Aerodinamica (sunto)

Aerodinamica

Proprietà dei fluidi

Si definisce (libero cammino medio) il percorso che una molecola di gas compie mediamente tra un urto e il successivo (con un'altra molecola o con una parete).

Si considera una porzione di fluido contenente N molecole di massa uguale m_i, M_i = Σ_im_i, m = Nm.

Per ogni molecola della porzione di fluido è possibile identificare la velocità v_i; v_i = u_i x ,u_i y ,u_i z ; N urti concomitanti dell'agitazione termica con valore medio complessivo nullo, v̅ = (Σ_im_i u_i x ) / Σ_im_i = (Σ_im_i u_i y ) / Σ_im_i

→ un fluido in quiete è tale che v̅ = 0 e u̅_i x = 0; u̅_i y = 0; v̅ z = 1 , N.

Si definisce la densità di massa ρ: ρ = ρ(p,T), p pressione e T temperatura: ρ = (dm / dV) V volume considerato, v volume specifico.

Applicando il principio di conservazione della quantità di moto, alle N molecole di massa m₁,M₁, v₁,. .N si dimostra che la pressione prodotta a causa degli urti su una parete ortogonale all'asse x e p = nmv̅² dove in assenza di anisotropie v_i² = u_i x ² = u_i y ² = u_i z ² giacché u_i² = u_i x ² + u_i y ² + u_i z ² = u_i²; u_i² = N Σ_iu_i², n = N/V = molecole per unità di volume, N = m_i N_A, m_i numero di moli e N_A numero di Avogadro

= ρ (m_N N_A / V), m u_i²) / 3 9/2 m_i N_A E_k = E_k energia cinetica media dipendente del solo grado di agitazione termica => pV = ⅓ m_i N_A E_k

Si considera per un gas ideale l'equazione di stato dei gas perfetti:

pV = m_i n_i RT = m_i m_i RT - MRT => p₁ pQR dove si considera

R_i, m_i R costante universale dei gas; m_i massa molare R costante di elasticità del fluido → m_i R (⅔ Σ m_i N_A E_k)

⇒ E_k = ⅔ R T = 3 / 2 N₂ N_A 2/3 N_A k_B T, K_B / N_A costante di Boltzmann =>

= ½ m_i c̅² = E_k = 3 / 2 k_B T = u = ⅔ (3 k_B / m_i) = 3 R T

L’energia totale associata alla particella del fluido risulta

E = N E_k = ³/₂ Nk_B T = ³/₂ N R T = ³/₂ M R T => e = ^E/_M = ³/₂ RT energia risultante

Il calore specifico mette in relazione la quantità di calore assorbita/ceduta con l’aumento/diminuzione di temperatura.

Per un gas monoatomico si considera il primo principio della termodinamica: dq = de + p(dv)/(p) => ipotizo v = cost d(p)/(p) = 0

=> dq = de = ³/₂ R dT => C_v = (dq)/(dT)_v-cost = ³/₂ R calore specifico a v = cost

=> Se p cost anzichè v = cost dq = de + RdT avendo considerato che d(P_v) = d( ) => C_p = (dq)/(dT)_p-cost = ⁵/₂ R = R + C_v dove l’ultima eguaglianza è detta relazione di Mayer => γ: C_p/ p : c * ρ^γ de qui

(dp)/(dt)_sost

∂ = γ (∂p)/(ρ) / ∂p = √(γRT) a velocità del suono => se il

fluido fosse incomprimibile dp => ^dp/_ρ = dp/^ρ => ∂ = ∞

propagazione istantanea della perturbazione in tutto il campo

Viscosità:

La viscosità è la capacità del fluido (proprietà intrinseca) a scambiare forze sulle superfici delle particelle.

