Acustica Lineare

Acustica lineare

L'acustica é la disciplina che si occupa dello studio di perturbazioni sonore, ovvero di leggere deviazioni dai valori di equilibrio (non perturbati) di pressione, densitá e velocitá (p, ρ₀, u₀). Partendo dalle equazioni di bilancio per flussi comprimibili possiamo introdurre tali perturbazioni per studiarne la dinamica linearizzata.

Ipotesi

Fluido comprimibile:

• Non viscoso (σ̄ = −pĪ + τ̄ = −pĪ);
• Non conduttivo (q̇ = 0);
• Assenza di forze di volume;
• Gas perfetto;

Bilancio di massa: Dρ/Dt + ρ∇ · u = 0

Bilancio quantità di moto: −∇p = ρDu/Dt

Bilancio energetico: −p∇ · u = ρc_vDT/Dt

Dall'espressione del bilancio energetico e dalle ipotesi possiamo dimostrare che il fluido è sia isentropico, che barotropico, p = p(ρ). Ovvero:

ds = 0; pρ^−γ = cost; ∇p = a₀²∇ρ; dp/dρ = a₀².

Supponiamo adesso che il fluido subisca una piccola perturbazione del campo fluidodinamico. Facciamo quindi altre ipotesi aggiuntive:

• Piccole perturbazioni;
• Flusso imperturbato costante ed uniforme (u₀, p₀, ρ₀, a₀);

u = u₀ + u; p = p₀ + p; ρ = ρ₀ + ρ.

Dal momento che il fluido è barotropico, e per le ipotesi aggiuntive, è possibile sviluppare l'espressione di p = p(ρ) al primo ordine. Troviamo così una importante relazione per le onde:

p(ρ) ≈ p(ρ₀) + (∂p/∂ρ)₀ · (ρ − ρ₀) → p = a₀²ρ.

Introducendo le quantità perturbate, espandendo e linearizzando i bilanci sopra scritti, troviamo due equazioni d'onda. Queste sono accoppiate in u e ρ. Per disaccoppiarle occorre applicare una differenziazione incrociata (gradiente del bilancio di massa e divergenza del bilancio della quantità di moto):

−ρ₀∇ · u = D₀ρ/Dt (A)

−a₀²∇ρ = D₀u/Dt (B)

dove D₀/Dt = ∂/∂t + u₀ · ∇ ("Derivata Lagrangiana Linearizzata").

∇(A) → ∇²u = 1/a₀² D₀²u/Dt², oppure ∇ · (B) → ∇²ρ = 1/a₀² D₀²ρ/Dt² = 1/ρ₀a₀² D₀²p/Dt².

Equazioni d'onda

Queste equazioni sono del secondo ordine nelle derivate parziali, sono lineari, e di tipo iperbolico (la soluzione in un punto dipende dalla soluzione in punti che precedono quello considerato) e vengono chiamate equazioni d'onda. Esse possono essere espresse anche in modo più sintetico introducendo un operatore differenziale specifico del problema:

W = 1/a₀²D₀²/Dt² − ∇² = 1/a₀²(∂/∂t + u₀ · ∇)² − ∇² ("Wave Differential Operator").

W{u} = 0 ⇒ W{ρ} = 0.

N.B. Se il flusso è stato generato da un campo uniforme a monte, per il teorema di Kelvin (circolazione della velocità su una linea chiusa nulla, con conseguente vorticità uniforme lungo il flusso), il campo di velocità risulta irrotazionale (∇ ∧ u = 0) e quindi posso introdurre il flusso potenziale: u = ∇φ. In questo caso l'equazione d'onda può essere leggermente modificata:

W{∇φ} = ∇W{φ} = 0 ⇒ W{φ} = c(t), con c(t) = 0 per φ = 0.

Esempio: equazione d'onda monodimensionale 1-D

1/a₀² ∂²u/∂t² + 2u₀/a₀² ∂²u/∂t∂x + u₀²/a₀² ∂²u/∂x² − ∂²u/∂x² = 0.

La soluzione generale dell'equazione differenziale è la somma di due funzioni definite dalle condizioni iniziali che hanno come proprietà quella di rimanere della stessa forma per ogni incremento di coordinata o di tempo. Ovvero si tratta di due funzioni che traslano a velocità costante (velocità di propagazione), una in senso progressivo (f-forward) e una in senso regressivo (b-backward):

u = f [x − (u₀ + a₀)t] + b [x − (u₀ − a₀)t], dove Δx/Δt = u₀ ± a₀.

