Alegbra lineare

Spazi vettoriali e generatori

V è uno spazio vettoriale su K. Un insieme di vettori {v1, v2, ..., vn} è un sistema di generatori per V se ogni vettore v in V può essere espresso come combinazione lineare dei vettori del sistema. Basi e indipendenza lineare Un insieme di vettori {v1, v2, ..., vn} è una base per V se è un sistema di generatori e i vettori sono linearmente indipendenti, cioè non esiste una combinazione lineare dei vettori che sia uguale a zero se non con tutti i coefficienti nulli. Determinante Il determinante di una matrice è un valore che può essere calcolato e che fornisce informazioni sulla matrice stessa. In particolare, se il determinante di una matrice è diverso da zero, allora la matrice è invertibile. Applicazioni lineari Un'applicazione lineare è una funzione che preserva le operazioni di somma e moltiplicazione per uno scalare. In altre parole, se f è un'applicazione lineare, allora per ogni coppia di vettori v e w e per ogni scalare k, si ha che f(v + w) = f(v) + f(w) e f(kv) = kf(v). Nucleo e immagine Il nucleo di un'applicazione lineare è l'insieme dei vettori v in V che vengono mappati a zero da f. L'immagine di un'applicazione lineare è l'insieme dei vettori w in W che sono il risultato di f applicato a qualche vettore v in V. Teorema Il teorema afferma che la dimensione dell'applicazione lineare è uguale alla somma delle dimensioni del nucleo e dell'immagine. Matrice associata Ad ogni applicazione lineare f è associata una matrice che rappresenta l'applicazione rispetto a delle basi scelte per V e W.

vettoriali su .KV W: lineare!f V W= base di ;B f g1b ; : : : ; b Vn= base di .0 0 0B f gb ; : : : ; b W1 k ALLORA:La matrice associata ad rispetto alle basi e:0B Bf ;0 1BB CC11 12 1a a : : : a nBB CCB C= 21 22 2a a : : : a nBB CA C@ A::: ::: ::: :::2a a : : : a1 nk kndove il coeÆciente e dato dalla relazioneaij Xk( )= 0f v a bj ij i=1iProdotto tra matrici0 1B CnB C11 12 1a a : : : aB CB CB Cn= matrice ,21 22 2a a : : : aB C A k nB C@ A::: ::: ::: :::nk kn0 12a a ::: a1BB Cm C11 12 1b b : : : bBB CCB Cm= matrice21 22 2b b : : : bBB C B n mC@ A::: ::: ::: :::nmn n1 2b b ::: bALLORA:La matrice prodotto = e una matriceÆ C A B k mXnIl coeÆciente =ij ih hjc a bh =1determinanti Sviluppo di Laplace rispetto alla colonna0 1-esimaj BB C11 12 1 Ca a ::: a nBB CC21 22 2B C a a ::: a nBB C= matriceA n nC@ A::: ::: ::: :::1 2a a ::: a nnn nALLORA: Xn det( ) =A a Aij ij=1idove + ~i j= ( 1) det e il complementoA Aij ijalgebrico di a ij~ e la matrice che si ottiene cancellandoA ijla

riga i-esima e la colonna j-esima.

Teorema di Rouche - Capelli

Sia A un sistema lineare di n equazioni e n incognite, dove

A =

0	1	...	n
1	2	...	n
...	...	...	...
n-1	n	...	n

e b =

0

1

...

n

Allora il sistema ammette soluzione X =

x1

x2

...

xn

Autovalori e autovettori

Dati V uno spazio vettoriale su F, V! un'applicazione lineare, A la matrice associata ad f rispetto ad una base K

DEF 1. Un elemento v di V si dice autovalore per f se v != 0 t.c. f(v) = v

DEF 2. Un elemento v di V si dice autovettore di f relativo all'autovalore se f(v) = v

Polinomio caratteristico e Autovalori

Dati V uno spazio vettoriale su F di dimensione n, f V V un'applicazione lineare, A la matrice associata ad f rispetto ad una base

DEF. Il polinomio caratteristico di A è P(A) = det(A - λId), un polinomio di grado n nella variabile λ

Teorema. 0 è un autovalore per A se e solo se P(0) = 0

m P Ae radice di ()0triangolarizzabilita e diagonalizzabilita2 A n nKDato autovalore per matrice0 DEF 1. La molteplicita algebrica di 0m:a: [NOTAZIONE: ())] e0 P Ala molteplicita di come radice di ()0 DEF 2. La molteplicita geometrica di 0m:g: [NOTAZIONE: ())] e0 Ker A Iddim ( ())08 AProp. autovalore di :0 m:g: m:a: 1 () ()0 0