11 Vettori e Tabelle

Proprietà del prodotto scalare

1) La forma bilineare: dati due vettori X e Y, il prodotto scalare è una forma bilineare.

2) La forma simmetrica: il prodotto scalare è simmetrico.

3) La forma definita positiva: se il prodotto scalare di un vettore con se stesso è zero, allora il vettore è nullo.

Queste proprietà definiscono la struttura di un prodotto scalare nello spazio vettoriale.

Definizione: la norma di un vettore in R è la distanza dal suo punto di origine.

Dimostrazione: disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

XinIpolinomio è vero gradoeinquesto vonproprioYIKIlIl 2ktxll Iy EHI oIcosotoFINIIµo 01bene solAE O iconaM va oI realiA beneO 2 solvanona o LEI.IT11AE EllEiIhIE 0EO I 1141441Dimostrazione 3: diseguaglianza triangolare ladimostrarela didelladimostrazione c aservessommadiseguaglianza triangolareIII 5,5IlIII XII 2 117112EllenE li lajellye diseguaglianza fondamentaleperNITIN Hell E E 112 11117117 I 11411III IIINE1111 11 e Il77112 IIl11411De nizione: la distanza fra due vettorialle I laIl tray penaa E FeiFERse XuX2 Xcan ed ICH Yu42,43I IdeI X2 Ya XYi 43 tt tdenti1 dixit EIO 0Proprietà con sealle2 dixit dei3 dE FEfedDe nizione: angolo fra due vettoriI ò ItoIeriE con epresi a la triangolarechesappiamo diseguaglianzaKEI III Ille IIIe I I il1 1 moduloE tolgopelleeNINNIci riconduciamo cose 1al le epoianacoseno È FICosa0 aOExett.coI arcoIII III IIIIII 4711diUso Carnotteoremaila bià E2bccos b.iobc delle belleChiamiamo IIIIeaIII NEIIIII 2kITL cosa

riconosciamo11511 11711 della proprietàI EtI I IE sedareprodottoeuclidealaI strutturadimostrato Rdicos definisceangoliIl edXII 1h14 linguetteDe nizione: ortogonalità (e prodotto scalare)a Et I CEI 0 I 0cos 0 vettorila è dueastratta chedefinizionee il Elorosono l 0quandoa includendo in cuiily cosoOss!: il vettore identicamente nulloÒ e HIER EdunqueOR stessoIn c'ètutto vettore asolo edseun ortogonaleitutti in Rvettori òaò è 11anche stessoseaDe nizione: proiezione ortogonale di un vettore su una rettaKER la rettadefiniamo e rra aereiche l'origine deglipeeae posee la coda del vettoree a E diè direttriceàauge rE0 à0se coincidanopoichéÈoca la èse 0 situazionee più complessala il caso 2moltiplica direzionefraproiezione lemuta astenendodirezionelae dunquel'angolodi àquella r ovvero inà deve modo dacosìmotoriosceltoessererenderlo versore taerettane della

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o resoÈ ilTae unitariomodulocosì è creando ocaHK III Hill 0 0poichécosa cosaFà FàIt Fàè àè1111hell cosa Italia èUtilitàdà Càitali Ilil t'àproiezioneDuque la EEvettoredi ama pun su èèdirezione èdiretta aDe nizione: prodotto vettoriale matematicosimboloIdentificato dalDe nizione: determinanti diilPer vettorialeal megliocomprendere significato prodottodeterminantiinecessarioè toscelacalcolo quadrae di unatal aIIE cioad det.de I Lblog17 cldi.aeb dileia ng ggvettoriale Eil ERE èIDuque cani aprodottoTE t.intile I IlX2 3Yi 43YiQui versaiE vettoreancelle adè etecome naProprietà:1 Bilinear ÒIHEER EIn O2 0 e n3 Anticarnutatività TE TinyIeri eAntiaseociatività nein è4 in f ICixi eio IatVersai5 cartesianiEIx1 E dellaRicordati la marcaIFa btwbomboletteJ o tifa E i iiTeorema: ortogonalità di entrambi i

vettori rispetto al loro prodotto

IERI Fa IlHE ICYcan XX 42143I X2 3

Dimostrazione:

E t.INTfait Ose XX2 3XX2 X2XIX Xe XpXe I XYXa YaYa 43y Yi Ye3 X342X XXXX2X2 Xi Xvii143 3 42 DXIXXIXXIX XIX3112 XinX Xiii YiY43 YIn I FAI OIII se 43Yi YeXXX X XeX3 XpX2X27 Fay 43 4342 43 YiY YiYe Y YeYi Ye 1134142 KyiIKY XiYaY 342 t3 0Xi 14243 1 4NY 24,433113 34,42 14245

Identità di Lagrange: II haXXIII notevole11 impatto se41.11441 unHillFat IIII 11 1144 E Icosacheperòsappiamo 11 111411

Oss!: il modulo di un prodotto vettoriale

Il llIIl.l1yllt.co11IN Ol71.11711 slleetNell OeaIl senotieni III suopoiché 0il aTeorema: l’annullamento del prodotto vettorialevettoriale abbiamo casi2alAnalogamente prodottoEin EnyacuiXXI 11 077110 0 San11 411711Il 11 00 0o oII òstay linearmenteo dipendentiIIIITeorema: versori ortogonali versioniHE IERI alloraI ortogonalitese sono ancheil è versorevettoriale neprodottoDimostrazione: mitriomoduloIl XII 11 75111111511 EL Eseno te0 0I

Ipoiché e1) Applicazione: l'area di un parallelogramma IERI avendoE costruito partireparallelogramma ainda vettori2a A bteoricamentee lel'Adi èAgoniain1 n A lbhellell.seno.MYg llExIl Zn2) Applicazione: l'area di un triangolo diil vertici aConsidero triangolo B Cne at alaAs risolvereper0 0 sfruttociòbsi BIO ho0 formalittalocheo nell'application0 c eo precedevaAz 1 Fisso due avettori eda vellicaneex e90 ci IbQ 0 stayfagianal'area2 del ACalcolo triangolo ENIle3 Calcolo determinante 33del vettorecomponentiÉTÉ telaiob CacInf abex bc.aeIce0Ca folliaCalcolo A INdel vettore4 areala norma taffiFÈCEATI cassa diGeneralizzazione alleteoremadel areePitagora applicataL'orientamento di una terna x, y e x y:IERHEI IcomeE ExitI Ie sano matema delirar sa ovvero ela regolaseguano dxdella manoDe nizione: prodotto misto IEIRsEIl datoE daèI3 vettori Emistoprodotto fraEE risultatoIlInèsE sudorevediamoT ècame noRBDio sa423Oss!: il calcolo del prodotto mistoE EE SeEI In 2Xi 21,22,73X2 eY Y YsyaÈÈ ÈIII EI x Z 227 trilineareNotiamo èdilameche mistoforma lei prodottoProprietà: IEE O1 IE2 0,5 OF I3 E E IIII EE EEE EEI C IIEIEIII III II I43) Appliacazione : volume con segno IIIE EIena ERIIData unaa Il volume è comesegnoajar Per Ab 4iltrovaren E I Ab HeatAngri Int FIdirezione FIahe Separate Eblu proiezione suèe a èrettangolo scaloneunodih Esuvia direzioneproiezione normale ala è scalareproiezione puòÈ IIl casoil IIIXxi tiny yE XII ETIIIIIINNV EIlAs le I eµµOss!: la terna X2Xp ERIèE E EY Iche Y yay comesappiano Z 2223