Aerodinamica, corso completo

Richiami di Fluidodinamica

• Conservazione Massa

Il sistema (inteso come particella di fluido) si sta muovendo e la sua massa non varia

_DM ^DE = 0 Per primo Reynolds

^∂ _∂t ∫∫∫ ρ dv + ∮ ρu•n ds = 0 V_o S_o

La variazione nel tempo della massa nel volume di controllo V_o uguale flusso di massa attraverso le superfici di controllo

• Caso Stazionario St → ∞

∮ ρu•n ds = 0

(Il numero di Strouhal è il rapporto tra il tempo caratteristico del fenomeno e quello del campo fluidodinamico)

• Forma Differenziale

^∂ρ _∂t + ∮ ρu•n ds = 0 S_o

Per Gauss

∫∫∫ ^∂ρ _∂t + ∇•(ρu) dV = 0 V_o

_{se stazionario: ∂ρ ∂t} = 0 _{Ma C o.3} INCOMPRENSIBILE

_{∇• u} = 0

_{∀ Vt o}

D_P@_t + ρu•n = 0 Termine di variazione di volume

• Bilancio Quantità di moto

La quantità di moto varia per effetto delle forze di massa e delle forze di superficie (superficie delle particelle fluide)

D_{Q ∂t} = F_m + F_v → ∫∫∫ ρu dV = ∫∫ ρ dV + ∮ T•n dS V(t) V_o S_o

∫∫ ρu dV + ∮ ρu•n ds

Per Reynolds

∫∫∫ ρf g dV + ∮ T•n ds V(t) V_o

T = Tensore delle tensione

(Morino T̅ = -p Ī + V̅)

T_ik = -p δ_ik + σ_ik G_wj

(Morino dopo relazioni costitutive)

V̅ = λ (tr D̅) Ī̅ + 2μ D̅

σ_ik = λ ε_jj δ_ik + 2μ ε_ik

E_ik = 1/2 (∂u_i/∂x_k + ∂u_k/∂x_i)

ε_jj = ∂u_l/∂x₁ + ∂u_k/∂x₂ + ∂u₃/∂x₃

ε q dice come si deforma non in che direzione

ER FLUIDO MONOATOMICO A BASSA p

λ = -2/3 μ

σ_ik = -2/3 μ ε_jj δ_ik + 2μ ε_ik

F_s = ∮_S0 p ṅ ds + ∮_S0 σ̅̅ . ṅ ds

Introducendo le seguenti ipotesi

• St→∞
• Fr→∞
• Re→∞

Forze viscose nulle

∮_S ̅f̅̅̅. ṅ ds → forze d'inerzia

∮_S0 (ρu̇ (u̇ . ṅ) + ρ ṅ) ds = 0

FORMA DIFFERENZIALE

∭_v0 ∂(ρu̇)/∂t dv = ∬_v0 (βḞ + ▽ . σ̅̅ . + ▽Ṗ) dv

∀ v₀

ATMOSFERA STANDARD

… permette di determinare la temperatura in funzione della quota tramite relazioni empiriche, e lo stesso per la pressione.

Perché interessa cosa accade al variare della quota?

Per valutare la potenza dobbiamo conoscere la densità. Ne

dipende con la quota

L = ½ ρ ν² S c

Per quanto concerne M_c = μ = μ

accora l'venire della quota per effetto di T

Valutiamo come variano ρ, P, T rispetto alle condizioni di

riferimento al livello del mare

Dinstinguendo tra

• Troposfera (fino 11 Km)
• Stratosfera (fino 20 Km)

• Temperatura

(Km)

T() = T(0) – α

α = 0.0065 K /m

Stratosfera

T() = T(11 Km)

Pressione

Bilancio qdm per fluido fermo

-∇p + p g = 0

Proiettando su

- dP/dz - p g = 0

Dall'equazione di stato

p = pRT

dP/dz = - (ρ / RT) g

dP / P = - (g / RT) dz

Profili super Critici

Buon comportamento nel transonico Ma < 0,85

Caratterizzato da L.E. fortemente arrotondato

La regione centrale di dorso quasi piatta e un T.E.

Che scende quasi linearmente.

