Algebra 1 - appunti presi a lezione

Temi:

• INSIEMI: algebra degli insiemi
• NUMERI: algebra dei numeri interi "aritmetica"
• STRUTTURE: algebra astratta
• POLINOMI: l'algebra in "matematica" (equazioni / magia della teoria dei numeri)

INSIEMI

Simboli dell'alfabeto

• ∈ "un elemento di" (appartenenza)
• ∀ "per ogni" (quantificatore)
• ∃ "esiste" (quantificatore)
• => "se... allora..." (implicazione)

• X, Y, Z insiemi "collezioni di elementi"
• &exists; x se vale la proprietà P per x vogliamo determinare unicamente un insieme specificandone gli elementi:

[∀ x ∈ X => x ∈ Y

∀ y ∈ Y => y ∈ X ⇔ X = Y]  assioma

(ASSIOMA DI ESTENSIONE)

[Inoltre dato X esiste sempre A _def. | se c ∈ X | se verifica una proprietà]

(ASSIOMA DI SPECIFICAZIONE)

A per l'altro assioma (di estinzione) è unico

_def. significa viene denotato A

Ad esempio l'insieme vuoto ∅ _def. {x ∈ X | x ≠ 0} X = {0}

ℤ = {±1, ±2...}

ℚ = {p/q | p, q ∈ ℤ , q ≠ 0}

ℝ = n^o reali

∅ = {x ∈ ℝ | x² < -1}

_def. = {x ∈ ℚ | x² = 2}

• X ⊆ Y in simboli ∀ x ∈ X ⇒ x ∈ Y
• X ⊈ Y in simboli ∃ x ∈ X t.c. x ∉ Y

X = Y ⇔ X ⊆ Y e Y ⊆ X

Ad esempio ∅ ⊆ X per ogni insieme (ma non come elem.)

• X ∪ Y = { x | x ∈ X oppure x ∈ Y }

proprietà commutativa X ∪ Y = Y ∪ X

proprietà associativa (X ∪ Y) ∪ Z = X ∪ (Y ∪ Z)

idempotenza X ∪ X = X

Nota se X ⊆ Z e Y ⊆ Z X ∪ Y ⊆ Z

Inoltre X ∪ Y ⊇ X, Y dunque l'unione è il più piccolo insieme che contiene X, Y.

• X ∩ Y = { x | x ∈ X e x ∈ Y } = { x ∈ X | x ∈ Y }

commutatività

associatività

idempotenza

Nota: l'intersezione è il più grande insieme che contiene X, Y.

• una "famiglia" di insiemi è un insieme con elem. altri insiemi = { X, Y, ... }

Dato X si ha

(X) = { Y | Y ⊆ X } esempio: (∅) = ∅

({ ∅ }) = { ∅, { ∅ } }

4. UNIONE E INTERSEZIONE "INFINITE"

A₁, …, A_k …

∪_k A_k

∩_k A_k

Esempio: A_k = { x ∈ ℝ | -k < x < 1/k }

k = 1, 2, 3 A₀ = {0} ∪_k A_k = ℝ

∩_k≥1 A_k = A_i = ∅

t fissata

in effetti R che soddisfa 1 + 2 determina una "legge"

inoltre (X, Y, f) con R = f

(X, X, id_X) - identità - X

1. immagine A ⊂ X, X _→f Y

f^-1({b}) = {x ∈ X | f(x) = b} = f^-1(b) ∋ sempre come sottoinsieme di X

1. f suriettiva e f(X) = Y
2. f iniettiva se ∀ y ∈ Y f^-1({y}) = un elemento
3. ovvero f(x) = x => f(x') ≠ f(x)
4. f bigiettiva se suriettiva e iniettiva
5. ∀ y ∈ Y ∃! x ∈ X t.c. f(x) = y

dunque la "legge" inversa y ⟼ f^-1(y) è anche

questa un'applicazione f^-1: Y → X

esempio: X x Y ⟶ Y x X bigiettiva

(x, y) ⟼ (y, x)

in particolare si possono dare definizioni per induzione se D(o) è definito e supponendo D(n) definito allora D(k+1) si può definire basta per definire D(n), n ∈ N