Si considera un corpo che viaggi a velocità V = cost ad un’altezza h da terra è un fluido viscso h sufficientemente piccolo da poter approssimare lineare l’andamento di U lungo y => noto che

dP_B =& β ^U/_h du/dy e poiché lo sforzo tangenziale della

per il teo. della divergenza

_vc ∫_∂vc ʋ̃·(ρŭ) dV =

= dalla tesi...

Osservazione.

Equazione di conservazione della quantita di moto

(tesi) ...form. integrale

(tesi) ...form. diff.

Dimostrazione.

tes.1) la variazione di quantita di moto nel tempo è ugualealla somma delle forze esterne agenti nel sistema:

...

tes.2) si dividono le forze esterne inforze esterne di volume...

considera per le forze di massa ilsolo contributo delle forze peso...

...

...

... il tensore delle tensioni ... tale che

gli ... tensione...

terzi considerei l’equazione dimensionata

dove si è trascurato l’effetto della forza peso e ipotizzato

allora

di Reynolds

Osservazione:

• Il numero di Reynolds rappresenta il rapporto tra forze d’inerzia e forze viscose
• Stessi numeri di Reynolds in fenomeni studiati, in scala, sono gli stessi.

Teorema di Bernoulli

(ipotesi) fluido in regime stazionario e non viscoso (μ=0).

(tesi)

cost lungo una linea di corrente, comunque se =0.

Dimostrazione:

• considero l’equazione di conservazione della quantità di moto.

Doppietta:

φ = _kQ/(2π) ln r₂ - _kQΔx/(2π) Δx

Si faccia il lim_{Δx → 0} conservando costante il rapporto Q/Δx = k (mandando Q → ∞) detta costante di intensità della doppietta.

Gli infiniti termini di ordine superiore e faccio lo sviluppo in serie di Taylor attorno ad 1...

φ ≈ k (ln l/l + cosθ)

Doppietta + Corrente Uniforme (Cilindro):

φ: U_∞ cosθ + k cosθ/r - U_∞ sinθ

Si cerca il punto di ristagno a:...

Si considera il teorema di Bernoulli alla superficie del cilindro...

Si definisce il coefficiente adimensionale di pressione...

Si considera la figura al lato, dΓ = γ.d.

vd - vd = vd - (u₂-u₁)d = (u₂-u₁)d = δ₂-u₁,

si considera teo di Bernoulli: P_∞ = P_∞ + 1/2 ρ (u²_∞) P_∞ = 1/2 ρ(u²_∞)

⇒ ΔP = P - (p+p = ρ( + ) = ρ(u_∞ - u_∞)

Poiché a si considera che u_∞ + = 0

Per la condizione di Kutta si ha che al bordo di uscita del profilo,

la velocità delle particelle superiore e inferiore deve essere la stessa

(per non aggirare il profilo) ⇒ Δp = 0 ⇒ γ = 0 condizione per

cui si hanno le particelle che lasciamo il profilo nella stessa moda,

tangenzialmente ad esso

Teoria di Clawert per profili sottili

(spesso profilo sottile approssimazione con la linea

media) piccolo incremento flusso potenziale,

piccolo angolo d'incidenza (α≪1); V_∞ = 0

f(θ_∞) = 1/2πv_∞ cos θ - cosθ = α - dz(θ_∞)

dθ = α - dz(θ_∞)

Dimostrazione:

– si faccia l'ipotesi di profilo sottile per poter approssimare l'intero

profilo alla linea meda che a questo punto, rappresenta anche

la linea di corrente che lambisce il profilo → la velocità

del fluido dovrà essere sempre tangente la linea media

–◎ Z; è (x) funzione che descrive l'andamento della linea media; √dX determina i componenti della velocità totale che ogni particella

può avere nell'intorno del profilo

– si faccia l'ipotesi di freccia massima piccola (piccolo incrementi)

per dire che la distribuzione della circolazione maggiormente

sulla linea media dovrà essere sempre costante *

– noto che in un qualsiasi punto della linea meda, la velocità

V_x = ∫dα (dovta del solo contributo di U_∞;