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Onde Piane

Mettiamoci in un sistema di riferimento cartesiano e cerchiamo una soluzione armonica all'equazione d'on-

u

da con . La soluzione dell'equazione di Helmholtz dipenderà dalle tre coordinate . Assumendo

x , x , x

0 1 2 3

che questa soluzione sia a variabili separabili, possiamo scrivere:

2 1

ω dX 1 dX 1 dX

x 1 2 3

2 2 2 2

→ − =

p̂( ) = X (x )X (x )X (x ) k = + + = k + k + k

1 1 2 2 3 3 1 2 3

2

a X dx X dx X dx

1 1 2 2 3 3

0 fronte d'onda

Possiamo dunque denire un vettore perpendicolare al , luogo dei punti dello spazio che ad

un certo istante hanno ugual fase; in questo modo la soluzione generale di onda piana (simile all'esempio

per onda lineare 1-D) diventa:

k e e e (" ")

Vettore d'Onda

= k + k + k

1 1 2 2 3 3

k x k x

x · −ωt) −i( ·

+i( +ωt)

p̃( , t) = Ae + Be

Le due soluzioni, di cui è composta quella generale, rappresentano onde piane che si propagano in

k k

direzione- e in direzione opposta a . Queste possono descrivere la situazione particolare in cui la

sorgente della perturbazione è molto lontana dal punto di osservazione. Notiamo inoltre che esse so-

no periodiche sia nel tempo che nelle coordinate spaziali, con periodo e lunghezza d'onda

T = 2π/ω

k

in direzione- .

λ = 2π/k = 2πa /ω

0

:

Esempio (Onda piana progressiva in direzione- )

x

1 p̃ 1

−ωt) −ωt)

+i(kx +i(kx

p̃ = Ae ρ̃ = = Ae

1 1

20 2

a a

0

Dall'equazione di piccole perturbazioni per il bilancio della quantità di moto, considerando una

propagazione con usso imperturbato fermo:

ũ 1 1

D 0 −ωt)

+i(kx

−∇p̃ ⇒

= u

˜ = Ae = Y p̃ = p̃

ρ 1

1

Dt ρ a Z

0 0

Come conseguenza, è possibile dimostrare che la soluzione presenta le seguenti proprietà:

L'impedenza specica è reale:

• Z = a ρ

0 0

Ugual contributo dell'energia di perturbazione cinetica e potenziale mediata sul periodo;

• 1

I e

Intensità d'onda uniforme in direzione- : 02

• x = p

1 1

ρ a

0 0

Onde Sferiche

Lo ricerca di una soluzione di onda sferica risulta molto utile per descrivere in prima approssimazione

casi di iniezione di massa (secondo una legge armonica) e di vibrazione di corpi investiti da un usso

(come per esempio le palette di un compressore). Quest'ultimo caso non viene di seguito trattato, ma

è possibile studiarlo considerando la sorgente come due puntiformi formanti un dipolo. Vedremo inoltre

che l'onda piana non è altro che un caso limite di onde di questo tipo.

Iniziamo con la solita ricerca di soluzioni armoniche dell'equazione di Helmholtz espressa in coordinate

u

sferiche per una sorgente di perturbazione puntiforme (monopolo), supponendo (ovviamente la

= 0

0 r

perturbazione per ragioni di simmetria dipenderà soltanto dalla distanza dalla sorgente, , il vettore

k e

d'onda risulterà radiale, ovvero , e i fronti d'onda saranno sfere):

= k r

2

∂ p̃

∂ p̃ 1 ∂ F (r)

1 2 iωt

←→

r e

= p̃ =

20 2 2

a ∂t r ∂r ∂r r

A B −i(kr+ωt)

i(kr−ωt)

⇒ p̃ = e + e

r r

N.B. A dierenza del caso d'onda piana, dove la soluzione era periodica sia nello spazio che nel

tempo, la soluzione d'onda sferica risulta NON periodica nelle coordinate spaziali poichè entra in gio-

co il termine 1/r. Essa è comunque periodica nel tempo e con periodo e lunghezza d'onda

T = 2π/ω

in direzione radiale.

