Algebra - appunti & esercizi svolti

ALGEBRA

APPUNTI & ESERCIZI

ALGBRA:

Termini logici:

A: insieme

a: a ∈ A oppure viceversa, a ∉ A

U: l’insieme di tutti gli insiemi superinsieme;

∅: insieme vuoto

Insiemi numerici:

N = { 0, 1, 2, 3, ... } naturali

Z = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } interi

Q = { ^m⁄_h, m ∈ Z, n ∈ Z, n ≠ 0 } razionali

- { ^m⁄_h, m ∈ Z, n ∈ Z, n ≠ 0, MCD(m, n) = 1 }

R = { √2, π, e, 1, 2, ₂ } reali

C - complessi

A, B insiemi → A ⊂ B ↔ ∀ a ∈ A, a ∈ B

  ⟷ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

K = N, Z, Q, R, C

  K* = { x ∈ K. x ≠ 0 } → con l’ecce per ogni insieme

A, B, C insiemi

1) A ∩ B = B ∩ A

2) A ∪ B = B ∪ A

3) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

4) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

5) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

6) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

• χ_A = C_χ(A)

• χ_B = C_χ(B)

De Morgan:

1. C_{χ(A ∩ B)} = C_χ(A) ∪ C_χ(B)

2. C_{χ(A ∪ B)} = C_χ(A) ∩ C_χ(B)

se x ∈ C_{χ(A ∩ B)} ⇒ x ∉ (A ∩ B)

⇒ x ∈ C_χ(A) ∪ C_χ(B)

x ∉ A ∩ B ⇒ x ∈ C_{χ(A ∩ B)}

se x ∈ C_{χ(A ∪ B)} ⇒ x ∉ (A ∪ B)

R ⊂ A₁ x A₂ tra la A₁ e la A₂ (relazione binaria)

V = A₁ ∪ A₂

insieme dei vertici

E = { (a₁, a₂) ∈ V x V | a₁R a₂ }

Insieme degli archi

es.

A₁ = {a, b, c}

A₂ = {0, 1, 2, 3}

R = {(a, 0), (a, 2), (b, 1), (c, 3)}

Viceversa da un grafo si ottiene una relazione

GRAFO (V, E) E ⊂ V x V

R = { (a, b) ∈ V x V | (a, b) ∈ E }

R ⊂ A₁ x A₂

A₁ = ?

A₂ = ?

A₁ = {a, b, c}

A₂ = {z0, u, g1, 7}

R = {(a, z0), (a, u), (b, g1), (c, 7)}

f(x) = ln(x)

f : (0,+∞) → ℝ

È bigettiva

ln(1) = 0

f : ℝ → ℝ

n ≥ 1

f(x) = xⁿ

• con n dispari

n = 3

n = 1

Solo bigettive

• con n pari

n = 2, 4, 6

(-x)ⁿ = xⁿ con n pari

Non surgettiva

Non iniettiva

Etichettare un insieme X vuol dire:

Dare una mappa

ƒ : I → X

(l'insieme degli indici)

∀ i ∈ I ƒ(i) = x_i

Una famiglia F di insiemi indicati su un insieme I

{X_i : i ∈ I} ⟶ ƒ : I → ⋃ X_i

ƒ(i) = X_i

Una successione in un insieme X

è un'applicazione ƒ : ℕ → X

ƒ(n) = x_n

Se prendiamo X = ℝ

ƒ : ℕ* → ℝ

ƒ(n) = 2ⁿ √^√₂

x₁ = 2ⁿ √^√₂

x_n = 2² + √^√₂ = 3

x₂ = 2² + √^√₂

esempio di succ.

x₁ → 1

x_n = 2 x_n-1 + 4x₃

"conosco l'n-esimo quanto conosco il precedente"

f : [0, π] → [−1, 1]

arccos(y)

f⁻¹ : [−1, 1] → [0, π]

arccos(x) = π/2 − arcsen(x)

{  arccos(cos x) = x   ∀ x ∈ [0, π]  cos(arccos(x)) = x   ∀ x ∈ [−1, 1]}

z = (a, b) = a + ib

argomento di z → arg(z)

|z| = √a² + b² = √Re(z)² + Im(z)²

Determinazione dell'argomento

z = arg (z) [0, 2π]

zs [-π, π]

m che argomento

|z| = 0 ⇔ z = 0

Inverso:

e^iy = ₁/^eiy; cos(-y) + isen(-y) = cos y - i sen y

1

cos y + i sen y = - cos y - i sen y / cos y + i sen y

cos y + i sen y .

Facciamo il complesso coniugatoper levare il denominatore

Ultima Proprieta:

(e^z)ⁿ = e^zn → volevo non seguire tuttele proprieta dell’esponenziale complesso

È possibile dedurre:e^z = ₂/⁴ = ₁/^e2

FORMA ESPONENZIALE (vale per numeri complessi)

Z = |z| e^i(2π)

(2 + 3i)³ = 8 + 36i - 54 + 27i² - 46 + 9i

Ripassare il cubo di un binomio

ⁿC_k = _n!/^k!(n-k)!; 0!=1, 0!=1

∑ (a + b)ⁿ = ∑ ⁿC_k a^n-k b^k BINOMIO DI NEWTONⁿC_k → K diventafinch√è ad arrivaread n e sommare tutti;riempiamo i al; n=10

1n=2 1 3 3 1n=4 1 4 6 4 1 (Triangolo di Tartaglia)

Ricapitolando

Sia che per fare un elevamento a potenza fra i numeri complessi sia per una radice di numeri complessi,

si usa questa formula qui:

• Se è un elevamento a potenza:

|z|ⁿ(cos(arg_zz) + i sin(arg_zz)) = 1 solo n^o complesso

• Se si ha una radice n^o di un complesso:

n√|z|(cos((arg_zz) + 2kπ) / n + i sin((arg_zz) + 2kπ) / n)

= in tutti n^o complessi della radice, devono giurire n risultati.

Radici n-esime di 1

1 = 1

arg_z(1) = 0

(n√1 = {cos(2kπ/N) + i sin(2kπ/N), k = 0, 1,..., n-1})

n√R = n√1 = 1

Radici n-esime di -1

-1 = 1

arg_z(-1) = π

(n√-1 = {cos((2k + 1)π/n) + i sin((2k + 1)π/n), k = 0, 1,..., n-1})

n√R = n√1 = A con N dispari

A con N pari