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Richiami di Fluidodinamica
- Conservazione Massa
Il sistema (inteso come particella di fluido) si sta muovendo e la sua massa non varia
DM DE = 0 Per primo Reynolds
∂ ∂t ∫∫∫ ρ dv + ∮ ρu•n ds = 0 Vo So
La variazione nel tempo della massa nel volume di controllo Vo uguale flusso di massa attraverso le superfici di controllo
- Caso Stazionario St → ∞
∮ ρu•n ds = 0
(Il numero di Strouhal è il rapporto tra il tempo caratteristico del fenomeno e quello del campo fluidodinamico)
- Forma Differenziale
∂ρ ∂t + ∮ ρu•n ds = 0 So
Per Gauss
∫∫∫ ∂ρ ∂t + ∇•(ρu) dV = 0 Vo
se stazionario: ∂ρ ∂t = 0 Ma C o.3 INCOMPRENSIBILE
∇• u = 0
∀ Vt o
DP@t + ρu•n = 0 Termine di variazione di volume
- Bilancio Quantità di moto
La quantità di moto varia per effetto delle forze di massa e delle forze di superficie (superficie delle particelle fluide)
DQ ∂t = Fm + Fv → ∫∫∫ ρu dV = ∫∫ ρ dV + ∮ T•n dS V(t) Vo So
∫∫ ρu dV + ∮ ρu•n ds
Per Reynolds
∫∫∫ ρf g dV + ∮ T•n ds V(t) Vo
T = Tensore delle tensione
(Morino T̅ = -p Ī + V̅)
Tik = -p δik + σik Gwj
(Morino dopo relazioni costitutive)
V̅ = λ (tr D̅) Ī̅ + 2μ D̅
σik = λ εjj δik + 2μ εik
Eik = 1/2 (∂ui/∂xk + ∂uk/∂xi)
εjj = ∂ul/∂x1 + ∂uk/∂x2 + ∂u3/∂x3
ε q dice come si deforma non in che direzione
ER FLUIDO MONOATOMICO A BASSA p
λ = -2/3 μ
σik = -2/3 μ εjj δik + 2μ εik
Fs = ∮S0 p ṅ ds + ∮S0 σ̅̅ . ṅ ds
Introducendo le seguenti ipotesi
- St→∞
- Fr→∞
- Re→∞
Forze viscose nulle
∮S ̅f̅̅̅. ṅ ds → forze d'inerzia
∮S0 (ρu̇ (u̇ . ṅ) + ρ ṅ) ds = 0
FORMA DIFFERENZIALE
∭v0 ∂(ρu̇)/∂t dv = ∬v0 (βḞ + ▽ . σ̅̅ . + ▽Ṗ) dv
∀ v0
ATMOSFERA STANDARD
… permette di determinare la temperatura in funzione della quota tramite relazioni empiriche, e lo stesso per la pressione.
Perché interessa cosa accade al variare della quota?
Per valutare la potenza dobbiamo conoscere la densità. Ne
dipende con la quota
L = ½ ρ ν2 S c
Per quanto concerne Mc = μ = μ
accora l'venire della quota per effetto di T
Valutiamo come variano ρ, P, T rispetto alle condizioni di
riferimento al livello del mare
Dinstinguendo tra
- Troposfera (fino 11 Km)
- Stratosfera (fino 20 Km)
• Temperatura
(Km)
T() = T(0) – α
α = 0.0065 K /m
Stratosfera
T() = T(11 Km)
Pressione
Bilancio qdm per fluido fermo
-∇p + p g = 0
Proiettando su
- dP/dz - p g = 0
Dall'equazione di stato
p = pRT
dP/dz = - (ρ / RT) g
dP / P = - (g / RT) dz
Profili super Critici
Buon comportamento nel transonico Ma < 0,85
Caratterizzato da L.E. fortemente arrotondato
La regione centrale di dorso quasi piatta e un T.E.
Che scende quasi linearmente.