λ = 2π/k = 2πa /ω

0 e

Consideriamo per esempio una perturbazione armonica sferica in direzione uscente ( ):

+ r

A p̃ A

+i(kr−ωt) +i(kr−ωt)

p̃ = e ρ̃ = = Ae

2 2

r a a

r

0 0

∂ A 1 1 1

D ∂ ũ

0 +i(kr−ωt)

−∇p̃ ⇒ − ⇒ −

= ρ = e ũ = ik p̃ = Y p̃ = p̃

ρ 0

Dt ∂t ∂r r iρ ω r Z

0

I

"Intensità della sorgente" û S

Def: ⇒ ·

Q̂ = d

S

N.B. Vediamo che l' , Y, e quindi anche l' , Z, acustica specica è un nume-

Ammittanza Impedenza

ro complesso e che dipende anche dalla distanza dalla sorgente. Nel caso in cui abbiamo che

→ ∞

r

(reale). Infatti all'innito la curvatura dei fronti d'onda risulta nulla e il fronte piano.

Z ρ a

0 0

N.B. L'intensità d'onda sferica è un vettore uniforme per ogni fronte d'onda sferico e diretto in senso

radiale, con modulo uguale al caso di onda piana. Ovvero:

1

I e

02

= p r

ρ a

0 0

consideriamo un'onda progressiva armonica:

(Dimostrazione) 1 1

I u con dove

T ∗ ∗ +iωt

R

0 0 }

= p = Re{p̃}Re{ũ dt Re{p̃} = (p̃ + p̃ ) p̃∗ = p̂ e

0

T 2

T T

(((

Z Z

1 1 1 1 1 1

I û û û û

((

∗ ∗ ∗

−2iωt ∗ ∗ ∗ ∗

+2iωt

(

⇒ }

= p̂û e + p̂ e dt + (p̂û + p̂ ) dt = (p̂û + p̂ ) = Re{p̂

((

(

(

T 4 T 4 4 2

(

(

(

0 0

(

( p̂

û e e

Essendo e per le proprietà dei numeri complessi ∗ 2

= û = p̂ p̂ = p̂

r r

Z 1

k

Ed essendo: + i

Y = 1/Z = ρ ω ρ ωr

0 0

1

I e

02

⇒ = p r

ρ a

0 0

Sorgenti d'Onda

Una sorgente acustica é un oggetto in grado di produrre potenza sonora. Ovvero qualunque corpo

vibrante, in grado di innescare perturbazioni ai valori di equilibrio di pressione, densità e velocità, e

generare fenomeni di compressione e dilatazione propaganti nel mezzo considerato. La presenza di una

sorgente fa si che le equazioni d'onda e di Helmholtz non siano più omogenee.

Una qualsiasi sorgente può essere approssimata come puntiforme se la dimensione che lo caratterizza è

minore della lunghezza d'onda . Inoltre, per distanze elevate dalla distribuzione volumetrica di

λ = 2π/k

sorgente, le onde si comporteranno in prima approssimazione come già accennato per monopoli d'onda,

cioè come onde piane. Questo perchè per distanze elevate la regione in cui è distribuita appare piccola

(in lontananza). Rimane quindi da studiare il comportamento delle onde in vicinanza della distribuzione

(dove non possiamo in alcun modo trascurarla). u

Ripartiamo dalle equazioni di perturbazione linearizzate con , considerando ora una

= 0 distribu-

0

x

( ) nella regione di spazio "R":

0

q̇( , t)

zione d'intensità di sorgente

0

 ∂ρ u

0

∇ · ←−

+ ρ = ρ q̇ la massa non si conserva

 0 0

 ∂t u

0

∂ 0 0

20

−∇p −a ∇ρ

ρ = =

 0

 ∂t equazioni

Con lo stesso procedimento di dierenzazione incrociata arriviamo alle più generiche

d'onda non omogenee : u

 0

W{ } −∇

= q̇

⇒ ρ ∂ q̇

0

0

W{ρ } = 2

 a ∂t

0

Dal momento che il usso è irrotazionale, possiamo scrivere:

u x u u

0 0 0 0

· ⇒ ∇φ

φ = φ + φ = + φ = =

0 0 0

2

1 ∂ φ 0

2

− ∇ φ = q̇

20 2

a ∂t

Supponiamo che la sorgente sia di tipo armonico, con periodo e distribuzione d'intensità di

T = 2π/ω

x x x

sorgente in R. L'ampiezza complessa del campo acustico potenziale, , generata

0 0 −iωt

q̃( , t) = q̂( )e φ̂( )

da soddisfa l'equazione di Helmholtz:

q̃ 2 2

∇ φ̂ + k φ = q̂

x x

Prendiamo in considerazione un punto appartenente a R, la quale intensità di sorgente è .

