Riassunto esame Fondamenti di Geotecnica, prof. Desideri, libro consigliato Lezioni di meccanica delle terre, A. Burghignoli: modellazione del comportamento meccanico del terreno

2. Modellazione del Comportamento Meccanico del Terreno

2.1 Elementi di Meccanica del Continuo

Meccanica Particolare: Per studiare il comportamento di un terreno devo suddividerlo e compor-tamentarlo di un tot di particelle e risolvere complessivamente l'equazione dell'equilibrio che le particelle subiscono singolarmente.

Meccanica del Continuo: Ho il comportamento di un corpo particella-re approssimato a quello di un mezzo ideale continuo (quello che si trova in natura), dimettendo che un elemento infinitesimo abbia le stesse proprietà del corpo nel suo insieme.

Terenno = Mezzo a più fasi: solido+liquido=mezzo saturo ogni fase ha comportamento diverso

Per usare la Mec-cani-ca del Con-tinuo si lavora appacchio:

1) Unioni di 2 continui: sopportano insieme lo stato di sforzo

• Granutis
• Pat Pieni d'acqua

Contini legati da Compatibilità Volumetrica - si considerano particelle solide incomprimibili (Vs=cost) → pio conliquide le foma va nei volume → gli elemento viene compressa, si riducono gli spazi intra-citifiali: riduzione volume possibile solo se vi è concorso di acqua. (N.B. V = VuVsR) ΔV = ΔN la variazione del volume va per acqua fa variare il volume del stesso elemento si sposa a parte

Continua solido

• tetuiari e deformataci

Continuo fluido

• [pressurie] uguale in tutte le direzioni, tenzioni hariappa

CONTINUO UNICO

approccio possibile solo in caso di assenza costituente acqua per poter definire le proprietà attraverso le due fasi: liquida e solida

Tenere nel suo complesso come continuo (fluido + deformabile)

Principio delle Tensioni Efficaci (Terzaghi) dal arrivo al semi-saturazione

STATO DI SFORZO

Un corpo è in equilibrio se soggetto a forze esterne, se sono soddisfatte le equazioni della statica (per ogni elemento infinitesimo del continuo)

• si prende punto P del corpo
• si separa il corpo in due parti
• ciascuna parte è in equilibrio

TENSIONI

Interne forze che i corpi risultano si scambiano restituendo l'equilibrio fra le due parti

Si isola l'area SA dove esistono e considerare la risultante delle forze agenti su SA assumendo SA infinitesima e braccio forze → un momento solo risultante forze dF

Tensione = dF/dA

dF può essere scomposta in due componenti

• Tensione Normale → lim _dA->0 Tensione_n = dFn/dA
• Tensione Tangeniale → lim _dA->0 Tensione_t = dFt/dA

Cerchio di Mohr

Rappresenta tutti i possibili stati di tensione di un punto per ognuna delle infinite giaciture che può avere.

Stati di Sforzo Piani

Se conosciamo gli stati di tensione di 2 piani coordinati posso conoscere lo stato di tensione di qualsiasi piano.

• (σ_x, σ_y, τ_xy)
• O (σ_x, σ_y)
• V (σ_x, -τ_xy)
• Ogni giacitura ha un θ
• Il CERCHIO DI MOHR è luogo dei punti (σ’; τ’_xy)
• Dati O e V è possibile tracciare il cerchio

Tra cerchio A e B varia il centro → CAMBIA COMPONENTE ISOTROPA (σ_m = (σ_x + σ_y) / 2)

La circonferenza del cerchio (raggio) è → COMPONENTE DEVIATORICA magg. r = magg. Δτ = Grande Deformazione

Tensioni Principali

Individuate piani principali f tra loro con 0 τ

B_A(σ₃, σ_m, σ₄)

Eq. Circonferenza

σ²_m− (σ_x+σ_y/2)² + τ²_nm= (σ_y−σ_y/2)² + τ²_xy

Successivi stati di sforzo

↑10 kPa ← aumenta componente isotropa

σ₄ ≡ σ₃

→ si lavora cerchi- se gueri

→ stato di sforzo isotropo rappresentato da un punto → lo circonfermi

→ C((10+10)/2 ; 0) = (10 ; 0)

r = [((10+10)/2)]² + 0 = 0

Deformazioni Assiali

Omotetia

È necessario osservare se la funzione spostamento u è costante o varia per vedere la deformazione lungo x.

