Aerodinamica M - Appunti

Aerodinamica

Prof. Ivano Daprà - Giambattista Scorpi

Caratteristiche fisiche dei fluidi

• Definizioni Generali

Densità (o massa su volume)

ρ = ^m/_V

[ρ] = [M¹L^-3]

Coefficiente di viscosità dinamica

μ = τ / (∂v/∂y)

[μ] = [M¹L^-1T^-1]

dove τ è la tensione tangenziale applicata definita dalla legge di Newton, appunto come:

τ = μ ^∂v/_∂y

Oss: μ_H2O = 10^-3 P.s (a 20°C, 1atm)

μ_Aria = 1.789 x 10^-5 P.s

Coefficiente di viscosità cinematica

ν = ^μ/_ρ

[ν] = [L²T^-1]

Oss: ν_H2O = 10^-6 m²/s (a 20°C, 1atm)

ν_Aria = 1.445 x 10^-5 m²/s

Calore specifico

Quantità di calore necessaria per variare la temperatura di 1 kg di materiale di 1 K. Si distinguono:

C_v = Calore specifico a volume costante

C_p = Calore specifico a pressione costante

Oss: C_vAria = 718

J/(kg K)

C_pAria = 1005 J/(kg K)

Enfatizzano di aver espresso

e = c_p - c_v

Energia interna per variazione infinitesima

dU = c_v dT

Entalpia specifica infinitesim

dH = φJT

Costante del gas

R = c_p - c_v

Oss: R_aria = 287.26 J/(kg K)

Esponente della trasformazione adiabatica (isonermica)

γ = ^c_p/_cv Oss: γ_Aria = 1.4

Equazioni di stato

• Per gas perfetti: p = ρ R T
• Per liquidi: ρ = cost.

Modulo di compressione definita per minore unità,

e = -p ^dp/_dρ

[E] = [M¹L^-1T^-2]

Legge di trasformazione nei polimorfismi o nei gas

p = kρⁿ

Si nota che:

1. ^dp/_ρ = knρ^n-1

^e/_ρ - ^dp/_dρ = ^e/_ρ - ^knp/_nE = ηp

{se isoterme: n = 1, e = p}

{se poliatomatici n = 0; e = δp}

Velocità del suono

Si considera un condotto a sezione costante dove il fluido non strutturato con caratteristiche , e .

Ad un'estremità viene indotto un impulso al fluido che porta alla formazione di una perturbazione che si propaga con una certa velocità.

Poiché la portata in massa rimane costante avremo:

⋅ ( + ) = + + = ( + ) ←→ = ( + ⋅ ) ⋅ .

Dal teorema della quantità di moto avremo:

+ = + ̇ − ̇.

E dove:

• = ∫ ≈ termine legato alle forze di massa per unità di volume (): quantità di moto.
• = ∫ ≈ termine legato alle forze di superficie.
• = ∫ ∂/∂ () ≈ termine legato alle forze d'inerzia.
• ̇ = ∫ ( ⋅ ) ≈ portata iniziale.
• ̇ = ⋅ portata uscente.

Si è assunto un sistema di riferimento solidale al fronte d'onda. In questo sistema di riferimento le forze di massa ( = 0) e forze generate dai disturbi sono irrilevanti dal momento che il termine inerziale è nullo ( = 0). Sviluppando i termini mancanti si ottiene:

− = ⋅ ⋅ + 2 ⋅ .

Mettendo a sistema quanto appena ottenuto con la relazione data dall'equazione di continuità avremo:

• ⋅ = −
• = ⋅ ²
• = √(/)
• − = ⋅ ⋅ + 2

Abbiamo così trovato la velocità di propagazione del fronte d'onda che conduce alla definizione:

1. Velocità del suono

= √(/)

2. () 1: omogenei pressione di piccolo perturbazioni.

3. () 1: con la definizione del modulo di comprimibilità si avrà:

• ² = /
• ∫/ = ∫/
• = √(/)

4. () 1: nell'ipotesi di una trasformazione adiabatica si avrà:

• = √(/)
• ² =
• = √(/)
• =
• / =

STABILITÀ ATMOSFERICA

In modo atmosferico (SA) è assimilabile ad un fluido se ammettiamo che per un tempo infinito, l'aria riesce rispetto al precoce di instaurare una condizione di stabilità se l'atmosfera è più densa di prima.

Una particella d'aria a quota z₁ con ρ₁, p₁, T₁ (T = T_s) e ρ₂, p₂, T₂ a quota z₂ si parametriamo. Se la massa tende a non ritornare all'atto 3 allora si può concludere che l'atto 4 non è statico.

