Schemi riassuntivi di Algebra
Vettori nel piano e nello spazio
Vettore: Sia O un punto fissato del piano. Si chiama vettore applicato in O un segmento orientato OP, dove P è un punto del piano diverso da O.
Un vettore applicato in O è individuato da tre elementi: modulo (numero reale non negativo che misura la lunghezza), direzione (retta passante per O e P), e verso (indicato dalla freccia, va da O a P).
Operazioni tra vettori:
- Somma tra vettori: componente per componente u + v = (u1 + v1, u2 + v2,...)
- Prodotto tra uno scalare a ∈ R e un vettore: av = (a u1, a v2,...)
- Prodotto scalare: (v, w) = v · w = v1w1 + v2w2 + ...
- Norma (o modulo): ||v|| = √v · vv
- v e w sono ortogonali se v · w = 0
- v e w sono paralleli se esiste a ∈ R tale che v = aw
- Prodotto vettoriale:
Per calcolare il prodotto vettoriale, anticipo due concetti che studieremo in futuro, quello di matrice e di determinante.
Per matrice intendo semplicemente una tabella di numeri. Per esempio, A = (11 12 ... 1n)21 22 ... 2n... ... ... ...m1 m2 ... mnaij ∈ R, i = 1, ..., m; j = 1, ..., n. (1.1) è una matrice 2 x 2 a componenti reali.
Il determinante è un numero associato alla matrice (di cui vedremo in futuro l'importanza). Il determinante di una matrice 2 x 2 si calcola così:
| 11 12 | = 1122 - 1221 (1.2)
| 21 22 |
Il determinante di una matrice 3 x 3 si può calcolare così: considero a turno gli elementi della prima riga. Parto da a11
- Immagino di cancellare la riga e la colonna contenenti a11
- Mi rimane submatrice 2 x 2: noto ora il suo determinante e lo moltiplico
- Ripeto il procedimento per a12 e a13 e poi sommo tutto, però alterno i segni.
In conclusione: (11 12 13) = 11(2233 - 2332) - 12(2133 - 2331) + 13(2132 - 2231)
Il prodotto vettoriale si calcola come un determinante:
Schemi riassuntivi di Algebra
Vettori nel piano e nello spazio
Vettore: Sia O un punto fissato del piano. Si chiama vettore applicato in O un segmento orientato OP, dove P è un punto del piano diverso da O.
Un vettore applicato in O è individuato da tre elementi: modulo (numero reale non negativo che misura la lunghezza), direzione (retta passante per O e P), e verso (indicato dalla freccia, va da O a P).
Operazioni tra vettori:
- Somma tra vettori: componente per componente u + v = (u1 + v1, u2 + v2, ...)
- Prodotto tra uno scalare a ∈ ℝ e un vettore: av = (a v1, av2, ...)
- Prodotto scalare: (v, w) = v·w = v1w1 + v2w2 + ...
- Norma (o modulo): |v| = ||v|| = √v·vv
- v e w sono ortogonali se v·w = 0
- v e w sono paralleli se esiste a ∈ ℝ tale che v = a w
- Prodotto vettoriale:
Per calcolare il prodotto vettoriale, anticipo due concetti che studieremo in futuro, quello di matrice e di determinante.
Per matrice intendo semplicemente una tabella di numeri. Per esempio, A = ( a11 a12 a21 a22 ), aij ∈ ℝ, i = 1,...,m; j = 1,...,n (1.1) è una matrice 2 x 2 a componenti reali.
Il determinante è un numero associato alla matrice (di cui vedremo in futuro l'importanza). Il determinante di una matrice 2 x 2 si calcola così:
| a11 a12 | = a11a22 - a12a21 (1.2) | a21 a22 |
Il determinante di una matrice 3 x 3 si può calcolare così: considero a turno gli elementi della prima riga. Parto da a11.
- Immagino di cancellare la riga e la colonna contenenti a11
- Mi rimane una sottostruttura 2 x 2: calcolo il determinante e lo moltiplico
- Ripeto il procedimento per a12 e a13 e poi sommo tutto, però alterno i segni.
In conclusione:
a11(a22a33 - a23a32) + a12(a23a31 - a21a33) + a13(a21a32 - a22a31)
Il prodotto vettoriale si calcola come un determinante:
| i j k | | u1 u2 u3 | = (u2v3 - u3v2, u3v
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