6 Limiti di funzioni

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V'Efai lfCxE s e078 t.c.ttIII o xo xo leIggyV'E etxt07820fai teE xoXofigo V'E lk8078l lfCxxot8t.c.ttfix ofino xose sasicome minOss!: il valore dei limiti line line di ècondizioneLa sx verificatonon semprechesuccederepoiana puòline fui1 f te III axò yIII ao Inline7 viceversaline3 fax fix ema XÒXoAsintoti alleEssi siJ rette qualisono genuinauna appoggiamai toccarla fette 00senza alltangenti a gAsintoti verticali: genio MeAsintoti orizzontali: lt.IRyffffofktAsintoti obliqui: dcp.ir di0 FGasintotosiaiaffinchéÈ Pgp 0mentrefar ti 9y.mxI 91 oMexfpd r TI V x.CNo meno91ly.mx fg Oline aux0 0y.mx g9 00èconcentrandosi sono maq però edZelo costantetogliereposso limitedalil escemodulofai devo trovaredunqueMx meq 7 visto nextcomeI a 1Ieine netoo dunque ilPel discorso001 em line analogoaoDe nizioni: condizioni necessarie e su cienti per avere un asintoto obliquoabbia aasintoto 00ne obliquopeecleeif.CN line3 fin1 too nufine qtoo2

line rm 9nextyme00Oss!: f(x) possiede un solo un asintoto “alla volta”se obliquoFG alloraamate asintotone perorittontoleannettere toosueunonon può prepreFunzioni Monotone: 7,7b manatf Riai cresce fregdoezq.memanatIR crescef 00a 00successioni inaudania dicanne nelle la sinonimoeLe siCONVERGENZA canguririvolganoproprietà a genuiniTeorema: combinazione lineareline line XXfXga come MERleggipegniXo XoIn se fai fine gg cavarmiefineparticolare g g0000 percon gXfline ai lega tag00Teorema: prodottoline ftp.glxf divisioneffyflxi live.gg Canone xXo oIn se fai fine gg cavarmiefineparticolare g g0000con perglive getfa pg00Oss!: le potenze FEDse fai ffigofigo g caverneTeorema: reciproca 1 l'eallorasia gfiglifa caverete faifinoTeorema: quoziente figli elineal seprodotto sonoAnalogamente gh'lingusio canguriXoFunzioni continue: inne è Ecantinaf b DlaUna xafinzione limiteline sostituzionefaxof equando Xo lX I elceHE 78 xolc8o Caibt.atOssia Go Iffhsove ZUEGG FG

Eo generalmente

Funzione continua da destra o sinistra:

Non cantinefenianiletutte losono possonomataleTraniessere a che faodestra di linecontinua daè seXo fafax xòdisinistrada finè continua finf seXo Èn'intendo bè continua seasu fighi filofao YOss!: se una funzione f è continua in un punto x O fuEAllora Idata fedeè in 0vero Xche se oconvergeè inè continuachenon vero Xosottolineato continuitàcheDuque va convergenzaramicio 1clive fu 2Nonostante neicantinaxòTeorema: continuità in un intervallo (a;b) contenente x E completainbUna inf continua Dtoccamefeniana edi putose faofu gattoFunzione di Dirichlet: aSano 2 orizzontali sbiaditerette edi isolati larianedifatte puri anninonDe nizione successionale di funzione continua lainin DcantinaData Eb Xof ca la lineDe aut fixHans Xo flankfigo Xoflan fCxdflfi.Y.comOss!: applicazione di quanto detto Èelettoè aIIa èline 100 teorema

incanniamenteQuesto viene sempre applicato

Teorema: Composizioni di funzioni continue inCcsia E DladD cantinaaf R insia canina taffiodci yg continuab IRAllora fog èa feofuiDini se alloracontinuapoiHan flanXo feo lele 00tooper percontinuaè allorase glyog ftp.glytCanHbv ftp.lpeenn stopeeryo gsxo denqvettauOOsxopeeu s flanfeo toounflan 00 perper ygigligiglioglycan faxggoffoflang inpercio cantinabaifg

