0. Equazioni differenziali del secondo ordine

Equazioni differenziali del secondo ordine:

Definizione: la forma generale

F di

O variabili

F al più

finzione

4 4

y

f qualche

per

2 derivazione

necessarie

integrazioni 2 di

gradi

di

2 integrazioni

costanti

Teorema: problema di Cauchy

ricordiamo

come candiciani necessarie

al

le cantano per

determinare soluzione

ed ad

sono dove

1

una una ut

peri

è dell'ego differenziale

l'ordine

n

Per motivo condizioni dare

le 3

al cantano da sonno

questo mica

soluzione

la

solo è

440 in modo

Yo questo

vivo

yo

Caso 1: equazioni riconducibili al primo ordine (y mancante)

Definizione: direttamente la

Non incognita

coinvolge gi

genziana

Fly y

Metodo di risoluzione: variabile

della

cambiamento Dipendente

DÌ fuk di

V y g

Esempio:

d'y yi.dz

a v

4

y DX

da abili

del voi

va

v I ordine

diff a

leg

Io 1 separabili

g di va

di comodità

2

I a per

1 di Ci 1

u gi

s applico candy

c 1 2

2arctdnx.ca CE 1

s armonia

y

applico

y Candy

Caso 2: equazioni riconducibili al primo ordine (x mancante)

Definizione: la

Non variabile

esplicitamente INDIPENDENTE

coinvolge

Fly Y

y

Metodo di risoluzione: variabile

della

cambiamento dipendente

indipendente

e

uly.LI È

yi ftp.ff

v

y dfeyyi

djgvffudj.U

O

g

Esempio: te

yfffi.to ri fj

syi dEgu

di

g deputati vtFCic

dj slnlyt.lu

s syCi v

DÌ 1141

Cdx Ce

c s

s a

y e

C

e poiché

g

Caso 3: equazioni lineari del secondo ordine (generiche)

Le in

lineari molto usate

differenziali

equazioni sono fisica

È

Definizione: addy

4

ark 1k

ai fu

da do

t

di

t Y

y

Omogeneità: se è

l'ca

allora

0

f x omogenea

Soluzioni: è

l'leg FG

se 0

omogenea in

cantina

di 0

a

70 da

da e C

allora è 4 Cry

la t

Yu

dell'ca

solenne y

dove edizioni

sonno indipendenti

4 e Ya

Teorema: si può sempre determinare una soluzione particolare data l’altra HEMI

Esempio: è

che di

è sdriciane 0

44

mostrare 44

7 4

deve

1 l'cop si

differenziale cenere fu o

perché

omogenea

I

2 si interi

camini in accatto sono

sono

coefficienti pente

3 derivate data

della

Calcolo le sovviane

seconda

prima e

è 44 0

44

Verifico che

Y 4

Zé 2g

µ 84

è 44 ok

fi 44

4 0

44

27 calcolo derivate

le

ne

4 e

Yu

Pongo Uy

è

24

In era

G

Eriche

III G

è

2 v'G 42 e

5 Sostituisco tutto differenziale

nell'eeg

22 PU 0

44

42

è V 20 42

µ Vx

O O ER

C

è U

s v

0

e

2 Ci

6 solviane Crei

la Ci

Trovo 2 è

es

y

Yu y

Caso 4: equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti

Definizione: by 0 sono

ay CY omogenee

dove ER

d b ato

can

e

Soluzioni: AY.lt solo

yltt Lt se

se 4

By te sono

e

e difierenziale

seduzioni dell'aq

lineari

combinaiani

se by 0

it

by 0 ay cui

ay Cy

AY

e Bye

yet

Allora by Lt

f o

cella

del

Metodo di risoluzione: ci si riconduce lineari

alla equaliani

di ordine

panino

omogenee

off

Ky 7k

I s fdfefkdxelnlylekxxclh.tk

era

E

e

4 rette

è Fert

calcolandone

Pongo y y y

bratti

cit certe

sostituisco nell'eq.digg.at 0

letto ter ausiliaria

Hr

essendo devo I'eq

soddisfare

Istituisco trovando

era Di

ausiliaria 0 risolvo

l'eq e e

b.tt i

ed in al

base

casi si differenziano

discriminante

valore del

ri D 4

D ac

e la

Caso A: D>0 b 4dL

ovvero quando reali

distinte

radici

l'ego ausiliaria 2

possiede È

È

fa a

n e soluzioni

l'eq ha come

differenziale

Bent

Ae'ti sottolineano

B

Ae Cieca

sono ma ne

In la nazione lineare

cambi

Caso B: D=0 D

ovvero ciac

quando radici reali

ausiliaria

l'ego 2 uguali

possiede

è

fa

i g salutiamo

l'ca diff li

come peeticdaeyu

possiede

uhy.IE

è tutti retto etto

retto Lt

rae'tutt f

f

y

sostituiamo differenziale

nell'eeg

fav v'It

kart 0

torte

b

f

e ulti

art

Il 11

0 0

O v'Hi BER

s A Bt

up

s

f o

au soluzione

diff

l'eeg come

possiede generale

Ae'tablet

In

Caso C: D<0 le Aac

alieno quando radici

ausiliaria

l'ego 2 complene

possiede

K

if

b bra in

te

ri

s

IE a

fa

2 a w

La È i

cosa

considerando che seni

è isms

cosi

soluzione

diff

l'eeg come

possiede generale

Cent we

Be

adenosina sentiti q

cos

gli A le

Perché C suino coordinate polari

cos Y FÈ

C come

D e lo

fango

sen polare

Y e

II 9 esente sentiti

casket

caos

yu ccosfvt.tl

del

somma corno In

Caso 5: equazioni differenziali del secondo ordine equidimensionali

dll

d'y

Definizione: DX 0

a CY

dir dx

i dimensioni

tomini le

Dato hanno stesse

tutti

che dell'eq

Proprietà: costanti

sono a coefficienti

Soluzioni: diventa del

l'equazione se

ordine

I 0 sing

punto

in

in

soluzioni IN

solo

caricate 50 avevo

coincidevano di

derivate

le una potenza

generica

r

g