemi vuoti 13
  • Numeri complessi 15
    • La parte immaginaria dei complessi 15
    • I reali sono contenuti nei complessi 16
    • Somma e prodotto tra 2 complessi 16
    • Coniugato di un numero complesso 16
    • Forma trigonometrica di un numero complesso 16
  • Strutture algebriche 19
    • Operazioni binarie 19
    • Strutture algebriche: Gruppo 19
    • Strutture algebriche: Anello 20
    • Strutture algebriche: Campo 21
  • Matrici 23
    • Operazioni tra matrici 23
      • Somma 23
      • Prodotto esterno 24
      • Prodotto tra matrici 24
    • Proprietà delle matrici 24
      • Matrice quadrata 25
      • Matrice trasposta e simmetrica 25
    • Determinanti e riduzioni 26
      • Determinante di una 2 × 2 26
      • Determinante di una 3 × 3 26
      • Determinante di una 4 × 4 27
      • Proprietà dei determinanti 28
    • Minori di una matrice 28
      • Teorema di Binet 29
    • Rango di una matrice 29
      • Riduzione e calcolo del rango 29
    • Matrice inversa 31
      • Teorema sulle matrici invertibili 31
      • Proprietà della matrice inversa 32
  • Vettori e spazi vettoriali 33
    • Grandezze scalari e vettoriali 33
    • Modulo di un vettore 34
      • Versore 34
      • Vettore nullo 34
    • Operazioni con i vettori 35
    • Spazio vettoriale 38
      • Gruppo abeliano V 38
      • Definizione di k-spazio vettoriale 38
  • Sottospazi, generatori e basi 41
    • Sottospazio 41
      • Caratterizzazione di un sottospazio 41
    • Intersezione e unione tra 2 sottospazi 42
    • Combinazione lineare 42
    • Generatori 43
    • Base 43
      • Vettori linearmente indipendenti 43
    • Lemma di Steinitz 44
      • Tutte le basi di V hanno lo stesso numero di vettori 44
    • Dimensione di uno spazio vettoriale 45
      • Proprietà della dimensione di uno spazio vettoriale 45
      • Dimensione di un sottospazio 45
    • I 3 modi per assegnare un sottospazio 46
  • Sistemi lineari 49
    • Definizione di sistema lineare 49
      • Equazioni lineari e formazione di un sistema lineare 49
      • Soluzione di un sistema lineare 50
    • Rappresentazione di sistemi lineari tramite matrici 50
      • Rango e equazioni linearmente indipendenti 51
      • Matrice completa 51
      • Soluzione di un sistema lineare con il sistema ridotto 51
    • Teorema di Rouché-Capelli 52
      • Teorema di Rouché-Capelli n.1 52
      • Teorema di Rouché-Capelli n.2 54
    • Sistemi lineari × e teorema di Cramer 55
      • Teorema di Cramer 56
    • Sistemi lineari omogenei 58
  • Applicazioni lineari 61
    • Definizione di applicazione lineare 61
      • Conseguenze 61
    • Immagine di 62
      • Immagine di è sottospazio 62
      • Calcolare e studiare l’immagine di 63
    • Nucleo di 63
      • Nucleo di è sottospazio 63
      • Calcolare e studiare il nucleo di 64
      • Applicazioni iniettive e teorema sul nucleo 64
    • Applicazione composta tra 2 applicazioni lineari 65
      • Calcolo dell’applicazione composta 65
    • Applicazione identica e isomorfismo 66
      • Applicazione identica 66
      • Isomorfismo tra 2 spazi vettoriale 66
    • Calcolo della matrice associata all’applicazione lineare 66
      • Calcolare la legge dalla matrice associata 68
