Analisi Matematica 1 (6/6)

μ(x) = e^-1/2x2 - δ(x)

μ'(x) = δ'(x) e^{-1/2 x2} + δ(x) . e^{-1/2 x2} . x x

μ(x) = δ(1(x)) e^{-1/2 x2} - x δ(x)

δ'(x)e^{1/2 x2} - x δ(x)

δ(x) e^{1/2 x2} = 0

δ'(x) = ¹/_{e^{-1/2 x2}}

δ'(x) = log_e ¹/₂ x²

δ(x) = ∫ log_e ¹/₂ x² dx - ∫ log ₁/₂ x² - ¹/₂ ∫ log x² dx

∫ log x² dx

f(x) = log x²

f'(x) = ¹/_x

∫ g'(x) dx = 1

g(x) = x

x log x² - ∫ ¹/_x² ⋅ 2x ⋅ x dx

x log x² = ∫ ^2x/_x² dx

x log x² - 2 ∫ 1 dx = b

x log x² - 2x + C

δ(x) = -¹/₂ (x log x² - 2x) - ∫

ℇ(x) = -¹/₂ x log x² ⋅ x

y(x) = y₀ + ln(x) = c ⋅ e^{-₁/2 x2} - ¹/₂ x log x² + x

{ y¹ ⋅ y = x

y(1) = 0

y = dy/dx

dy/dx - y = 0

dy/dx = y = 0

∫ ¹/_y dy = ∫ dx

log |y| = x + c Obligato

y = e^x+c

y = e^x e^c

V₀ = c⋅e^x

y'(x) x² = 2 - 7

y(x) - 2x

y(x) - 2x = x² - 1

x² - 1

y'(x) =

1

x² - 1

y(x) = ∫

1

x² - 1

dx

y(x) =

1

2

log |x + 1| +

1

2

log |x - 1|

y(x) + y_o + M(x) =

C - x² + 1 +

1

2

log |x + 1| +

1

2

log |x - 1|

y(0) = e

C = 0

y =

1

2

log |x + 1| +

1

2

log |x - 1|

Grafico Funzione

y = x^e1/x

A.O. |y = x + 1

• f(x) positiva verso negativa na x = 0
• x = 1 è p.to di massimo locale
• f(x) crescente per 0 < x < 1
• f(x) decrescente per x > 1
• x < 0
• x⁰ elevato

b) Derivata prima: f(x)=x-e^1/ln(x)

f'(x) = 1 - e^1/ln(x) + x * e^1/ln(x) * ( -1/x * 1/(x ln(x)²) )

f'(x) = e^1/ln(x) - e^1/ln(x) / (x ln(x)²) = e^1/ln(x) (ln(x) - 1 - ln(x))

f'(x) = e^1/ln(x) (ln(x) - 1) / (x ln(x)²)

Segno derivata

ln(x)² - 1 ≥ 0 ⇒ ln(x)² ≥ 1 ⇒

ln(x) = ±1

ln(x) ≤ -1

ln(x) ≥ 1 ⇒ x ≥ e

Funzione cresce in e^-1 ≤ x ≤ e

decresce in x ≤ e^-1

e ln(x) ≥ e

Assegnate