Alette, Trasmissione del calore, Fisica tecnica

Q Q

aletta aletta (5)

ε = =



aletta ( )

h A T T

Q ⋅ ⋅ −

0

senza aletta ∞

1

Un’efficacia indica che 1’aggiunta di alette alla superficie non influisce affatto sullo

ε =

aletta

scambio termico, ovvero che il calore trasmesso per conduzione all’aletta attraverso la superficie di

base A è uguale al calore scambiato dalla stessa superficie A con il mezzo circostante. Un’efficacia

1 indica che l’aletta di fatto agisce da isolante, riducendo lo scambio termico della

ε <

aletta

superficie: tale situazione si può verificare quando si ricorre ad alette realizzate con materiali a

1

bassa conducibilità termica. Un’efficacia indica che le alette aumentano lo scambio

ε >

aletta

termico della superficie, come dovrebbero. In ogni caso, il ricorso alle alette non è giustificato

fintantoché l’efficacia non risulti sufficientemente maggiore di uno.

3. Calore disperso dell’aletta.

Si considera l’aletta rappresentata in figura (4), raffreddata da un fluido a temperatura costante T ,

∞

avente una sezione trasversale di area A i cui punti sono tutti alla stessa temperatura. L’aletta

all’ascissa x, riceve la quantità di calore q . Una parte di questo calore viene trasmesso per

x

conduzione, di modo che all’ascissa (x+dx) esce una quantità di calore q , mentre un’altra parte

x+dx

di calore, q , viene ceduta per convezione al fluido attraverso tutta la superficie laterale.

c Fig. 4 – Rappresentazione di un’aletta.

L’equazione di bilancio termico, in condizioni stazionarie, è esprimibile attraverso la relazione (6):

q q q (6)

= +

x x dx c

+

Esplicitando i termini, si ottiene:

dT dT d dT

⎡ ⎤

⎛ ⎞ ( ) (7)

k A k A dx h dS T T

− ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ −

⎜ ⎟

⎢ ⎥ aletta f

dx dx dx dx

⎝ ⎠

⎣ ⎦

2

d T ( ) (8)

k A dx h dS T T

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ −

aletta f

2

dx

Essendo S la superficie attraverso la quale avviene lo scambio convettivo, essa è pari alla

aletta dS P dx

somma delle superficie laterali dell’aletta comprese fra le ascisse x e x+dx, .

= ⋅

aletta

h P

⋅ 2

T T

Sostituendo dS nell’equazione (8), ponendo ed , si ottiene:

m

θ

− = =

aletta ∞ k A

⋅

2

d θ 2

m 0

θ

− ⋅ =

2

dx m x m x

C e C e (9)

−

il cui integrale generale è pari a: θ = ⋅ + ⋅

1 2

Nell’equazione (9) C e C sono costanti i cui valori sono determinati attraverso delle condizioni al

1 2

contorno in corrispondenza della base e dell’estremità dell’aletta. Possono essere assegnate quattro

diverse condizioni al contorno:

- barra di lunghezza pressoché infinita;

- barra con estremità libera adiabatica;

- barra avente una temperatura T nota all’estremità libera;

L

- caso generale.

3.1 Barra di lunghezza pressoché infinita.

Per un’aletta sufficientemente lunga ed avente sezione trasversale costante, la temperatura

dell’estremità dell’aletta non può che tendere a quella dell’ambiente circostante, T ; se T

∞ 0

rappresenta la temperatura sul bordo di attacco, le condizioni al contorno sono le seguenti:

x 0 T T

! !

= = = !

0 0 "

x 0

!

!" !

L’equazione (9) diventa:

m x

e −

θ θ

= ⋅

0

La potenza termica dissipata dall’intera aletta può essere facilmente calcolata o attraverso la legge

di Fourier in corrispondenza della base, oppure integrando su tutta l’aletta la potenza che un

elemento di area Adx disperde attraverso la superficie laterale della stessa per convezione ed

irraggiamento: L

dT d

θ ( )

( )

q k A k A P h T x T dx m k A (10)

θ

= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅

∫

x f 0

dx dx

x 0 x 0 0

= =

L’efficienza dell’aletta in tal caso è definita dalla seguente espressione:

m k A m k A m k A 1

θ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

0 (11)

η = = = =

aletta h S h S h P L m L

θ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

aletta 0 aletta

Mentre l’efficacia dell’aletta è definita dalla seguente espressione:

m k A m k k P

θ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (11)

0

ε = = =

aletta h A h h A

θ

⋅ ⋅ ⋅

0

3.2 Barra con estremità libera adiabatica.

Si considera una barra di lunghezza L, la cui estremità libera sia isolata termicamente, in modo che

sia nullo il calore ceduto attraverso di essa e dunque sia nulla la derivata della temperatura

all’ascissa L. Imponendo le seguenti condizioni al contorno:

x 0 θ θ

= = 0

d

θ

x L 0

= =

dx

si ottiene:

