Acustica Lineare

Acustica Lineare

L'acustica é la disciplina che si occupa dello studio di perturbazioni sonore, ovvero di leggere deviazioni

u

dai valori di equilibrio (non perturbati) di pressione, densitá e velocitá ( , , ). Partendo dalle equa-

p ρ

0 0 o

zioni di bilancio per ussi comprimibili possiamo introdurre tali perturbazioni per studiarne la dinamica

linearizzata.

Ipotesi (Fluido comprimibile):

Non viscoso ( );

¯ ¯

• −pI −pI

σ̄ = + τ̄ =

);

Non conduttivo (

• = 0

q̇

Assenza di forze di volume;

• Gas perfetto;

• Dρ u

Bilancio di Massa: ·

+ ρ∇

Dt u

D

Bilancio Quantità di Moto: −∇p

=

ρ Dt

DT u

Bilancio Energetico: −p∇ ·

=

ρc

v Dt

Dall'espressione del bilancio energetico e dalle ipotesi possiamo dimostrare che il uido è sia isentropico,

⇒

che barotropico, . Ovvero:

p = p(ρ)

; ; dp

−γ 20

∇p ∇ρ ∇ρ

ds = 0 pρ = cost = = a

dρ s

Supponiamo adesso che il uido subisca una piccola perturbazione del campo uidodinamico. Faccia-

mo quindi altre ipotesi aggiuntive:

Piccole perturbazioni;

• u

Flusso imperturbato costante ed uniforme ( , , , );

20

• p ρ a

0 0 0 u u u

; ;

0 0 0

p = p + p ρ = ρ + ρ = +

0 0 0

Dal momento che il uido è barotropico, e per le ipotesi aggiuntive, è possibile sviluppare l'espressione

di al primo ordine. Troviamo così una importante relazione per le onde:

p = p(ρ)

∂p 0 0

20

≈ · − → p = a ρ

p(ρ) p (ρ ) + (ρ ρ )

0

0 0 ∂ρ 0

Introducendo le quantità perturbate, espandendo e linearizzando i bilanci sopra scritti, troviamo

u

due equazioni d'onda. Queste son accoppiate in e . Per disaccoppiarle occorre applicare una

0 0

ρ

dierenzazione incrociata (gradiente del bilancio di massa e divergenza del bilancio della quantità di

moto): 0

 D ρ u

0 0

−ρ ∇ ·

= (A)

 D ∂

0 u

 dove ("Derivata Lagrangiana Linearizzata")

0

Dt · ∇

u = +

0 0

D Dt ∂t

0 0

20

−a ∇ρ

ρ = (B)

 0

 Dt u 0

2

D u

0 0

1 2

∇(A) → ∇

=

20

a 2

Dt 0 0

2 2

D ρ D p

oppure

0 0

0 0

1 1

2 2

∇ · → ∇ ∇

(B) = ρ = p

20 20

a a

2 2

Dt Dt

Queste equazioni sono del secondo ordine nelle derivate parziali, sono lineari, e di tipo iporbolico

(la soluzione in un punto dipende dalla soluzione in punti che precedono quello considerato) e vengono

Equazioni d'Onda

chiamate . Esse possono essere espresse anche in modo più sintetico introducendo

un'operatore dierenziale specico del problema:

2 2 ∂

D ∂ u u u

0

1 2 2

− ∇ · ∇

W · ∇

+ 2

= = + (”W ave Dif f erential Operator”)

0 0 0

20

a 2 2

Dt ∂t ∂t u

( 0

W{ } = 0

⇒ 0

W{ρ } = 0

N.B. Se il usso è stato generato da un campo uniforme a monte, per il teorema di Kelvin (circuita-

zione della velocita su una linea chiusa nulla, con conseguente vorticità uniforme lungo il usso), il campo

u u

di velocità risulta ( ) e quindi posso introdurre il usso potenziale: . In

Irrotazionale ∇ ∧ ∇φ

= 0 =

questo caso l'equazione d'onda può essere leggermente modicata: 0

W{∇φ} ∇ ⇒ W{φ}

= (W{φ}) = 0 = c(t) con c(t) = 0 per φ = 0

:

Esempio (Equazione d'Onda Monodimensionale 1-D)

0 0 0 0

2 2 2 2

∂ u ∂ u ∂ u ∂ u

1 2 −

+ 2u + u =0

0 0

20 2 2 2

a ∂t ∂t∂x ∂x ∂x

La soluzione generale dell'equazione dierenziale è la somma di due funzioni denite dalle condizioni

iniziali che hanno come proprietà quella di rimanere della stessa forma per ogni incremento di coordinata

velocità di propagazio-

o di tempo. Ovvero si tratta di due funzioni che traslano a velocità costante (

ne

), una in senso ( ) e una in senso ( ):

progressivo f-forward regressivo b-backward

∆x "Velocità di Propagazione"

