Algebra - appunti & esercizi svolti

ALGEBRA

APPUNTI & ESERCIZI

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APPUNTI & ESERCIZI

ALGEBRA:

Terminologia:

A: insieme

a ∈ A opp. scrivere a ∉ A

∪ : insieme di tutti gli insiemi "super insieme"

∩ : super insieme, dei soli gli elementi

∅ : insieme vuoto

insiemi numerici:

N = {0, 1, 2, 3, ...} naturali

Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} interi

Q = {m/n | m ∈ Z, n ∈ Z, n ≠ 0} razionali

- {m/n | m ∈ Z, n ∈ Z, n ≠ 0, MCD(m, n) = 1}

R = {√2, π, e, 1, 2,...} reali

C = complessi

A, B insiemi → A ⊂ B ↔ ∀a ∈ A, a ∈ B

↳ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

K = N, Z, Q, R, C

K^* = {x ∈ K . x ≠ 0} → con  per ogni insieme

A strettamente contenuto in B

A ⊆ B

→ (A ⊂ B) ∧ (∃ y ∈ B, y ∉ A)

PRINCIPIO DI ESTENSIONALITÀ

(A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A) ⇔ A = B

A = B ⇔ (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A)

∅ = {x ∈ Π : x ≠ x}

A insiemi

P(A) = { B ∈ ⋃ : B ⊂ A }

tenere di tutti i sottoinsiemi di A

A = {x₀, x₁} → P(A) = { φ, {x₀}, {x₁}, {x₀, x₁} }

Se A = {x₁, ..., x_n}

P(A) = 2ⁿ elementi

A ∈ P(A)

D'ORA IN POI cambiamo le regole!

- insieme di tutti gli insiemi

- insieme di tutti gli elementi

- { x ∈ E: x ≠ x }

A, B insieme

Intersezione di A e B:

A ∩ B = { x ∈ A: x ∈ B } = { x ∈ B: x ∈ A }

= { x ∈ E: (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) }

A e B sono disgiunti se A ∩ B = ∅

A ∩ B ⊂ A

A ∩ B ⊂ B

A = ] 1, 3 [ = { x ∈ R: 1 < x < 3 }

(per definire un intervallo)

B = ] 2, 4 [ = { x ∈ R: 2 < x < 4 }

Se A ⊂ B => A ∩ B = A

A ∩ B = { x ∈ R: 2 < x < 3 }

L' "x ∈ B contiene A"

A, B insiemi, l'unione di A e B

A ∪ B ⇔ x ∈ E : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)

A - B insieme differenza di A e B (o anche il complemento

B ⊖ A = {x ∈ B; x ∉ A} = {x ∈ G, E : (x ∈ B) ∧ (x ∉ A)}

B ᵀ A = (x ∈ R: 3 ≤ x ≤ 4

A - B = ∃ x ∈ R : -1 ≤ x ≤ 2

A ∩ B = B ∩ A

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ B ≠ B ∩ A

B = (B \ A) ∪ (A ∩ B) - → (B ∧ A) ∪ (A ∩ B) ⊂ B

A = (A \ B) ∪ (A ∩ B)

A ∩ B ↔ A - B ≠ Ø

Es. A ∪ B = A → B ⊂ A → l’unione di A e B restituisce un insieme A che si tratta

B \ A = Ø => B ⊂ A

B \ A = B ⇔ A ∩ B ≠ Ø

A, B, C insiemi

• A ∩ B = B ∩ A
• A ∪ B = B ∪ A
• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
• (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

X = A

X = B

De Morgan:

• C_X(A ∩ B) = C_X(A) ∪ C_X(B)
• C_X(A ∪ B) = C_X(A) ∩ C_X(B)

se x ∈ C_X(A ∩ B) => x ∉ (A ∩ B) => (x ∉ A) ∨ (x ∉ B)

x ∈ C_X(A) ∪ C_X(B) => x ∉ A ∧ x ∉ B

(x ∉ A) ∨ (x ∉ B) => x ∉ (A ∩ B)

C_X(A) ∪ C_X(B) ⊂ C_X(A ∩ B)

se x ∈ C_X(A ∪ B) => x ∉ (A ∪ B) => (x ∉ A) ∧ (x ∉ B)

x ∈ C_X(A) ∩ C_X(B) => x ∉ (A ∩ B)

=> C_X(A) ∩ C_X(B) ⊂ C_X(A ∪ B)

N.B.

• OR = UNIONE
• AND = INTERSEZIONE

x = R

A = {x ∈ R: x² ≤ 4} = (-2, 2)

B = {x ∈ Z: -6 ≤ x ≤ 6} = {-6, ..., +6}

A ∩ B = {-1, 0, 1, 2}

A ∪ B = {-6, ..., [all numbers in graph], ..., 6}

C_χ(A) = (-∞, -2) ∪ (2, +∞)

C_χ(B) = (-∞, -6) ∪ (6, ∞)

- 2 U(2, -1) ∪ (-1, 0) U(0, 4)

U(2, -2)

A, B unioni "calcolo", il prodotto cartesiano

A × B = {(a, b) : (a ∈ A) ∧ (b ∈ B)}

[text skipped]

1. (a, b) = {a, b} ≠ {a, a}
2. {{x, y} | x, y ∈ R}
3. (x, y) ≠ (y, x) = {{x, y} ≠ {y, x}}
4. ({x, y}, {x, z}) ≠ {{x, y}, {x, z}}

A × B ≠ ∅ ⟺ (A ≠ ∅) ∨ (B ≠ ∅)

A × B ≠ B × A

y = (x, y)

Esercizio 1

A₁, A₂ ⊂ X ; B₁, B₂ ⊂ Y

X x Y =

(A₁ ∩ A₂) x (B₁ ∩ B₂) =

= (A₁ x B₁) ∩ (A₁ x B₂) ∩ (A₂ x B₁) ∩ (A₂ x B₂)

(A₁ ∪ A₂) x (B₁ ∪ B₂) = (A₁ x B₁) ∪ (A₁ x B₂