Alette di lunghezza infinita e di lunghezza finita

ALETTE INFINITE

VIDEO 8

• L'aletta è una protuberanza della superficie solida in un fluido. È noto, da Newton, che aumentare la superficie di scambio comporta un aumento del flusso scambiato.

Q̇ = h A (T_b - T_f)

• È possibile notare come si possa intervenire in diversi modi al fine di aumentare Q̇:
  • si può abbassare T_f (non sempre possibile);
  • si può aumentare h (dipendio);
  • si può aumentare A.

• Le alette possono avere varie geometrie:
  • rettangolare (obliqua)
  • triangolare
  • circolare
  • a spina

Esempio di aletta rettangolare:

ALETTE INFINITE

VIDEO 8

• L'aletta è una protuberanza della superficie solida in un fluido. È noto, da Newton, che aumentare la superficie di scambio comporta un aumento del flusso scambiato.

Q̇ = h A (T_g - T_f)

• È possibile notare come si possa intervenire in diversi modi al fine di aumentare Q̇:
  • si può abbassare T_f (non sempre possibile);
  • si può aumentare h (dipende);
  • si può aumentare A.
• Le alette possono avere varie geometrie:
  • rettangolare (obliqua)
  • triangolare
  • circolare
  • a spina
• Esempio di aletta rettangolare:
  • SUPERFICIE NON ALETTATA A_M
  • SEZIONE TRASVERSALE A_T
  • PERIMETRO BAGNATO P
  • SUPERFICIE ALETTICA A_f

• Q_i è il flusso che entra nella sezione rettangolare dell'aletta e cammina per tutta la sua lunghezza.
• Q_h è il calore che lungo il tragitto del flusso Q_i, viene scambiato lungo la superficie laterale dell'aletta.

Consideriamo la sezione trasversale dell'aletta.

• La temperatura sarà massima al centro della sezione e minima sul suo perimetro (P).

T_f < T_p < T_max

Ricordando che lo scambio termico è proporzionale al salto di temperatura, conviene avere temperatura costante in ogni punto della sezione (T_p ≈ T_max). È utile ricorrere al numero di Biot

Bi = ^{h L_T}/_K

Deve essere quanto più piccolo possibile.

Con L_T = ^A_T/_P

• Dunque, la temperatura non varierà lungo y e z, ma solo lungo x.

T = T(x)

Omelizzo i flussi riguardanti un pezzo di alette:

• Q_{K, x} e Q_{K, x + dx} sono scambi conduttivi, rispettivamente entranti ed uscenti;
• Q_{h, x} è lo scambio convettivo.

Q_K(x) = Q_K(x + dx) + dQ_h ⇒ Q_K(x) - Q_K(x + dx) = dQ_h

• Sviluppo in serie di Taylor ⇒ Q_K(x) - Q_K(x) - ^∂Q_∂x dx = dQ_h
• - ^∂_∂x (-KA_T ∂T_∂x) dx = h (T - T_∞) P⋅dx

FOURIER ⇒

KA ∂²T_∂x² - hP (T - T_∞) ⇒ ^∂2T_∂x² = ^hP_KA (T - T_∞)

[1]

Bisogna correlare la [1] con condizioni al contorno di I tipo:

• T(x = 0) = T_b
• T(x = ∞) = T_∞ [2]

• L'equazione [2] si perviene nel momento in cui amolizion il modello dell'aletto di lunghezza infinita

Il risultato, però, difficile determinare la temperature poiché esso dipende da 7 parametri (T - T(x, hP, KA , T_∞, T_b)È utile ricorrere all'adimensionalizzazione

Adimensionalizzazione dell'aletta infinita

- Consideriamo il problema costruito precedentemente:

1. <str>(∂²T / ∂x² - (h⋅P / K⋅A_T)(T - T_∞)
2. T(x=0) = T_b
3. T(x=∞) = T_∞

- Introduciamo i parametri: Θ e Ζ

Θ = (T-T_∞) / (T_R-T_∞)

Ζ = x / L_∞

- Risolvo l'equazione differenziale:

∂²Θ/∂Ζ² = h⋅P / K⋅A_T * (T-T_∞) / ∆T_Rif

=∂²Θ/∂Ζ² = h⋅P / K⋅A_T * x_rif²Θ

- Definiamo x_rif: Consideriamo le dimensioni di h⋅P / K⋅A_T