Teorema: Funzioni continue invertibili

Siano RdiI sottoinsiemidueJeI incetibileossia siaJf continuaÈAllora J si continuaè ERDimostrazione IJT èIf incetibilecontinuaessendo monotonae strettamenteline fapuo xV ED f 5 fseX2 X2 Xift incribilecantinasicuramente edJ èSI amavia delleperft .flxoififCxo .ttxiXzED ftp 5 fakese X2Oss!: la continuità e l’invertibilità danno la monotonia, e non viceversaIincetibile incetibileèsolo f marenafa monotonaRioE cantinaèfµcontinuasolo èma nonmandanoxefu è

luxinvertibileCantina èFG caudicianil'inceribilitàla anniunità dettesonoon'e da soleveleno permia laman sufficienti se presemonotoniaDe nizione: Punti di discontinuità discontinuità inma dipuriane nepresenta pento7840quando di IfI saltopadin quandospeciepresentaline linelef xòxòx ftp.fkstIn il 1ftode fusalto Acasoquesto 198ÈLI Òsai ggRifesempio Olive.pklsalto IffyD fG sfcxs.fi oIdiI f quandospecieun paiopresentaline FG 00 Iffhs 00epòRitaf ggesempio line 00ICHoII eliminabiledi tef un quandopaio speciepresenta fuit74 puoiIII linfa 0ÈINfinito f HotEsempio o s line fuk OEliminabile fly può essere openne 1coenzimaresae pentocorretta oggiagendo 10 7LÌ cantinafai gLimiti notevoli:SI DF CI1 o 00ce a u itafio Edimostra inliane Hp rodangelo piccoloab senop AD radiantiarcoA'd tonoi etanoTU senoD O0Ee ABEFB ABEche costavaaffermarepossiamo pertonosenoricavoattraverso Hp E allainoltre octane0

asma è 0 peocio Fao FaotuttoDivido trovo OCSEseno Epel e HOAnalizzano limitii 0chescopro piccoloil goriscrivere limite stesso pelooposa 0 1lineclineE1line seno cosaOtOtOtfeniana 1aconvergente1E 1line feat ilata koduque perdel confrontoZoefasese µ limite eranostroincisoa ma sappiamoline iline 1 limiti dicue freelanceothera suo1 rispettanoo cangurile algebricheoperationSelexEline line 1percio XÒ atSelexOss!: per dimostrare anche lo 0 si procede nello stesso modo1Selex eaux line 1line2 conoo 1la coscosa 1 cosa1 cosa lineline3 line X2cosala 1 cosa0oo 1 1E1senza I I Eline X2 Casal0 aelnHEI1tff zoeilnHI ln4 fi fIao t1efpencio.fi et perciòepongo lucetti luce5 line 1 IX tponendoo èallora 1xè 1 ho cambiato solamentepoichévariabililine6 notevoledal limite1 leX sopraoOss!: varianti dei logaritmi ed esponenzialilive.logbh N.log.ee5 b 1cone O Xa6 1 luca1 Oline acanx o 1Xxi5 6 line Letocono è 1 1Seung èline line7 line LxLx o eo

O 11 tranne Seung 18 line line e comeoo Limiti notevoli e relazione di equivalenza asintotica: Perciofly gg 1xoxoper figosenti1 line Possiamo dire1 che sueXo le allfonditaleline tale12 n asintottuttesonoo la oper1 cos È1line la13 sembrerebberofcosa 2o approssineabilialla lettalorol 1line E5 1 1 pienotangenteo lncx.itline 16 lei naXo Relazione di “o-piccolo”: relaciane indicaread Questa f infinitesimaserve una De nizione: relazione di o-piccologgfai ofiquandoo per Duque ok OH1 Io1 1 se Menoo o 1 okokdo 1 o Ok GmtOgm1gg gg0 o mok okgggg ggotoo tolgaCN D gfxig.CNg oo Olga FGoff ggo Dimostro FG8line flxi.gg 1o 1 seogas gg Teorema: equivalenza asintotica e relazione o-piccolo8Cse allora linegg 1fa Oguline eDino 1Hp 1FG 0ggnper inriscritta modol'ca asintotica viene precisoDunque Gfu 1gg èFG gg precisag nonoè