Fluidodinamica 04 Vorticita'

Vorticità

Definizione cinematica

P(q)u_i(P₂) = u_i(P₁) + Ω_ik δψ_k = e_ijk w_k dove Ω_ik = e_ijk w_k. w₃ = 1/2 ( ∂u₁ / ∂x₂ - ∂u₂ / ∂x₁ ).

Quindi 2w_k = e_ijk Ω_ik. La rotazione dei vettori ortogonali di un angolo ψ intorno a versori varianti nel tempo permette una stima immediata dei componenti di vorticità. Definiamo quindi il vettore di vorticità così: ξ_k = 2w_k.

Vorticità dinamica

In un sistema isolato omogeneo senza sorgenti o affondamenti:

• ∂(½|u|²) / ∂t = ξ₃
• ∇ × (u × ξ) in un elemento: ∮ [∇ (u × ξ)] = e_ijk (ε_jmn u_n ξ_m)
• u · ∇ (½|u|²) = 0
• ∇ × p
• ∇ × (u × ((1/5) ρ u))
• ∇·(ξ (½ |u|²))=0
• ∇( ξ · ∇U = ∇ (∇ × u)) = ∇³

Definizione cinematica

P(q)u_i(R₂) = u_i(P⁺) + E_ijk ω_k(q⁺) = B_ij x_j dove S_ij = (1/2)(B_ij + B_ji).

Rotazione media ω_k = -(1/2)E_ijk S_ij. S_ij = Σ_ij + 1/2 Σ_ji = 1/2 Σ₂₁ - 1/2 Σ₁₂ = ω₂₃ = (1/2)(S₁₂ - S₂₁) == (-E_ijk S_ij).

Quando I_ijK S_ij; S = 1/2 E_ijk E_ijk = 1/2 E_ijk S_ij/xi, xi + 1/2 E_ijk(V × u)_ij; == 1/2 E_ijk S_ij/xi × 1/2 (V × u)_v;

Quando I = (∇ × u).

Vorticità dinamica

ρj u_s → i S = Σ_s^s d(sΓ⁺;ds) = questo Σ 0 fragile Λop;←=Σ_iu_X + 1/2 V²|u|² ρ - 1/PS + π(A^-1_ij)∇(V .DEFG…A).

Per il parametro regolare di sviluppo S Nabla ×+ |u| Nabla←←Nabla₀ = ∪.

Forma di La Gobmg Dellader. Materiale D v ρ_n / Dt = 2ρ_s |= 2ρ_s ρ_d ijal (Tempo) E:←(dp τ)|0-1 e quindi:

-ω_X5 ×+ ↓e.(s= Σ∇(uXj)0 - 5t_x = 0 ε5→e.g(dp2 |) ∴; ×F) |∴'(∇V . ∇_u.V) G) D S/EQUI DI ALTEZIA EQ DI BELTRAMIALTRI TEOREMI DA CAMPUS E STATO DI GATO FISICO. TEOREMI DI PRODUZIONE TEOREMA EASCHINI: STRETCHING (ALLUNGAMENTO) & TILTING (ROTAZIONE).

Effetti di stretching

• Sella e cresta: Per la geometria della sella si ritardano le onde rispetto al resto del profilo. In tale profilo, rispetto al campo medio, il campo istantaneo si può scomporre in una parte simmetrica e in una asimmetrica che si propagano a velocità differenti. Gli effetti di stretching possono essere equamente spalmati in tutta l'onda e non devono generare cambiamenti di forma.
• Rottura d'onda: Onde di costa, elevate velocità del vento, spingono la massa d'acqua fino alle coste creando il frangimento (rottura d'onda) e il trasporto di sedimenti. Essi si verificano tipicamente sulla costa dove si dissipa la maggior parte dell'energia d'onda. Una volta che si è verificato il frangimento si ha la risalita dell'onda e turbine d'acqua (swash). In questo caso di rottura di onde altra parte dell'energia d'onda è dissipata.
• Teorema dell'anticipo dell'onda: Intrusione di fase: La variazione di fase si verifica a partire da piani di taglio che sono soggetti a variazione nel tempo e nello spazio.

Diffusione-dispersione di fase

Nelle fessure si osserva un’onda che conta il tempo disperso a seconda del profilo. Circuitazione di X: La circuitazione essendo una grandezza numerica che può essere calcolata a partire dal prodotto vettoriale di una vorticità sempre ortogonale al piano di riferimento o misurando la velocità relativa rispetto al profilo.

Per un corpo rigido: se ∫C(t) V · ds = [∫A(0) ds Λ] V.

La circuitazione è zero se il fluido deformato e tende con il tempo a riportarsi nella condizione iniziale.

Teorema di Kelvin

In un flusso nel quale:

1. La viscosità è nulla (λ=μ=0)
2. Le forze di massa sono conservative (∇ × β = 0)
3. Il flusso è barotropico (S = S(β))

La circuitazione della vorticità è costante d/dt ∫C(t) V · dl = 0 - ∮A(0) dx - ∮C(t) (∇(X C(t)) + {∇[∇(X · V)] Derivata relativa rispetto al tempo K respecto al tempo NdT/dt = ∮C(t) [ ⟨(∫ β × v)⟩ ] ds = Principio Integrale Kelvin d/dt ∫ ρ dι - ∫ ( div( λρ + fψ) (∇˙u) + ∇˙u) dι = 0 A = 0 se le linee sec t(t) sono conservative d/dt ∫ ρξ dx_t = ∫ S (p div ξ) dx_t B = 0 per librate ξ se λρ = 0 ∫∇˙∇˙ x dS = ∫∇˙ x ds d/dt ∫ ρξ dx_t d/dt ∫ ρν(t)dι = 0 ∀C(t) Conseguenze del Th. di Kelvin Se non esiste C(T(t)=0) allora φ(x,t) = V(x,t) E la frequenza d/dt ∫ρξ dx_t = 0.

Dinamica della velocità del flusso incomprensibile (2D)

Studio di un flusso incomprensibile A = (div S)^\nabla E^(v/ξ) = v/ξ B = (∇˙S)v( N - S )_x( N - S )_y d/dt (∇˙v) = V x δξ + ∫∇˙^2v dξ.

Funzione di corrente Ψ (in 2D)

Supponiamo un flusso stazionario ≡ ∂U/∂t = 0 Poiché la Eq della massa si scrive nulla ∂/∂x (∂Ψ/∂y) - ∂/∂y (∂Ψ/∂x) = 0. Ψ è una funzione di corrente in conflitto con la corrente se è soddisfatta la Legge della massa di conservazione. Le Ψ si interpretano sempre in termini di rappresentazioni che garantiscono le specifiche del carico. Vettore del flusso della corrente e della lunghezza Proprietà di Ψ Le linee di corrente non si tagliano Δz → dx, Δy → dy dΨ = ∂Ψ/∂x * dx + ∂Ψ/∂y * dy - &dPsi;C∫P₁,P₂ ∇Ψ • d&vec;l Quindi la derivata nel sistema corrente(&vecline;X) Supponiamo un sistema composto in 2 eq. in 2 incognite (ζ_z , Ψ). Il sistema diventa ∇²Ψ - &zeta_z∂ζ_z/∂x = ∂∂Ψ/∂y ∂Ψ/∂x ∂ζ_z/∂y.