(2/7) Fondamenti di geotecnica: . Modellazione del comportamento meccanico del terreno

MODELLAZ DEL COMP. MECCANICO DEL TERRENO

Elementi di meccanica del continuo x mezzi plurifase

Non posso studiare il terreno come insieme di particelle

MECCANICA DEL CONTINUO

• TERRENO COME CONTINUO DEF. Q + FASI
• 2 CONTINUI SOVRAPPOSTI:
• SCHETERO SOLIDO (CONTINUO SOLIDO)
• FLUIDI INTERST. (CONTINUO FLUIDO)

TENSIONE in un CONTINUO

tn = lim Δf/Δa = lim Δfn/Δa = lim Δft/Δa

TENSORE OVIQ TENSIONE

T={tᵢⱼ}=[ σₓ τₓᵧ τₓ sym. σᵧ τᵧ σ ]

PROPRIETA’tᵢⱼ = tⱼᵢ (SIMM. TENS.)

CONVENZ. SEGNICOMPR. +

(σ -σₙ sym. 0) sym. σₙ (σ -σₙ) (σ -σₙ)

COMP. ISOTROPA(⟨= in tutt le alt re.)

SPORZO ISOTROPOCAMBIA VOLUME(no forma)

COMP. DEVIATORICA(⟨ = tutto cio' che dev i. da uno soli s isotropo)

SFORZO DEVIATORICOCAMBIA FORMA

MODELLAZ del COMP. MECCANICO del TERRENO

Elementi di meccanica del continuo x mezzi plurifase

• Non posso studiare il terreno come insieme di particelle

TERRRENO come CONTINUO DEF. q + FASI

1. 2 CONTINUI SOVRAPPOSTI:
   • SCHEDERTO SOLIDO (CONTINUO SOLIDO)
   • FLUIDI INTERST. (CONTINUO FLUIDO)

TENSIONE in un CONTINUO

^dF/_dA tn = ^{lim dF}/_{dA→0 dA}

^{lim dF_n}/_{dA→0 dA} ^{lim dF_t}/_{dA→0 dA}

TENSORE OVI IQ TENSIONE

= {}_i = σ_x τ_x τ_x sym. σ τ σ

• PROPRIETA’
• _i = _i (SIMM. TENS)
• CONVENZ. SEGNI COMPRESS.
• + COMPR.

COMP. ISOTROPA (E = in tutte tli altre?) SFORZO ISOTROPO

COMP. DEVIATORICA (E=tutto ciò che devi da una sola isotropico) SFORZO DEVIATORICO

Poiché il tensore della tens e' sym:

INVARIANTI DELLO STATO DI SFORZO

• I₁ = ∇x + ∇y + ∇z (somma + temini diag. principali)
• I₂ = ∇x∇y + ∇y∇z + ∇y∇z - (∇xy² + ∇xz² + ∇yz²) (somma mi.n a.c.s)
• I₃ = det T

STATO DI TENS. ASSIALE SIMMETRICO

σ_assiale σ_radiale

• PROVINO CILINDRICO
• σ_assiale (lun. asse di sym)
• σ_radiali (fr. = tutte le direz.)

mi fornisce DIREZ. PRINCIPALI

ho 3 altrez. ma 2 elementi 2

INVARIANTI SOLS

2 INVARIANTI

• INVARIANTE ISOTROPO

  p = ∇a + 2∇r3

• POSIZIONE (cerchio di Mohr (asc. da orig.ne)
• DIAMETRO (cerchio di Mohr
• INVARIANTE DEVIATORICO

  q = ∇a - ∇r

PERCORSI DI CARICO

Importanti perché ti TENGONO IN un comp plastico

σ_a

Piano P:9^⁷ piano degli invariant

Curve nel piano 3; percorsi di carico

Ogni punto rappresenta uno stato di sollecitazione

Cerchi di Mohr

Rappr. la variaz. dello sforz. in 1 p.to al variare della giacitura del pianto

Stato di tens. piano

Stato di tens. assial symm. τ=0

Stato di tens. tridimens.

Principio delle tensioni efficaci - Terzaghi

Le tens. in ogni p.to di una sez. di una massa di terra, possono essere calcolate dalle tens. princ. totali σ1, σ1, che agiscono in quel p.to

Tens. eff. agente sulo ss.