C C C C

θ θ

= + → = −

0 1 2 1 0 2

d

θ m L m L

m C e m C e 0

−

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

1 2

dx m L m L

C e C e 0

−  

⋅ − ⋅ =

1 2

m L m L

( )

C e C e −

θ − ⋅ = ⋅

0 2 2

m L

e

θ ⋅

0

C  

=

2 m L m L

e e

− + m L m L

e e −

θ ⎡ ⎤

⋅

0

C  

θ θ

= − = ⎢ ⎥

1 0 0

m L m L m L m L

e e e e

− −

+ +

⎣ ⎦

Note C e C , la (9) diventa:

1 2 m L

m L e

e − θ

⎡ ⎤ ⋅

m x m x

0

e e −  

θ θ

= ⋅ + ⋅

⎢ ⎥

0 m L m L m L m L

e e e e

− −

+ +

⎣ ⎦ ( ) ( ) [ ]

m L m x m L m x m L x m L x ( )

cosh m L x

e e e e e e

− − − − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

θ −

⋅ ⋅ ⋅  

= + = =

⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦

m L m L m L m L m L m L ( )

cosh m L

e e e e e e

− − −

θ + + +

0

La potenza termica dissipata dall’intera aletta è fornita dalla seguente espressione:

( )

sinh m L

dT d

θ ( ) ( ) (12)

q k A k A k A m k A m tanh m L

θ θ

= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

x 0 0

( )

dx dx cosh m L

x 0 x 0

= =

L’efficienza dell’aletta in tal caso è definita dalla seguente espressione:

( ) ( )

k A m tanh m L k A m tanh m L 1

θ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

0 ( ) (13)

tanh m L

η = = = ⋅

aletta h S h P L m L

θ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

aletta 0

Mentre l’efficacia dell’aletta è definita dalla seguente espressione:

( ) ( )

k A m tanh m L k m tanh m L k P

θ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (14)

0 ( )

tanh m L

ε = = = ⋅

aletta h A h h A

θ

⋅ ⋅ ⋅

0

3.3 Barra avente una temperatura T nota all’estremità libera.

L

Imponendo le seguenti condizioni al contorno:

x 0 θ θ

= = 0

x L θ θ

= = L

si ottiene:

C C C C

θ θ

= + → = −

0 1 2 1 0 2 ( )

m L m L m L m L m L m L m L

( )

C e C e C e C e C e e e

− − −

θ θ θ θ θ

= ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅ = ⋅ − + ⋅

L 1 2 L 0 2 2 L 2 0

m L

e

θ θ

− ⋅

L 0

C  

=

2 m L m L

e e

− − m L

e

θ θ

− ⋅

L 0

C  

θ

= −

1 0 m L m L

e e

− −

Note C e C , la (9) diventa:

1 2 m L m L

e e

⎛ ⎞

θ θ θ θ

− ⋅ − ⋅

m x m x

L 0 L 0

e e −  

⎜ ⎟

θ θ

= − ⋅ + ⋅

⎜ ⎟

0 m L m L m L m L

e e e e

− −

− −

⎝ ⎠ m x m x

e e

− −

( )

m x m L

e e  

θ θ θ θ

= ⋅ + − ⋅ ⋅

0 L 0 m L m L

e e

− −

m x m x ( )

sinh m x

e e −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

θ θ

θ −

m x m L m x m L

L L

e e e e  

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= + − ⋅ = + − ⋅

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

m L m L ( )

sinh m L

e e −

θ θ θ

−

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0 0 0

La potenza termica dissipata dall’intera aletta è fornita dalla seguente espressione: ( )

m cosh m x

dT d ⎧ ⎫

⎡ ⎤

θ

θ ⋅

m L

L

q k A k A k A m e

θ

= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ + −

⎨ ⎬

⎢ ⎥

x 0 ( )

dx dx senh m L

θ

⎣ ⎦

⎩ ⎭

x 0 x 0 0

= =

1

⎡ ⎤

⎛ ⎞

θ

m L (15)

L

q m k A e 1

⎜ ⎟

θ

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − −

⎢ ⎥

⎜ ⎟

x 0 ( )

senh m L

θ

⎝ ⎠

⎣ ⎦

0

L’efficienza dell’aletta in tal caso è definita dalla seguente espressione:

1 1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

θ θ

m L m L

L L

m k A e 1 m k A e 1

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

θ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ − −

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

0 ( ) ( )

senh m L senh m L

θ θ

⎝ ⎠ ⎝ ⎠