    • Controimmagine di un vettore 68
      • Calcolo della controimmagine 68
  • Endomorfismi 71
    • Autovalori, autovettori e autospazi 71
      • Definizione di autovalore e autovettore 71
      • Definizione di autospazio 71
    • Endomorfismo associato a λ: f 71
      • Teorema sugli endomorfismi f λ 72
    • Polinomio caratteristico di f 73
      • Molteplicità algebrica 73
      • Esercizio sui polinomi caratteristici 74
      • Molteplicità geometrica 75
    • Endomorfismi semplici 76
      • Teorema sulla molteplicità algebrica e geometrica 76
      • Caso particolare del teorema: endomorfismo semplice 76
    • Matrice diagonalizzabile 77
      • Matrici diagonalizzabili ed endomorfismi semplici 78
• Geometria lineare 81
  • Retta nel piano 83
    • Retta nel piano 83
      • Retta passante per 2 punti 83
      • Retta passante per un punto e parallela a un vettore ⃗v 86
      • Retta passante per un punto e ortogonale a un vettore ⃗u 87
    • Coordinate omogenee e punti impropri 89
      • Passare da coordinate cartesiane a coordinate omogenee 89
      • Passare da coordinate omogenee a coordinate cartesiane 90
      • Punti impropri e vettore direttivo 90
    • Condizione di parallelismo ed ortogonalità fra 2 rette 92
      • Condizione di parallelismo fra 2 rette 92
      • Condizione di ortogonalità fra 2 rette 93
    • Angolo tra due rette 94
      • Esempio 95
    • Formule notevoli 96
    • Fascio di rette 97
      • Esempio 98
  • Retta nello spazio 101
    • Retta nello spazio 101
      • Retta passante per 2 punti 101
      • Vettore direttivo 101
      • Esempio 102
    • Equazione di un piano 102
      • Vettore ”parametri direttori” del piano 103
      • Dimostrazione dell’equazione del piano 103
      • Piano passante per 3 punti 105
    • Condizioni di parallelismo e ortogonalità di rette nello spazio e di piani 105
      • Condizione di parallelismo tra 2 rette nello spazio 105
      • Condizione di ortogonalità fra 2 rette nello spazio 107
      • Condizione di parallelismo fra 2 piani 107
      • Condizione di ortogonalità fra 2 piani 109
    • Condizioni di parallelismo e ortogonalità fra piani e rette nello spazio 109
      • Condizione di parallelismo fra una retta e un piano 109
      • Condizione di ortogonalità fra una retta e un piano 110
    • Rette sghembe 111
    • Fascio di piani 112
      • Piano contenente due rette 113
    • Esercizi 113
      • Distanza punto-piano 114
      • Proiezione ortogonale di un punto su un piano 114
      • Simmetrico di un punto rispetto al piano 115
      • Distanza punto-retta nello spazio 115
  • Coniche 117
    • Definizione di conica 117
      • Esempio di conica 118
      • Coniche irriducibili e riducibili 118
      • Classificazione di coniche 119
    • Fascio di coniche 120
    • Geometria analitica (coniche) 120
      • Ellisse 120
      • Circonferenza 123
      • Iperbole (2 rami) 124
      • Parabola 126
    • Punti base 128
      • Trovare i punti base e le coniche spezzate di un fascio di coniche 128
    • Forme ridotte (o canoniche) 129
      • Determinare la forma ridotta n.1 130
      • Determinare forma ridotta n.2 130
    • Centro di simmetria 130
    • Assi di simmetria 131
    • Vertici 131