0 ±

− − − = u a =

u = f [x (u + a )t] + b [x (u a )t] dove 0 0

0 0 0 0 ∆t

Prendiamo ad esempio un'onda puramente progressiva , possiamo trovare una

0 −

u = f [x (u + a )t]

0 0

relazione che leghi le perturbazioni l'una all'altra. Dal bilancio della quantità di moto, e dal tipo di

soluzione, abbiamo: 0 0 0

∂u ∂u ∂ρ

20

−ρ −

ρ = u a

0 0 0

∂t ∂x ∂x

0 0 0 0

∂u ∂f ∂y ∂u ∂y ∂u 1 ∂u

0 → → −

u = f [y] = = =

∂t ∂y ∂t ∂x ∂t ∂x (u + a ) ∂t

0 0

0 0

2 2

−

a u + u a ∂u 1 ∂ρ

0 0

0 0

⇒ =

a (u + a ) ∂x ρ ∂x

0 0 0 0

Nel caso particolare in cui il uido fosse fermo nella sua condizione non perturbata, ovvero se avessimo

:

u = 0

0 0 0 0

∂u 1 ∂ρ 1 ∂p

1 = =

a ∂x ρ ∂x γp ∂x

0 0 0

:

Esempio ( )

Equazione di Helmholtz

Cerchiamo soluzioni armoniche dell'equazione delle onde per la pressione di perturbazione. Il motivo

sta nel fato che ogni input d'eccitazione tempo-dipendente può essere spesso decomposta in funzioni

armoniche e, essendo le equazioni linearizzate, è possibile applicare il principio di sovrapposizione degli

eetti per ottenere la soluzione come somma di soluzioni più semplici, relative alle singole componenti

armoniche. x sia soluzione. Allora:

Dunque supponiamo che iωt

p̃ = p̂( )e

u u 2

· ω ω

u

0 0 2 iωt

− ∇ − · ∇p̂

1 p̂ 2i + p̂ e = 0

0

20 2 2

a a a

0 0

Dunque l'equazione di Helmholtz è una equazione , che si riduce a un'equazione

indipendente dal tempo

dierenziale ordinaria (ODE) del secondo ordine per ussi 1-D. Essa può essere riscritta introducendo:

u ω

M 0 0

(”V ettore di M ach”) (”N umero d onda”)

= k =

0 a a

0 0

M M

20 2 2

− · ∇p̂

(1 )∇ p̂ + 2ik + k p̂ = 0

0

u

Nel caso in cui il usso è monodimensionale con , l'equazione si semplica (equazione armonica):

= 0

0 −ikx

2 ikx

∇p̂ ⇒

+ k p̂ = 0 p̂ = Ae + Be

Dunque la soluzione globale dell'equazione delle onde sarà:

−i(kx+ωt)

+i(kx−ωt)

p̃ = Ae + Be

Densità Di Energia e Intensità d'Onda

Vogliamo trovare l'espressione della perturbazione della densità di energia dovuta al passaggio dell'onda.

Partiamo dunque dalla denizione di "densità di energia totale" (energia per unità di volume): ρe =

t

u u 0

12 ·

ρe + ρ = (ρe ) + (ρe )

t 0 t

Sviluppando al secondo ordine nella variabile e considerando assenza di un moto imperturbato ( ),

ρ u = 0

0

possiamo scrivere: 2

1 1

d(ρe) d (ρe) u u

0 0 02 0 0

≈ ·

(ρe ) ρ + ρ + ρ

t 0

2

dρ 2 dρ 2

0 0

Dal primo principio della termodinamica, considerando che stiamo considerando un usso che, come visto

in precedenza, ha entropia costante:

1 p 1

e

−

de = T ds pd dp

= dρ dh = T ds +

2

ρ ρ ρ

2 2

d (ρe) a

d(ρe)

⇒ ⇒

= h =

2

dρ dρ ρ

20

1 a 1 u u con

0 0 0 0 0 0

02 20

≈ ·

(ρe ) h ρ + ρ a = p /ρ

ρ +

t 0 0

2 ρ 2

0

Mediando la perturbazione sul periodo armonico (stiamo considerando soluzioni armoniche):

02

1 p 1 u u

0 0 0

·

(ρe ) = ... = + ρ 0

t 2 ρ a 2

0 0

Dove possiamo osservare due contributi: uno di energia potenziale e l'altro di energia cinetica, dovuti

entrambi al alle perturbazioni (pressione acustica e velocità).

Possono essere denite altre proprietà importanti nello studio delle onde:

ṁ u

"Densità di Flusso di Massa" → = ρ

1

ẇ u u u

"Densità di Flusso di Potenza" → ·

= ρ h + 2

Intensità d'Onda ẇ

" " 0

→ =

I p̂

Impedenza Acustica

" (specica)" → Z = = R + iX (R = ”Resistenza” e X = ”Reattanza”)

û −

R iX

"Ammittanza Acustica (specica)" → Y = 1/Z = 2 2

R + X

u

Per ussi onde lineari isentropiche in un uido fermo ( ), sviluppando le quantità sopra denite al