Profilo normale nel transonico:
Flusso attorno a tale profilo dopo aver
giunto la superficie del corpo tende ad accelerare (come se vi fosse un convergente)
supera la velocità sonica e si raggiunge una
ne supersonica que Ma >1 ma poi flusso prima di uscire
e rallentare e avviene un urto nel quale l’energia cinetica
trasforma in calore per via irreversibile …la pressione
ATO A Ha ELEVATO FORNISCE MOLTA RESISTENZA AERODINAMICA
Profilo supercritico:
ome se avessimo un tubo a
ezione costante, il Ma si
antiene circa uguale e l’urto
si manifesta e depone
PROFILO NORMALE
Cp
PROFILO SUPERCRITICO
Cp
Il vortice presente è lineare e detto di Rankine e risulta avere seguente andamento.
- lineare per la dimensione del vortice r
- Parabolico come 1/r Altrove
Per da rettangolare
in blu Ui1 = Γ₁/4π r₁
in nero Ui2 = - Γ₂/4π r₂
in verde Utot = Ui1 + Ui2 = Γ₁/4π r₁ - Γ₂/4π r₂
Utot = Γ/4π (- 1/r₁ - 1/r₂)
Per Helmotz - Γ₁= Γ₂
Ponendo r₂ = b - r₁
Parametrizzando b rispetto ad un vortice
Utot = Γ/4π ( b / r₁(b - r₁))
In mezzeria r₁ = r₂ = b/2
U = - Γ/π b
SCRIVIAMO LE EQUAZIONI NEL SISTEMA RIFERIMENTO ARIA
∞=0 ϕ∞=0
COSÌ IL POTENZIALE E LA VELOCITÀ SARANNO SOLO QUELLI RELATIVI ALLAPerturbazione DOVUTA ALLA PRESENZA DEL CORPO
PER OTTENERE IL POTENZIALE COMPLETO, ESSENDO VALIDO IL PRINCIPIO DI S.U.,SOVRAPPONIAMO IL POTENZIALE DELLA CORRENTE UNIFORME ϕ∞ A QUELLO DISTRUTTURAZIONE DEL CORPO.
CON IL POTENZIALE OTTENIAMO UN' EQUAZIONE LINEARE NELLO SPAZIO DI INCOGNITEϕ, MENTRE ERAVAMO PARTITI DASISTEMA 4 EQUAZIONI IN 4 INCOGNITENON LINEARI E NON STAZIONARIE IN 4 VARIABILI INDIPENDENTI
NOTO ϕ → DA =∞ TROVIAMO
TROVIAMO TRAMITE BERNOULLI NON STAZIONARIO (SRA)
EQUAZIONE - NON LINEARE (11o)NON STAZIONARIA (12o)
CONDIZIONI AL CONTORNO
- CONDIZIONI AL CONTORNO SONO DI TRE TIPI:All'infinitoAl corpo solidoSulla sua superficie di discontinuità
PER DETERMINARLE PRENDIAMO UNA SFERA ENTRATA NEL CORPO DIRAGGIO R VARIABILE.
All'infinito
lim ϕ=0 CONDIZIONE AL CONTORNOR→∞ DI PERTURBAZIONE NULLA
NON POSSO TROVARMI G ATTRAVERSO E AUTOFUNZIONI E ALTRE,
AGIONIAMO COME SEGUE:
∇²G = δ(r) solamente in V, negli altri punti ∇²G = 0
Noi risolviamo ∇²G = 0 poi imponiamo ∫∫∫V ∇²G dv = ∫∫∫ δ(r) dv
limr→∞ θ = 0
∇²G = (1/r²) (∂/∂r)(r²∂G/∂r) = scritto in coordinate polari
∇²G = 0, la soluzione è G = -A/r + B
limr→∞ -A/r + B = 0 quindi B = 0 quindi G = -A/r
A/r ∫∫∫V’ ∇²G dv = ∫∫∫V’ δ(r) dv quindi ∫∫∫V’ ∇²G dv = 1
∮∇G∙n- ds =1 ⇒ ∮(∂G/∂n) ds = 1
Per teorema Gauss
Valutiamo la soluzione per una sfera di raggio r
(∂G/∂n) = -(∂G/∂r) Presi pattuta normale entrante
∮(A/r²) ds = 1
extremo → ds = r² sin θ dθ dφ Solz
∫(A/r²)dα
limitamento di → integrale ∫
A = 1/(4π)
G = -1/(4πr)
soluzione fondamentale di spazio libero in 3D, io
G = ln(r)/2π