0 0

δ Q̂ = q̂( )dR

Questo punto può essere considerato come un monopolo, e il campo acustico potenziale può essere trovato

come sovrapposizione delle soluzioni per ogni punto di R. Dunque:

k 1 A ikr

lim û = lim + i p̂ = i e

2

ρ ω ρ ωr ρ ωr

r→0 r→0 0 0 0

I 4πA A δ Q̂

A ikr 2 ⇒

⇒ e r sin(ϑ)dϑdϕ = i i =

δ Q̂ = i 2

ρ ωr ρ ω ρ ω 4π

0 0 0

S −δ

δ Q̂ Q̂

ikr ikr

⇒ ⇒ −→

û = e δ φ̂ e

2

4πr 4πr ikr

e

1 x

x

Arriviamo alla soluzione per sovrapposizione: 0

R

⇒ q̂( )

φ̂( ) = dR

R

4π r

N.B. Nel limite in cui , possiamo scrivere la distribuzione d'intensità di sorgente come:

→ ∞

R x x x x

0 0

q̂( ) = Q̂( )δ( ) x x x x x

La funzione di distribuzione di Dirac presenta la proprietà: +∞ 0 0

R −

f ( )δ( ) d = f ( )

−∞

x x

Dunque, considerando che è denita solo all'interno della regione e che corrisponde a :

0

q̂( ) R dR d

x

0 ikr ikr

Q̂( ) e A e A ik 1

x û e ikr

− −i ⇒ −

φ̂( ) = e

= = r 2

4π r ωρ r iωρ r r

0 0

Ovvero ritroviamo la soluzione per sorgente puntiforme ( )

monopolo di sorgente

: ( )

Esempio Disco Oscillante

Consideriamo il disco oscillante in direzione secondo . La sorgente in questo caso è

−iωt

x ũ = U e

3 3

superciale, quindi l'integrale sarà esteso all'area delle due facce del disco, ed è:

(il fattore due tiene di conto delle due facce del disco)

−iωt

q̃ = 2U e ikr

1 e

R

⇒ −

φ̂ = 2U dS

S

4π r

Esprimendo il tutto in coordinate cilindriche (ricordiamo che, vedi gura, variabile muta, ovvero

r =

1

quella di integrazione, metro variabile di valutazione del campo acustico):

r =

1 2 2 2 23

− −

r = (x r sin ϕ) + (x r cos ϕ) + x

1 1 2 1

Posso data la simmetria cilindrica ruotare il sistema a piacimento nell'esprimere le coordinate di .

r

0

Dunque, dopo qualche semplicazione, nel limite di (ovvero lontano dal disco), possiamo arrivare

r >> R

0

alla seguente espressione: R π

ikr

−U Z Z

e 0 ikr sin ϑ sin ϕ

φ̂ r dr e dϕ

1

1 1

r

0 −π

0 funzione di Bessel

Possiamo dunque osservare che il campo acustico dipende della :

(vedi Appendice)

dove

π ikr sin ϑ sin ϕ

R e dϕ = 2πJ (z) z = kr sin ϑ

1 0 1

−π d

Dalle proprietà della funzione di Bessel sappiamo che: (zJ )

zJ =

0 1

dz

Dunque: R R

ikr ikr

−U −U

Z Z

e e 1 d

0 0

φ̂ = j (Z)r dr = (kr sin ϑJ r ) dr

1 1 1 1

0 1 1 2

2

r r dr

k r sin ϑ

0 0

0 0 1

 ∗

z = kR sin ϑ

ikr

U Re 0 

dove

∗ 2

⇒ −2π

φ̂ = J (z ) z z

1 4

≈ −

r k sin ϑ J (z) 1 + O(z )

0 1

 2 8

A questo punto il campo acustico (potenziale della velocità) è noto e mi denisce a cascata tutte le

û I u

altre proprietà, come , 0 0

p̂ , = p . . .

Generazione di Onde Per Eetto di:

Forze di Volume

Consideriamo delle forze di volume, denite diverse da zero all'interno di una regione limitata indicata

f x

con . Supponiamo che il uido imperturbato sia fermo ( ). Indicando con le forze di

0

R u = 0 ( , t)

0

volume, le equazioni di bilancio linearizzate diventano:

0

 ∂ρ u

0

∇ ·

+ ρ = 0

 0

 ∂t u

0

∂ f

0

−∇p

ρ = +

 0

 ∂t Equazione (

Quindi, sempre attraverso la dierenzazione incrociata, possiamo arrivare alla non