Formulando quanto appena detto possiamo scrivere la trasformazione adiabatica della massa ma come:

^p₁/_p2 = ^ρ₁/_ρ2^γ

ρ₁, ρ₂ densità della massa m a seguito della sua trasformazione adiabatica che ha annotata ad es. (col ρ₁, p₁) a z₂ (col p₂, ρ₂).

Avremo che:

• Se ρ₂ > ρ₂ la forza peso nuova sulla spinta di Archimede annullo la particella tende a ritornare di quota. Ci si trova perciò con l'atmosfera stabile.
• Se ρ₂ < ρ₂ la spinta di Archimede eccede la forza peso e quindi l'atmosfera non è stabile.

Per il nostro (SA) potremmo scrivere la trasformazione adiabatica in funzione del rapporto delle temperature:

^p₂/_p1 = ^T₂/_T1^{RL - 1}

Se essi valutare la stabilità ρ₂ , ρ₂ avremo:

^ρ₂/_ρ2 = ^T₂/_T1 ^g/_RL

Prenò, aduce in troposfera la temperatura dentemente quota dovremo avere:

T₂ < T₄ → ^T₂/_T4 < 1

La disuguaglianza potrà allora essere valutata nei due seguenti:

^g/_RL > ^g/_γRL

Da cui abbiamo che:

• Se L < g(γ-1)/γL = 9,7^K/_km ⇒ atmosfera stabile
• Se L > g(γ-1)/γL = 9,2^K/_km ⇒ logicamente è possibile avere il risaltamento degli strati.

*OSS: Nella formula della velocità angolare media ω si èammesso prossimo lo sviluppo del rotore del campo di velocitànei piassi (x, y, z). Detti questi contributi vale:rot_s = 2∂v/∂x û_i + 2∂u/∂y û_j + ↔ u₂ = U_x(y, z), U_y(x, z), 0ω_v = 2û_k

La relazione ottenuta può essere estesa anche su tre direz-sioni. Abbiamo definito in modo implicito una velocità del motoἃ item angolare:

ω_s = 4∂v²/∂x² ⇔ relazione ω del moto X Velocità ṽda piano nello spazio.

Procediamo ora a definire e condizioni che ci permettono di parlaredi moto al potenziale:

Def: Potenziale Φ → In un campo di moto irrotazionale (rot_s = 0)il vettore dei campi di velocità può essere scritto come funzione potenziale Φ detta poten-ziale, tale che vale:

v = grad φ

v = 2∂φ/∂x

v = 2∂φ

w = 2∂φ/∂z

Se oltre ad essere i moto irrotazionale il fluido è incontinibile (eq.dicont.con. il) in uso ma diverenza di ṻ potranno scrivere:∂

divv =0 → disv(u.grad φ) = ₂ φ = 2∂/∂x ₂ φ2∂u/∂x + 2∂vy/∂y + 2∂/∂²x³∂/∂y

*OSS: SI notta quindi il pratico di avere unito potenzialee campi di e velociti potizio che vari. I campi carure chedue componenti vettrutanti di ṽ siiano passati ad un unità(con equaría è segnato:^υ²φ)

Le ipotesi che ci permettono di sfruttare queste semplificazioni sono:- Incomprimibilità del fluido; j = (coste);

Irrotazionabilità del campo di nitto: ▫ retv͢ = φ ;Le condizioni appena descritte costituiscono il modello di moto potenziale.

Moti Piani

Sotto le ipotesi di incomprimibilità del fludo e limitandoci ad un moto pianoandiamo ora a definire una nuova funzione slarpe in modo che attivandoa una sua emanazione piossano essere esipresse le componenti di ve lotità delfluido.Prendiamo un punto P ed evaporizziamole componenti cartesiane della velocità.Per distruzione di triangoli avrò:

dx/dx = dy = udθ - vrdθ = 0/x ∫

Esalliamo una funzione, Ω(x,y) tale che:

∂y/∂x = ^xy ∫ ͢ dydy = udθ - y = ‿ ndζ/y

Utilizzando le componenti onologiche: ∂yn/∫y υ²^∂y = u

Scrivendo le relazioni incognita le due relazioni:

∂²y/∂- ≤ 2y/∂y ≤ y/x

uisment

∂/∂, ∂;

∫∂v/∂z => > -∂v/ →

(o adding removed)

| __ v ∂φ

-ví⤵