Prendiamo ad esempio un'onda puramente progressiva u = f [x − (u₀ + a₀)t], possiamo trovare una relazione che leghi le perturbazioni l'una all'altra. Dal bilancio della quantità di moto, e dal tipo di soluzione, abbiamo:

−ρ₀(∂u/∂t + u₀∂u/∂x) = −a₀²∂ρ/∂x.

u = f[y] → ∂u/∂t = ∂f/∂y ∂y/∂t = −(u₀ + a₀)∂u/∂x.

a₀²∂ρ/∂x = ρ₀a₀∂u/∂x ⇒ ∂u/∂x = a₀/ρ₀ ∂ρ/∂x.

Nel caso particolare in cui il fluido fosse fermo nella sua condizione non perturbata, ovvero se avessimo u₀ = 0:

∂u/∂x = 1/ρ₀a₀ ∂p/∂x = 1/γp₀ ∂p/∂x.

Esempio: equazione di Helmholtz

Cerchiamo soluzioni armoniche dell'equazione delle onde per la pressione di perturbazione. Il motivo sta nel fatto che ogni input d'eccitazione tempo-dipendente può essere spesso decomposto in funzioni armoniche e, essendo le equazioni linearizzate, è possibile applicare il principio di sovrapposizione degli effetti per ottenere la soluzione come somma di soluzioni più semplici, relative alle singole componenti armoniche.

Dunque supponiamo che p̃ = p̂(x)e^iωt sia soluzione. Allora:

−∇²p̂ − 2iω/a₀² u₀ · ∇p̂ + ω²/a₀²p̂ = 0.

Dunque l'equazione di Helmholtz è una equazione indipendente dal tempo, che si riduce a un'equazione differenziale ordinaria (ODE) del secondo ordine per flussi 1-D. Essa può essere riscritta introducendo:

M₀ = u₀/a₀ ("Vettore di Mach"); k = ω/a₀ ("Numero d'onda").

−(1 − M₀²)∇²p̂ + 2ikM₀ · ∇p̂ + k²p̂ = 0.

Nel caso in cui il flusso è monodimensionale con u₀ = 0, l'equazione si semplifica (equazione armonica):

∇²p̂ + k²p̂ = 0 ⇒ p̂ = Ae^−ikx + Be^ikx.

Dunque la soluzione globale dell'equazione delle onde sarà:

p̃ = Ae^−i(kx+ωt) + Be^i(kx−ωt).

Densità di energia e intensità d'onda

Vogliamo trovare l'espressione della perturbazione della densità di energia dovuta al passaggio dell'onda. Partiamo dunque dalla definizione di "densità di energia totale" (energia per unità di volume):

ρe_t = ρe + 1/2 ρu · u.

(ρe_t)₀ = (ρe)₀ + 1/2 ρ₀u₀ · u₀.

Sviluppando al secondo ordine nella variabile ρ e considerando assenza di un moto imperturbato (u₀ = 0), possiamo scrivere:

ρe_t ≈ (ρe_t)₀ + d(ρe)/dρ|₀ρ + 1/2 d²(ρe)/dρ²|₀ρ² + 1/2 ρ₀u · u.

Dal primo principio della termodinamica, considerando che stiamo considerando un flusso che, come visto in precedenza, ha entropia costante:

de = Tds − pd(1/ρ); dh = Tds + dp/ρ; d(ρe)/dρ = h; d²(ρe)/dρ² = a₀²/ρ₀.

(ρe_t)₀ ≈ (ρe_t)₀ + h₀ρ + 1/2 a₀²/ρ₀ρ² + 1/2 ρ₀u · u, con a₀² = γp₀/ρ₀.

Mediando la perturbazione sul periodo armonico (stiamo considerando soluzioni armoniche):

(ρe_t)₀ = ... = 1/2 p²/ρ₀a₀² + 1/2 ρ₀u · u.

Dove possiamo osservare due contributi: uno di energia potenziale e l'altro di energia cinetica, dovuti entrambi alle perturbazioni (pressione acustica e velocità).

Possono essere definite altre proprietà importanti nello studio delle onde:

• "Densità di flusso di massa" → ṁ = ρu;
• "Densità di flusso di potenza" → ẇ = ρu(h + 1/2 u · u);
• "Intensità d'onda" → I = p̂û;
• "Impedenza acustica (specifica)" → Z = p̂/û = R + iX (R = "Resistenza" e X = "Reattanza");
• "Ammettenza acustica (specifica)" → Y = 1/Z = (R − iX)/(R² + X²).

Per flussi onde lineari isentropiche in un fluido fermo (u₀ = 0), sviluppando le quantità sopra definite al