Profilo normale nel transonico:

Flusso attorno a tale profilo dopo aver

giunto la superficie del corpo tende ad accelerare (come se vi fosse un convergente)

supera la velocità sonica e si raggiunge una

ne supersonica que Ma >1 ma poi flusso prima di uscire

e rallentare e avviene un urto nel quale l’energia cinetica

trasforma in calore per via irreversibile …la pressione

ATO A Ha ELEVATO FORNISCE MOLTA RESISTENZA AERODINAMICA

Profilo supercritico:

ome se avessimo un tubo a

ezione costante, il Ma si

antiene circa uguale e l’urto

si manifesta e depone

PROFILO NORMALE

Cp

PROFILO SUPERCRITICO

Cp

Il vortice presente è lineare e detto di Rankine e risulta avere seguente andamento.

• lineare per la dimensione del vortice r
• Parabolico come 1/r Altrove

Per da rettangolare

in blu _{Ui1 = Γ₁/4π r₁}

in nero _{Ui2 = - Γ₂/4π r₂}

in verde _{Utot = Ui1 + Ui2 = Γ₁/4π r₁ - Γ₂/4π r₂}

_{Utot = Γ/4π (- 1/r₁ - 1/r₂)}

Per Helmotz - Γ₁= Γ₂

Ponendo r₂ = b - r₁

Parametrizzando b rispetto ad un vortice

_{Utot = Γ/4π ( b / r₁(b - r₁))}

In mezzeria r₁ = r₂ = b/2

_{U = - Γ/π b}

SCRIVIAMO LE EQUAZIONI NEL SISTEMA RIFERIMENTO ARIA

∞=0 ϕ∞=0

COSÌ IL POTENZIALE E LA VELOCITÀ SARANNO SOLO QUELLI RELATIVI ALLAPerturbazione DOVUTA ALLA PRESENZA DEL CORPO

PER OTTENERE IL POTENZIALE COMPLETO, ESSENDO VALIDO IL PRINCIPIO DI S.U.,SOVRAPPONIAMO IL POTENZIALE DELLA CORRENTE UNIFORME ϕ∞ A QUELLO DISTRUTTURAZIONE DEL CORPO.

CON IL POTENZIALE OTTENIAMO UN' EQUAZIONE LINEARE NELLO SPAZIO DI INCOGNITEϕ, MENTRE ERAVAMO PARTITI DASISTEMA 4 EQUAZIONI IN 4 INCOGNITENON LINEARI E NON STAZIONARIE IN 4 VARIABILI INDIPENDENTI

NOTO ϕ → DA =∞ TROVIAMO

TROVIAMO TRAMITE BERNOULLI NON STAZIONARIO (SRA)

EQUAZIONE - NON LINEARE (11^o)NON STAZIONARIA (12^o)

CONDIZIONI AL CONTORNO

- CONDIZIONI AL CONTORNO SONO DI TRE TIPI:All'infinitoAl corpo solidoSulla sua superficie di discontinuità

PER DETERMINARLE PRENDIAMO UNA SFERA ENTRATA NEL CORPO DIRAGGIO R VARIABILE.

All'infinito

lim ϕ=0 CONDIZIONE AL CONTORNOR→∞ DI PERTURBAZIONE NULLA

NON POSSO TROVARMI G ATTRAVERSO E AUTOFUNZIONI E ALTRE,

AGIONIAMO COME SEGUE:

∇²G = δ(r) solamente in V, negli altri punti ∇²G = 0

Noi risolviamo ∇²G = 0 poi imponiamo ∫∫∫_V ∇²G dv = ∫∫∫ δ(r) dv

lim_r→∞ θ = 0

∇²G = (1/r²) (∂/∂r)(r²∂G/∂r) = scritto in coordinate polari

∇²G = 0, la soluzione è G = -A/r + B

lim_r→∞ -A/r + B = 0 quindi B = 0 quindi G = -A/r

A/r ∫∫∫_V’ ∇²G dv = ∫∫∫_V’ δ(r) dv quindi ∫∫∫_V’ ∇²G dv = 1

∮∇G∙n^- ds =1 ⇒ ∮(∂G/∂n) ds = 1

Per teorema Gauss

Valutiamo la soluzione per una sfera di raggio r

(∂G/∂n) = -(∂G/∂r) Presi pattuta normale entrante

∮(A/r²) ds = 1

extremo → ds = r² sin θ dθ dφ Solz

∫(A/r²)dα

limitamento di → integrale ∫

A = 1/(4π)

G = -1/(4πr)

soluzione fondamentale di spazio libero in 3D, io

G = ln(r)/2π