Parte I: Algebra lineare

Capitolo 1: Insiemi

L'insieme è un ente che raggruppa elementi che hanno in comune qualcosa che non è per forza legato all’ambito numerico. Per esempio, possiamo interpretare come insieme tutti i telefoni, tutti i tavoli o le sedie. Inoltre, possiamo dire che un insieme si rappresenta con una lettera maiuscola, mentre gli elementi al suo interno con una lettera minuscola. Si dice infine:

• ∈: se l’elemento appartiene all’insieme, a ∈ A
• ∉: se l’elemento non appartiene all’insieme, a ∉ A

1.1 Rappresentazione degli insiemi

Per rappresentare gli insiemi abbiamo 3 modi:

• Elencazione: A = {a, b, c}; questo metodo è adatto solamente quando abbiamo un numero finito di elementi.
• Caratteristica: A = {a|a ∈ N}; in questo metodo quindi rappresentiamo gli elementi dell’insieme in base alle loro caratteristiche, ovvero le proprietà che hanno in comune.
• Diagrammi di Venn: è il metodo di rappresentazione grafica di un insieme.

1.2 Simbologia degli insiemi numerici

Esistono diversi insiemi che raggruppano tutti i numeri che noi conosciamo:

• N: è l’insieme dei numeri naturali, ovvero quei numeri interi privi di segno (ad es. 0, 1, 2...).
• Z: è l’insieme dei numeri interi ovvero con il segno (ad es. 0, ±1, ±2...), inoltre N ⊆ Z.
• Q: è l’insieme dei numeri razionali, ovvero le frazioni con il segno (ad es. ±6, ±1/2, ±4/3). Affermiamo inoltre tale relazione: N ⊆ Z ⊆ Q.
• R: è l’insieme dei numeri reali, ovvero tutti i numeri, anche quelli con la virgola con un numero infinito di cifre decimali tutte diverse. Parliamo quindi anche di numeri irrazionali.
• C: è l’insieme dei numeri complessi e rappresenta un “estensione” dei numeri reali nel quale viene aggiunta una parte immaginaria: a + ib dove a rappresenta la parte reale e b la parte immaginaria.

1.3 Operazioni tra gli insiemi

Abbiamo principalmente 4 tipi di operazioni che possiamo eseguire tra gli insiemi:

• Unione: si indica con A ∪ B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}. Gli elementi appartengono ad A o a B.
• Intersezione: si indica con A ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}. Gli elementi appartengono ad A e a B.
• Differenza: si indica con A \ B = {x|x ∈ A ∧ x ∉ B}. Gli elementi appartengono a A ma non a B.
• Prodotto cartesiano: si indica con A × B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}. Si forma una coppia di elementi (a, b).

1.3.1 Operazioni con insiemi vuoti

Se abbiamo un insieme vuoto che si indica: ∅, consideriamo l’insieme senza nessun elemento. In questo caso avremo:

• A ∪ ∅ = A
• A ∩ ∅ = ∅

Capitolo 2: Numeri complessi

I numeri complessi C sono delle convenzioni create per riuscire a dare soluzioni per alcune equazioni che nel campo dei numeri reali non potrebbero esistere (R). Facciamo un esempio:

2 + 9 = 0 ⇒ ∅ (2.1)

Se fossimo nel campo dei reali, questa equazione non avrebbe alcuna soluzione, cioè ∅. Per ovviare a tale problema, i matematici hanno creato i numeri complessi, che sono formati da una parte reale e una immaginaria.

2.1 La parte immaginaria dei complessi

Parlando appunto della parte immaginaria, esiste una convenzione per la quale i² = -1, dove i sta per immaginario. Adesso, prendendo in considerazione la precedente equazione possiamo avere le soluzioni:

2 + 9 = 0 (2.2)

x² = -9 (2.3)

x² = (-1) ∗ 9 (sostituisco il -1 con la i) (2.4)

x² = 9i² (2.5)

x = ±√9i (2.6)

x = ±3i (2.7)

Notiamo che quindi attraverso l’uso dei numeri complessi riusciamo a risolvere ogni tipo di equazione e in questo senso possiamo immaginare che C = &R; × iR ⇒ a + ib, dove a rappresenta la parte reale mentre b la parte immaginaria, con a, b ∈ R. Stiamo quindi parlando di un prodotto cartesiano (sezione 1.3), nel quale C = {a + ib | a, b ∈ R}. Nel piano, la soluzione di questo prodotto cartesiano a + ib è identificata da un vettore posizionato sulla diagonale del rettangolo avente come lati a e b.

2.2 I reali sono contenuti nei complessi

Perché diciamo che R ⊆ C? La risposta è molto semplice perché, se ci pensiamo, possiamo scrivere qualsiasi numero reale come un complesso con parte immaginaria 0: a ∈ R ⇒ a + 0i ∈ C. Facendo un esempio reale, potremmo scrivere 15 = 15 + 0i.