Perché si abbia una deformazione i punti dell'asta devono spostarsi di una quantità diversa dal primo punto.

Deformazione assiale in direzione x → _Exx = ∂u/∂x

Traslazione rigida → u = u₀ = cost

Deformazione assiale in direzione y → _Eyy = ∂v/∂y

Deformazione assiale in direzione z → _Ezz = ∂w/∂z

Distorsioni Angolari

Rotazioni Rigide

u spostamento dir x u = ry (+)

v spostamento dir y v = -ry (-)

Rotazione Rigida → ∂u/∂y + ∂v/∂x = r + (-r) = 0

Se la distorsione angolare è zero, le componenti u e v della rotazione rigida si cumulano e restano solo la distorsione angolare, cioè la variazione degli angoli sul piano xy.

Eq. Indefinite di Equilibrio

∂σ_x / ∂x + ∂τ_xy / ∂y + ∂τ_xz / ∂z + X = 0

• Direzione x: ∂σ_x / ∂x + ∂τ_xy / ∂y + ∂τ_xz / ∂z + X = 0
• Direzione y: ∂τ_xy / ∂x + ∂σ_y / ∂y + ∂τ_yz / ∂z + Y = 0
• Direzione z: ∂τ_xz / ∂x + ∂τ_yz / ∂y + ∂σ_z / ∂z + Z = 0

→ 3 Equazioni in 6 incognite → PROBLEMA IPERSTATICO

→ EQ. INDEFINITE EQUILIBRIO

→ La distribuzione dello stato di sforzo NON è univoca, essa dipende dal comportamento del materiale.

→ È necessario fare delle semplificazioni geometriche per rendere il sistema isostatico e per trovare le posizioni ellissoidiche.

HP 1. PIANO DI CAMPAGNA INFINITAMENTE ESTESO

→ Sviluppo continuo del superficie piano

HP 2. MEZZO OMOGENEO O STRATIFICATO

β = Cost.

Il piano naturale può risultare pure come costituito da strati infinitamente sottili: β₁, β₂, β₃

HP. 1

• Continuo solido - semispazio delimitato da una superficie orizzontale → PIANO PRINCIPALE
• Si può variare perché ÷ infiniti strati infinitamente estesi → ogni asse verticale = ASSE DI SIMMETRIA
• Semplificazione stato di sforzo
• Conclusione di ASSIAL SIMMETRIA SEMPLIFICATA su questi assi non ci sono τ_xy, τ_yz
• DIREZIONE PRINCIPALE DELLO STATO DI SFORZO
• Il piano verticale o orizzontale = PIANO PRINCIPALE

→ direzione orizzontale e direzione principale

Frangia Capillare

acqua ha tensione superficiale → strato di separazione tra acqua e altro fluido (aria) → si comporta come una membrana tesa

• Adesione Superficiale
• Angolo di contatto (varia a seconda del materiale)

Menisco: se il tubo è sottile si crea una separazione tra aria-acqua → equivalente a membrana. Curvatura in prossimità tubo.

Acqua sta ferma se Patm > u equilibrio

Menisco fermo se u e Ts stanno equilibrio

Patm dove equilibrio u e Ts

Risalita Capillare

acqua e fermo

ϕA = ϕA'

SA' > SA

Δe e A devono avere stesso contenuto energetico

PA < PA = Patm

• tubo piccolo
• menisco curvo
• Ts verticale

Granuli tenero → ogni variazione dello stato di tensione è dovuta alla variazione delle tensioni efficaci