Temi:
- INSIEMI: algebra degli insiemi
- NUMERI: algebra dei numeri interi "aritmetica"
- STRUTTURE: algebra astratta
- POLINOMI: l'algebra in "matematica", equazioni / magia della teoria dei numeri
INSIEMI
Simboli dell'alfabeto
- ∈ "è un elemento di" (appartenenza)
- ∀ "per ogni" (quantificatore)
- ∃ "esiste" (quantificatore)
- => "se... allora..." (implicazione)
X,Y,Z insiemi "collezioni di elementi"
x ∈ X se vale la proprietà P per x vogliamo determinare unicamente un insieme specificandone gli elementi:
∀ x ∈ X ⇒ x ∈ Y∀ y ∈ Y ⇒ y ∈ X
X = Y (assioma di estensione)
Inoltre dato X esiste sempre A = def.{ x ∈ X | x verifica una proprietà } (assioma di specificazione)
A per l'altro assioma (di estensione) è unico significa viene denotato A
Ad esempio l'insieme vuoto ∅ =def.{ x ∈ X | x ≠ x } = { }
ℤ = { ±1, ±2... }
ℚ = { p/q | p,q ∈ ℤ, q ≠ 0 }
ℝ = n° reali
∅ = { x ∈ ℝ | x² = -1 }
∅ = { x ∈ ℚ | x² = 2 }
Temi:
- INSIEMI: algebra degli insiemi
- NUMERI: algebra dei numeri interi "aritmetica"
- STRUTTURE: algebra astratta
- POLINOMI: l'algebra in "matematica"
INSIEMI
Simboli dell'alfabeto
- ∈ "è un elemento di" (appartenenza)
- ∀ "per ogni" (quantificatore)
- ∃ "esiste" (quantificatore)
- => "se... allora..." (implicazione)
- X,Y,Z insiemi "collezioni di elementi"
- x ∈ X se vale la proprietà P per x vogliamo determinare unicamente un insieme specificandone gli elementi:
∀ x ∈ X <=> x ∈ Y∀ y ∈ Y <=> y ∈ XX=Y
Inoltre dato X esiste sempre A =def. {x ∈ X | x verifica una proprietà}
A per l'altro assioma (di estensione) è unico "A =def." significa viene denotato A.
Ad esempio l'insieme vuoto ∅ =def. {x ∈ X | x ≠ x} X = {0}
"ℤ" = {±1, ±2...}"ℚ" = {p/q | p,q ∈ ℤ, q ≠ 0}"ℝ" = n° reali
∅ = {x ∈ ℝ | x² = -1}∅ = {x ∈ ℚ | x² = 2}
X ⊂ Y in simboli ∀ x ∈ X => x ∈ Y
X ⊄ Y in simboli ∃ x ∈ X t.c. x ∉ Y
X = Y ⇔ X ⊆ Y e Y ⊆ X
X ∪ Y def = {z | z ∈ X oppure z ∈ Y}
- proprietà commutativa X ∪ Y = Y ∪ X
- proprietà associativa (X ∪ Y) ∪ Z = X ∪ (Y ∪ Z)
- idempotenza X ∪ X = X
Nota: se X ⊆ Z Y ⊆ Z X ∪ Y ⊆ Z
X ∩ Y = {z | z ∈ X e z ∈ Y} = {z ∈ X | z ∈ Y}
- commutatività
- associatività
- idempotenza
Nota: l'intersezione è il più grande insieme che contiene X, Y
Una “famiglia” di insiemi è un insieme con elem altri insiemi = {X, Y, ...}
Dato X si ha ℘(X) def = {Y | Y ⊆ X}
esempio:
℘(∅) = ∅
℘({∅}) = {∅, {∅}}
X ⊂ Y ⇔ ℘(X) ⊂ ℘(Y)
UNIONE E INTERSEZIONE “INFINITE”
A₁, ... Aₖ, ...
- ∪k Aₖ
- ∩k Aₖ
Esempio: Aₖ = {x ∈ ℝ | -k < x < 1/k}
k = 1,2,3 A₀ = {0}
∪k Aₖ = ℝ
∩k Aₖ = Aₜ t fissata
Una partizione di un insieme X è una famiglia
t.c.
Nota:
es. precudite R=U...
o complementare
partizione
prop
Attenzione
Sia X un insieme e P la proprietà di non appartenere
a se stessi. Dunque esiste l'insieme
def
ovvero
def
Supponendo
assurdo
Dunque
Infatti se
A
Ora X è completamente arbitrario e a partire da X
tutti gli insiemi X!
Tutti gli insiemi non è un insieme
Universo di Grothendieck
Un insieme
?
esempio X ∈ U ∀X Y ∈ P(X) = /∃ Y ∈ U
Prep.
Sia X un insieme A ⊂ X ∀ B ⊂ P(X) Allora
(a) A ∩ B∅ = ∪B∈∅ (A \ B)
(b) A \ ∪B∈∅ B = ∩ (A \ B)
Dimostrazione (a)
"⊂" x ∈ A t.c. ∃ B0 ∈ ∅ x ∉ Bo
=> X ∈ A \ B0.
"⊃" ∃ Bo ∈ ∅ t.c. A \ Bo ∉ x
=>(x) ∉ ∩B∈∅ B
(b) Ex
X x Y = {(x,y)/x ∈ X y ∈ Y }(x, y) coppia ordinata
(x, y) =def {{x},{x,y}}
(secondo Kuratowsky)
(x, y) ≠ (y, x)
(x, y) = (x', y') x = x' y = y'
esempio = {{x | x ∈}} = {{x}, {x,x}} = {{x}}
Nota:
X x Y ≠ Y x X però (x, y) (y, x)
"identifica" X x Y con Y x X
1 =def {{∅}} ≠ {∅, ∅}
Una legge intuitiva che mette in relazione due insiemi X e Y potrebbe esser pensata come R ⊂ X × Y
ovvero x ⟼ y se (x, y) ∈ R.
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