Algebra e geometria

Schemi riassuntivi di Algebra

VETTORI NEL PIANO E NELLO SPAZIO

Vettore: Sia O un punto fissato del piano. Si chiama vettore applicato in O un segmento orientato OP, dove P è un punto del piano diverso da O.

Un vettore applicato in O è individuato da tre elementi: modulo (numero reale non negativo che misura la lunghezza), direzione (retta passante per O e P), e verso (indicato dalla freccia, va da O a P).

Operazioni tra vettori:

1. Somma tra vettori: componente per componente u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂, ...).
2. Prodotto tra uno scalare a ∈ R e un vettore: av = (au₁, au₂, ...).
3. Prodotto scalare: = vw = v₁w₁ + v₂w₂ + ...
4. Norma (o modulo): ||v|| = √v · √v
5. v e w sono ortogonali se v · w = 0
6. v e w sono paralleli se esiste a ∈ R tale che v = aw

Prodotto Vettoriale:

Per calcolare il prodotto vettoriale, anticipo due concetti che studieremo in futuro, quello di matrice e di determinante. Per matrice intendo semplicemente una tabella di numeri. Per esempio,A = (a_ij) a_ij ∈ R, i = 1, ..., m; j = 1, ..., n (1.1)

è un matrice 2 x 2 a componenti reali. Il determinante è un numero associato alla matrice (di cui vedremo in futuro l'importanza). Il determinante di una matrice 2 x 2 si calcola così:

= a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁ (1.2)

Il determinante di una matrice 3 x 3 si può calcolare così: considero a turno gli elementi della prima riga. Parto da a₁₁

1. immagino di cancellare la riga e la colonna contenenti a₁₁ 2. mi rimane una sottamatrice 2 x 2: ne calcolo il determinante e lo moltiplico per a₁₁

Ripeto il procedimento per a₁₂ e a₁₃ e poi sommo tutto, però alternando i segni. In conclusione:

d₁₁(a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂) - a₁₂(a₂₁a₃₃ - a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂ - a₃₁a₃₂)

Il prodotto vettoriale si calcola come un determinante:

v × w = |i j k| |v₁ v₂ v₃| |w₁ w₂ w₃|

= (v₂w₃ - v₃w₂, v₃w₁ - v₁w₃, v₁w₂ - v₂w₁)

8. Prodotto misto

Il prodotto misto tra 3 vettori u, v e w. Si può calcolare facendo prima il prodotto vettoriale e poi il prodotto scalare, oppure attraverso il calcolo del seguente determinante (riuscite a spiegare perchè?):

_{| u (v ∧ w) |} = _{| u1 v1 w1 | | u2 v2 w2 | | u3 v3 w3 |}

Se il prodotto misto è nullo, i tre vettori sono complanari (riuscite a spiegare perchè?).

Rette e piani nello spazio:

Per quanto riguarda le rette e la loro rappresentazione parametrica la situazione non è molto diversa da quella vista per le rette dello spazio. Bisogna solo familiarizzare con il fatto che poichè siamo nello spazio abbiamo bisogno di tre coordinate (x, y, z) per individuare i punti, ma per il resto non c'è niente di nuovo: fissiamo un punto P₀ = (x₀, y₀, z₀) e una direzione (un vettore dello spazio) u. Esiste una sola retta che passa per P₀ e parallela a u. Anche in questo caso i punti P della retta r sono quei punti per cui il segmento P₀P è parallelo al vettore u (cioè il vettore P₀P è multiplo del vettore u), ossia

r = { P ∈ R³ : P₀P = λu, per qualche λ ∈ R }.

Se u = _{| u1 | | u2 | | u3 |} visto che il vettore P₀P è uguale a _{| x - x0 | | y - y0 | | z - z0 |} la condizione di

appartenenza alla retta può essere scritta equivalentemente come

1. x = x₀ + λu₁
2. y = y₀ + λu₂
3. z = z₀ + λu₃

che rappresentano le equazioni parametriche della retta passante per il punto P₀ e di direzione parallela al vettore u nello spazio.

Condizioni retta e piano:

Sappiamo che l'equazione cartesiana di un piano è del tipo

α : ax + by + cz + d = 0

mentre l'equazione cartesiana della retta nello spazio è della forma

r : _{{ a1x + b1y + c1z + d1 = 0}

Studiare la posizione reciproca tra retta e piano in forma cartesiana equivale a studiare la compatibilità del sistema lineare formato dalle loro equazioni, ossia:

{ _{ax + by + cz + d = 0}

Per riuscirci basta conoscere e saper applicare il teorema di Rouché Capelli (lettura consigliata). Nello specifico, data la matrice incompleta associata al sistema lineare

Sottospazio Vettoriale:

Definizione 4.2 Sia V uno spazio vettoriale reale, un sottoinsieme W ⊆ V è un sotto-spazio vettoriale di V se W è uno spazio vettoriale rispetto alle stesse operazioni di V, ossia W è chiuso rispetto alle operazioni di somma e di prodotto per scalari definite in V, vale a dire:

∀x, y ∈ W ⇒ x + y ∈ W,

che equivale a:

∀λ, μ ∈ ℝ, ∀x, y ∈ W ⇒ λx + μy ∈ W.

COMBINAZIONI LINEARI e DIPENDENZA LINEARE

Base:

Partiamo dalla definizione di base: dato uno spazio vettoriale V su un campo K, diciamo che un insieme di vettori {t₁, ..., t_n} ⊆ V è una base di V se:

1. {t₁, ..., t_n} è un sistema di generatori di V;
2. {t₁, ..., t_n} è un sistema di vettori linearmente indipendenti.

Se c’è qualcosa che ti turba nelle precedenti condizioni, ti suggeriamo vivamente di dare un’occhiata alle lezioni correlate: in ogni caso le condizioni espresse in 1) e in 2) possono essere formalmente scritte come:

1. ∀v ∈ V esistono n scalari a₁, ..., a_n tali che

v = a₁t₁ + ... + a_nt_n;

1. Presi b₁, ..., b_n ∈ K, l’unica n-upla di scalari che soddisfa l’uguaglianza

b₁t₁ + ... + b_nt_n = 0

è la n-upla di scalari tutti nulli.

Per farla breve una base di uno spazio vettoriale è un sistema di generatori linearmente indipendenti che genera l’intero spazio vettoriale. In un’altra lezione ci occuperemo del metodo che permette di ottenere una base da un sistema di generatori; per il momento vediamo alcuni importanti risultati, di cui omettiamo le dimostrazioni.

Teorema 1 (esistenza di una base): ogni spazio vettoriale ammette l’esistenza di una base.

Teorema 2 (non unicità della base): ogni spazio vettoriale V ammette infinite basi (se il campo di scalari K è infinito).