Cfr. set S: {n ∈ N | D(n) è defin.} ⊇ {C ∩ N etc.}

es. data f : X → X definisco fn x = f(f(n-1) x) ponendo f0 x : = x

o data fk ponedo fk+1 = fo g

in particolare ‹ ‹ N → N - N b: S se è definita ∀ n ∈ N e si ha S(o) : n ∀ n ∈ N (per induzione)

Possiamo definire la somma di due interi m + n per m, n ∈ N ponendo

D(o): = m

D(n+1):= D(n) + 1 → legge D(o, n+1) = a(D(n, 1))

→ per induzione D(n)=m+n è definita ∀ n ∈ N (fissatom) possiamo anche definirla con n⁽ᵐ⁾: m+n

Lemma: ∀ n, m, k ∈ N

• (a) (n+m) + k = n(m+k) associativa
• (b) n + m = m + n commutativa
• (c) m + n = k + n → m = k

Dim. per induzione… ad esempio ^n (m) = ^n (k)

→ m = k per n⁽ᶦⁿᵛ⁽ⁿ⁾ iniettiva

possiamo definire il prodotto m.n ∀ m, n ∈ N

• o . n = o
• 1 . n = n
• m . n = (m-1) . n + m + n m > 2

Quindi intendiamo m ≤/h se m = n + k per qualche k ∈ N

→ scriviamo k = m - n

lemma: (a) (m . h) . k = m (n, i . k)

• (b) m . n = n . m
• (c) m (n + k) = m . n + n . k
• (d) m . n = 0 ↔ m = 0 oppure n = 0

Dim. chiaramente R_L → X/R è una applicaz.

Sia Z = {X_i | i ∈ I} una partiz. di X

definizio: per X_i si ha se i ∈ I si ha che y, z ∈ X_i

verifichiamo che nel

1. X = ⋃ X_i ∀ R ∃ I ∃! ... → X ~ R ~ ⋈ Z
2. X ∈ R → X, y ∈ X_r → y ~ R z ≔
3. X(3) X_y = X_z ⇔ Y_i = X_f Z
4. ⇐ X y ≠ X_z → Y, z ∈ X_j → Y ∈ X_j ∩ X_j ⇌ i ≠ j

→ X ∈ X_f l X_L

...

Quando L → R_L applicaz. inversa

si vale R ↑ → X/R ↑ → X_f=L

L ↑ → L_R

def. l'insieme X/R = { [x] | X ≈ X_i si dice insieme quoz.

di X modulo R

Resta indotta una appl.

T.f.: X ~ X/R

K ~ {X} di {f} proiett. sul queoziente

es. n. z insieme finiti? R la relazione |X| destra |f X'é

vogliamo descrivere l'insieme ℝ/R

| .| ·| → N appl. da Y verso N

:| R_f ≠ ||/ N

f w/k

[X] ↔ |X|

infatti è ben definita

|| ≤ [X] ⇒ |X| = |X'|

→ {/||: /f y/R -> N è bigettiva

Definizione

Una applicazione f: I → ∪A; si dice "funzione di scelta" per la famiglia.

Assioma della scelta

Ogni famiglia ammette una "funzione di scelta".

Nota

Assioma di scelta ⟺ ogni insieme ammette un buon ordinamento.

↔ Ovvio → no

Teorema

∃ f: X → Y se ∃ g: Y → X

suraettiva - iniettiva

Dimostrazione

← "data g, ∀y ∈ X → noto ∃y ottengo così f.

• f(|x|) ∈ y t.c. g_X (y) = x esse g_Y (y)
• y unico
• g iniettiva
• fo_g = id_Y

f suraettiva in quanto

→ "data f: X → Y suraettiva ∃ g: Y → X e f t.c. f_f(x) = y

• {y'|_X ∈ y f famiglia che per assioma della ammette una applicazione g_X: Y → ∪f^-1(y) = X
• t.c. f! g = id

Prodotti

Osserviamo che X² → X × X

• f: 2 → X (f₀, f₁)
• e bigeittiva

Analogamente Xⁿ → X × X × ... × X

• volte - bigeittiva
• f(l) = l_i