Aerodinamica, corso completo

Richiami di fluidodinamica

Conservazione massa

Il sistema (preso come particella di fluido) si sta muovendo e la sua massa non varia:

_dM/_dt = 0

Per primo Reynolds:

∫∫∫_V0 ∂_t ^dv + ∫∫_S0 ρ^u⃗ ∙ ⁿ⃗ ^ds = 0

La variazione nel tempo della massa nel volume di controllo V₀ è uguale al flusso di massa attraverso le superfici di controllo.

Caso stazionario

St → ∞∫∫ ρ^u⃗ ∙ ⁿ⃗ ^ds = 0

(Il numero di Strouhal è il rapporto tra il tempo caratteristico del fenomeno e quello del tempo fluidodinamico)

Forma differenziale

∫∫∫_V0 ∂_ρ/∂_t ^dv + ∫∫_S0 ρ^u⃗ ∙ ⁿ⃗ ^ds = 0

Per Gauss:

∫∫∫_V0 (∂_ρ/∂_t + ∇∙(ρ^u⃗ )) d_V = 0 ∀ V_t

Se stazionario, ∂_ρ/∂_t = 0 se Ma < 0.3.

INCOMPRENSIBILE ∇∙^ρ = 0 → ∇∙^u⃗ = 0

DP/DC + ρ ∇∙^u⃗ = 0

Termine di variazione di volume

Bilancio quantità di moto

La quantità di moto varia per effetto delle forze di massa e delle forze di superficie (superficie delle particelle fluide):

∂_Q/∂_t = F_m + F_v → ∂/∂_t ∫∫ ∫_Vt(t) ρ^u⃗ ^dV = ∫∫_V0 ∂_t ^dV + ∫∫_S0 τⁱ⃗ ∙ ⁿ⃗ ^dS

∫∫∫_V0 ∂_ρu^k/∂_t ^dV + ∫∫_S ρ^uk ∙ ⁿ⃗ ^dS = ∫∫_V0 ∂_gk ^dV + ∫∫_S τ∙ⁿ⃗ ^dS

Per Reynolds:

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Richiami di fluidodinamica

Conservazione Massa

Il sistema (inteso come particella di fluido) si sta muovendo e la sua massa non varia:

dM/dt = 0

Per primo Reynolds:

∫∫∫_V0 ∂ρ/∂t dv + ∫∫_S0 ρυᵢ * n ds = 0

La variazione nel tempo della massa nel volume di controllo V₀ → Flusso di massa attraverso le superfici di controllo

Caso stazionario

St->∞∫∫ ρυᵢ * n ds = 0

(Il numero di Strouhal è il rapporto tra il tempo caratteristico del fenomeno e quello del tempo fluidodinamico)

Forma differenziale

∫∫∫_V0 ∂ρ/∂t dv + ∫∫_S0 ρυᵢ * n ds ≥ 0

Per Gauss:

∫∫∫_V0 (∂ρ/∂t + ∇·(ρυᵢ)) dV = 0

Se stazionario: ∂ρ/∂t = 0 | Ma DP/DT + ρ ∇ᵥ υᵢ² = 0

Termine di variazione di volume

Bilancio quantità di moto

La quantità di moto varia per effetto delle forze di massa e delle forze di superficie (superficie delle particelle fluide):

dQ/dt = F_m + F_ν → ∂/∂t ∫∫∫_Vh(t) ρυᵢ dv = ∫∫∫_V0 ρg dv + ∫∫_S0 τₑ · n ds

∫∫∫_V ∂(ρυᵢ)/∂t dv + ∫∫_S ρυᵢ (υ · n) ds = ∫∫∫ ρg dv + ∫∫ τ ₑ · n ds

Per Reynolds

Tensore delle tensioni

T_ik = -p δ_ik + σ_ik ω_ij

σ_ik = λ ε_jj δ_ik + 2μ ε_ik

λ = -²⁄₃ μ

σ_ik = -²⁄₃ μ ε_jj δ_ik + 2μ ε_ik

F_s = ∮_s0 p n̅ ds + ∮_s0 σ̅ ∙ n̅ ds

Ipotesi introdotte

St→∞ q̅_c = 0

Fr→∞ Fm ≈ 0

Re→∞ ∮ (σ̅ ∙ n̅ ds)

∮ (p u̅ (u̅ ∙ n̅) + p n̅) ds = 0

Forma differenziale

∬_v0 ρ ∂u̅ ∕∂t dv = ∬_v0 (β f̅ + ∇ ∙ σ̅ + β p) dv

ρ _DC = ρ ƒ - ∇&overline;p; + ∇&overline;σ_Dt

Equazione Navier Stokes

Forze viscop

Bilancio energia (termo cinetica)

E = ∫ ∫ ∫ ρ (v + μ²) dv_V(t)

dE = L + Q

Variazione nel tempo di energia totale uguale incremento di energia per effetto del calore e per effetto del lavoro:

∫ ∫ ∫ ρ e dv = ∫ ∫ ∫ ρ ƒ ∙ μ pdv + &o; (&FNof; - &t; e) ∙ ι ds + ∫ ∫ ∫ ρ q dv

∫ ∫ &o; t v ∙ ∇ ds

Volume flusso Reynolds

Nelle seguenti ipotesi:

• ⋅ ι = μ t.t
• _ik = μ pni kx i = μ t.∇²

∮_S₀ ρ e ̅ ∙̅ ds = - ∮_S₀ ρ ̅ ∙̅ ds

∮_S₀ (ρe + P) ̅ ∙̅ ds ⟹ e = J + u²/2

∮_S₀ ( J + u²/2 + P/ρ) ̅ ∙̅ ds ⟹ J + P/ρ = h

∮_S₀ H ̅ ∙̅ ds = 0

Energia totale si conserva e ciò è vero anche per processi irreversibili termici sottraendo dall'energia totale quella meccanica. Scriviamo il bilancio dell'energia termica in termini di entropia:

Bilancio termico (BT)

BT_DC S/DC = q + ψ φ² + k ▽u^T/ρμ φ² = ∂(μK)/∂xi Gik = G∙ prodotti Tᐠ

Motori stazionari

Fluido isoentropico se ∫dx/T ≠ 0 e − ad ↑ questa forma mi consente l'utilizzo dell'ISOENTROPIA

P/pθϑ_-1 = cost

T/pθ_-1 = cost

I/σ/pθ_-1 = cost

Prima forma

ρc_v(^DT/_DC) = -^DP/_DC + ρq + μ φ² + K∇² T

- valore persi scambi termico La variazione di entalpia è data dalle pressione che stiamo variando per effetto del trasporto e del tempo dal calore che stiamo fornendo per effetto di combustioni, e dal lavoro meccanico.