Tens. totali (σs ÷ τ1)

Tens. princ. agente su h2o

≠ esclusiva fase solida (h2o non subisce sforzi di taglio)

Legge sperimentale

Tutti gli effetti misurabili di una variaz. dello stato di tensione (compr. distors. variaz. di res. a taglio) sono dovuti esclusivamente a variaz. delle tens. efficaci.

Validità

• Sr ≈ 1
• Solis non molto elevato

DEFORMAZIONE in un CONTINUO

{Eᵢⱼ} -

_^sym

ɣ = _Δx/ ⁿ

DEF. ASSIALI

Ẽx = _∂u/ ^∂x

Ẽy = _∂v/ ^∂y

Ẽz = _∂w/ ^∂z

γxy = _∂u/ ^∂y + _∂v/ ^∂x

γxz = _∂u/ ^∂z + _∂w/ ^∂x

γyz = _∂v/ ^∂z + _∂w/ ^∂y

x Condiz. Sym radiale

Er = _-ΔV/ ⁱ

Eγ = _ΔD/ ^Δb

ɛv = Ea+2Er

[ ɛv = _{+ ΔV}/ ^Vo ]

TENSIONI LITOSTATICHE

• sono le TENS. presenti nel terreno a causa del PESO PROPRIO.
• importanti perchè costituiscono il punto di partenza ad ogni prob. geotecnico

COMP ELASTICO

• LINEARE

COMP PLASTICO

• NON LINEARE

TERRENO COMP. NON LINEARE (mi interessa quindi la posiz. iniziale!)

EQUILIBRIO in 3D → PROBLEMA IPERSTATICO

(8 eq. 6 incognite)

no cngrt no leg.const hp semplificative

• PIANO di CAMPAGNA ORIZZONTALE e INFINITAMENTE ESTESO
• MEZZO OMOGENEO STRATIFICATO ORIZZONTALMENTE

Qualsiasi piano vert. è un piano di sym la sup. del terreno è orizz. quindi PIANO ORIZZ. = PIANO PRINC.

↳ sym radiale

p = 0

EQ. di EQUILIBRIO

∂σ_x/∂x + ∂τ_xy/∂y + ∂τ_zx/∂z = 0

∂τ_xy/∂x + ∂σ_y/∂y + ∂τ_zy/∂z = 0

∂τ_zx/∂x + ∂τ_zy/∂y + ∂σ_z/∂z = 0

NO FORZE ORIZZ.

• x → 0
• y → 0
• z → 0

solo forza z dovuta al peso proprio

z = -γ

x la sym radiale ∇σ_x = ∇σ_y ∇τ_h

∇σ_z = ∇σ_v

∂σ_x/∂y = 0

∂σ_y/∂y = 0

∂σ_z/∂z = γ

∂∇τ_h/∂r = 0

∂∇σ_v/∂z = -γ

TENS. LITOST. TOT . e EFF. / ORIZZ . e VERT.

• TENS. VERT. TOTALE

σv = δ z

PESO

PROFONDITÀ

• TENS. VERT. EFF.

σ'v = σv - u

TENS. H2O

u = δw zw

PESO H2O 10 KN/m³

PROFONDITÀ

• TENS. ORIZZ. EFF.

σ'h = ko σ'v

COEFF. DI SPINTA IN QUIETE

solitamente 0 < ko < 1

ko = λ μ / 1 - μ

• TENS. ORIZZ. TOTALE

σh = σ'h + u

ACQUA: CARICO IDRAULICO

QUOTA PIEZOMETRICA

C. H2O

h = ζ + u / δw + v² / 2g

CARICO IDRAULICO TOTALE H2O

ENERGIA TOTALE POSSEDUTA DA UNA PARTICELLA D'ACQUA

ALTEZZA GEOMETRICA (ENERGIA DI POSIZIONE) ALTEZZA PIEZOMETRICA (ENERGIA DI PRESSIONE) ALTEZZA CINETICA (ENERGIA DI VELOCITÀ)

H2O FERMA

v² / 2g = 0

PELO LIBERO H2O

H2O FERMA ⇨ h = cost

ζ

CREA CON l'ALTEZZA

ζ (max su H)

u / δw

CREA CON LA PROFONDITÀ

u / δw (max su FONDO)

COMPORTAMENTO H₂O

TENS. SUPERFICIALE

• membrana tirata sulla sup. H₂O
• H₂O aderisce alle pareti creando un menisco curva
• e in equilibrio se Pa > u

