Alegbra lineare

Numeri complessi

Definizioni

Un numero complesso è espresso nella forma z = x + iy, dove i è l'unità immaginaria con i² = -1.

Per un numero complesso z, la parte reale è indicata come Re(z) = x e la parte immaginaria come Im(z) = y.

Operazioni fondamentali

Somma

Dati due numeri complessi z₁ = x₁ + iy₁ e z₂ = x₂ + iy₂, la loro somma è: z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + i(y₁ + y₂).

Prodotto

Il prodotto di z₁ = x₁ + iy₁ e z₂ = x₂ + iy₂ è: z₁z₂ = (x₁x₂ - y₁y₂) + i(x₁y₂ + x₂y₁).

Coniugato

Il coniugato di z = x + iy è z̅ = x - iy.

Norma o modulo

La norma o modulo di z è data da |z| = √(x² + y²).

Osservazione: |z| è il modulo di z.

Funzione esponenziale nel campo complesso

La funzione esponenziale per numeri complessi è espressa come: exp(z) = e^x (cos y + i sin y).

Proprietà fondamentali

• e^z₁+z₂ = e^z₁e^z₂
• La funzione esponenziale è periodica con periodo fondamentale 2πi, cioè: e^z = e^{z + 2πi}.

Rappresentazione trigonometrica di un numero complesso

Un numero complesso z = x + iy può essere rappresentato nella forma z = |z| e^iθ, dove |z| è il modulo e θ è l'argomento.

Radici n-esime

Problema: dato w ∈ C, vogliamo risolvere l'equazione wⁿ = z. Se w ≠ 0, ponendo w = re^iθ, si ha w = z^1/n = r^1/n e^i(θ+2kπ)/n per k = 0, 1, 2, ..., n-1.

Indipendenza/Dipendenza lineare

Indipendenza lineare

I vettori v₁, v₂, ..., v_k sono linearmente indipendenti se e solo se l'unica combinazione lineare che dà zero è quella in cui tutti i coefficienti sono nulli: c₁v₁ + c₂v₂ + ... + c_kv_k = 0 implica c₁ = c₂ = ... = c_k = 0.

Dipendenza lineare

I vettori v₁, v₂, ..., v_k sono linearmente dipendenti se esistono coefficienti non tutti nulli tali che: c₁v₁ + c₂v₂ + ... + c_kv_k = 0.

Basi e indipendenza lineare

Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Un insieme di vettori {v₁, v₂, ..., v_k} è un sistema di generatori per V se ogni vettore v ∈ V può essere scritto come combinazione lineare di {v₁, v₂, ..., v_k}.

Basi

Un insieme di vettori {v₁, v₂, ..., v_n} è una base per V se:

• Sono generatori di V.
• Sono linearmente indipendenti.

Basi di Rⁿ

Un insieme di vettori {v₁, v₂, ..., v_n} in ℝⁿ è una base di ℝⁿ se sono linearmente indipendenti e generano ℝⁿ.