) dell'onda

:

omogenea 0

2

1 ∂ p f

0 0

2

∇ − ∇ ·

= p

20 2

a ∂t

f

dove, essendo denita non nulla soltanto all'interno della regione , la dierenzazione può essere fatta

R

x

rispetto alle coordinate '. Ovvero: ∂

f f e

0

∇ · ∇ ·

= = i 0

∂x

i

Equazioni non omogenee saranno anche quelle per la densità e per la velocità di perturbazione. In pratica

abbiamo: f

1 ∂

f f u

; ;

0 0 0 0 0

W{p } −∇ · W{ρ } −∇ · W{ }

= = = 20

ρ a ∂t

0 f̃ f̂ x

Supponendo una distribuzione di forze (per unità di volume) di tipo armonico, ovvero ,

0 −iωt

= ( )e

x

la pressione, in particolare l'ampiezza complessa , generata della distribuzione di forze, soddisfa

p̂( )

l'equazione di Helmholtz: f

0

2 2

∇ ∇ ·

p̂ + k p̂ =

E, in analogia al problema con sorgente d'onda distribuita, possiamo scrivere:

ikr

Z e

1 f̂ x

x 0 0

∇ ·

− ( ) dR

p̂( ) = 4π r

R

Risolvendo l'integrale per parti (utilizzando anche il teorema della divergenza, con forze nulle sul

bordo per ragioni di continuità), otteniamo: ikr

1 e

x f̂ x

0 0

R

− · ∇

p̂( ) = ( ) dR

R

4π r

Produzione di Calore Distribuito

Stesso identico procedimento delle pagine precedenti, soltanto che adesso dobbiamo aggiungere anche

l'equazione di bilancio energetico in forma linearizzata considerando le temperature perturbate (

T =

x

) e un rilascio di calore sviluppato per unità di volume . L'equazione di

0 0 0

T + T Q̇( , t) = Q̇ + Q̇

0 0

continuità e di bilancio della quantità di moto sono identiche al caso omogeneo. L'equazione aggiuntiva,

ricordandosi le ipotesi fatte in precedenza (gas caloricamente perfetto, isentropico e assenza di forze di

volume), risulta: 0 0

Dh ∂p ∂T ∂p

t 0

ρ = + Q̇ ρ c = + Q̇

0 p

Dt ∂t ∂t ∂t

N.B. l'isentropia equivale a considerare un uido non viscoso e che non scambia calore con l'esterno

q̂ 0

(ovvero ). L'adiabaticità non comprende il termine .

= Q̇

Equazione ( ) dell'onda

Inne possiamo arrivare ancora a un' :

non omogenea

0

− ∂ Q̂

γ 1

0

W{p } = 20

a ∂t

N.B. Di solito nelle camere di combustione , dunque l'equazione si semplica notevolmente

0 0

Q̂ p

in quanto torna ad essere omogenea.

Ancora, supponendo un rilascio di calore di tipo armonico, è possibile dimostrare che:

ikr

− Z

γ 1 e

x x

ˆ 0

p̂( ) = iω Q̇( ) dR

20

a r

R

Acustica in Cavità Rettangolare

u

Consideriamo un contenitore prismatico con e pareti rigide (ciò impone alla velocità di rimanere

= 0

0

nulla alle pareti, condizione al bordo che utilizzeremo di seguito). Supponiamo un campo acustico interno

di tipo armonico: la cui ampiezza complessa soddisfa l'equazione di Helmholtz.

−iωt

φ̃ = φ̂e

Supponiamo che sia possibile separare le variabili:

2 1 dX 1 dX 1 dX

ω 1 2 3

2 2 2

−k − −

⇒ − = k k = + +

φ̂ = X (x )X (x )X (x )

1 1 2 2 3 3 1 2 3

20

a X dx X dx X dx

1 1 2 2 3 3

Y Y

⇒ φ̂ = X = A cos k x + B sin k x

j j j j j j j

j j ∂ φ̂ ∂ φ̂

Introduciamo dunque le condizioni al bordo Non compenetrabilità

→ → | |

= = 0

x =0 x =L

j j j

∂x ∂x

j j

 dX

j ⇒

(0) = 0 B = 0

 j

 dx

 j

dX

j ⇒ −A ∀A →

(L ) = 0 sin k L = 0 sin k L = 0

 j j j j j l j

 dx

 j


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria aerospaziale
SSD:
Università: Pisa - Unipi
A.A.: 2018-2019

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher gabriele_unipi di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Thermal Fluid Science e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Pisa - Unipi o del prof D'Agostino Luca.

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