CAPILLARITÀ

• (risalita H₂O nei tubi)
• se tubo sottile → H₂O sale di + (aumenta curvatura menisco)

SE IL TERRENO NON È SATURO (Sr ≠ 1)

• SOPRA IL    u < 0
• Noi la prendiamo =0 x sicurezza

ESEMPI APPLICATIVI TENS. EFFICACI

- ES. CAFFÈ

• SOTTONUTO
• u < Pa
• ∇ = γ - u
• u < γ
• ∇ > 0
• È DURO

• NON SOTT.
• u = Pa
• ∇ = γ - u
• u = Pa
• ∇ = 0
• È MOLLE

NO VARIAZ. STRUTTURA SOLO VARIAZ. ∇'

- ES. SABBIA

• ASCIUTTA
• ∇: Pa - u
• u = Pa
• ∇ = 0

• UMIDA
• ∇: Pa - u
• u < Pa
• ∇ > 0

• PAPPA
• ∇: u - u = 0
• u = 0
• ∇ = 0

(*) SABBIA Sr ≅ 1

PH₂O < Pa

TENSION H₂O I GRANI CHE FANNO STARE INSIEME LA PALLINA

Modelli costitutivi e condizioni limite

Legami costitutivi elementari

1. Legame elastico

   • Reversibilità spost.
   • Immagazzin. energia
   • Biunivocità funzione

2. Legame plastico

   • Ireversibilità spost.
   • Dissipazione energia
   • No biunivocità funz.

   Incrudimento nulla

   Incrudimento positivo

   Incrudimento negativo

3. Legame viscoso

   • Irevers. transf.
   • Dissipazione energia
   • No biunivocità funz.

   Tempo rilas. F-S

   S è una velocità

Mezzo Elastico (uninistr. & omog.)

Legge di Hooke Semplicata:

• σ_a = E ε_a

• ε_r = -ν ε_a

• τ_xy = G γ_xy

Legame Tenso-Def: ε

Modulo di Young

Modulo di Poisson

Modulo di Rigidezza (Taglio)

G = ^E/_{2(1 + ν)}

Ollinpelde da E e ν

ε_x = ¹/_E [(σ_x - ν) (σ_y + σ_z)]

ε_y = ¹/_E [(σ_y - ν) (σ_x + σ_z)]

ε_z = ¹/_E [(σ_z - ν) (σ_x + σ_y)]

Δε_σ = ¹/_E [(Δσ_a - 2Δσ_r)]

Δε_r = ¹/_E [(Δσ_r - ν) (Δσ_a + Δσ_σ)]

Δε_v = Δε_σ + 2Δε_r

Legge di Hooke x sym rad.

ε_a ⟶ 특정

ε_r ⟶ 특정

ε_v = ε_q + 2 ε_r

oppure

ε_v = ^p'/_k con k = ^E/_{3(1 - 2ν)}

MEZZO PLASTICO

La funz. f(F): F=F* se f=0 resta immutata all'accumularsi delle def. o degli spost. plastici

Ho scorrimento se F=F*

CONDIZ. ROTTURA TERRENO:

> rottura quando lungo una sup. c'è lo scorrimento e si possono ottenere spost. grandi a piacere

CRITERIO DI RESISTENZA DI MOHR - COULOMB

_max=C+tgφ

COMPONENTE COESIVA COMPONENTE ATTRITIA

S.S. pl=c'+tgφ'

P_l=Cu+tgφu

Per il TERRENO HA UN COMP. ELASTO - PLASTICO VISCOUS

< COMP. ELASTICO x piccoli valori dei coef. COMP. PLASTICO vicino a rottura

TERRENI A GRANA GROSSA E GRANA FINE,

CONDIZ. DI BREVE E LUNGO TERMINE

CONDIZ. DRENATE E NON DRENATE...

C.N.D. Sr = 1 C.D.

• ΔV = 0
• ΔU ≠ 0
• MAX INTERAZ. S.S. & F.I.

Δσ'_T = Δσ_T - Δu

→ TERRENO NEL SUO COMP., USO σ TOTALI (terreni G.F.)

• ΔV ≠ 0
• ΔU = 0
• NO INTERAZ. S.S. & F.I.

Δσ' = Δσ

→ S.S. UNICO PROTAG. USO σ EFFICACI (terreni G.G.)

B.T. Il carico non ha ancora causato movim. H2O → C.N.D.

L.T. Tutto il carico è nello S.S. e H2O è tornata in equilibrio → C.D.