0. Equazioni differenziali del secondo ordine

dove c1, c2, ..., cn sono costanti e r1, r2, ..., rn sono le radici caratteristiche dell'equazione ausiliaria. Definizione: L'equazione ausiliaria è un polinomio di grado n con coefficienti costanti, scritta come: P(r) = anrn + an-1rn-1 + ... + a1r + a0 Dove an, an-1, ..., a1, a0 sono i coefficienti del polinomio. Per risolvere l'equazione differenziale, dobbiamo trovare le radici dell'equazione ausiliaria e determinare la forma delle soluzioni in base a queste radici. Se l'ordine differenziale è nullo, l'equazione differenziale si riduce a un'equazione algebrica e le soluzioni sono reali o complesse, a seconda delle radici dell'equazione ausiliaria. In caso contrario, se l'equazione differenziale ha radici complesse coniugate, le soluzioni saranno della forma: y(t) = eαt(c1cos(βt) + c2sin(βt)) dove α e β sono le parti reale e immaginaria delle radici complesse, rispettivamente. Soluzioni: Dato l'ordine differenziale e il tipo di equazione, possiamo trovare la soluzione specifica per questa equazione.salutiamoK è combinariane linearemadiL tutte vicinisolole particolariuCif cu_Cry Cafut ty fu i incostruita'solution modoogni questoe particolareSe realeè radice di K1 molteplicità rirte una eleit'è't tht'è'tarte tra citySe2 Kain inri radicisono e coppiasemprecompleteadi fK rmolteplicità rari tantethos chestnut tentcaput sentiticenty e th cailwtttettth.beetàtreeraelettrica sereWt WtsoluzioniSe abbiamo3 sibricdi rispettanoarcoppiei del3 acasiApplicazioni alla fisica:Le diali secondo sono moltoequazioni differenti gradoin deimolto siusate casinellafisica partemaggiorportadi oscillamenti motie dici quando unapremio grandezzaedsi didascosta richiamantestato unaequilibrio forzaunoristabiliretende tale equilibrioa1) Moto armonico semplice: di avereSupponiamo mareauna meticlassicamediaad eunaappaiaintrovi di equilibriouna posizionefa sena viene dila Ayscartata mano medalla di medialacaposizionesa clanica Hookedisecondo la

leggerisponde cheuna forzagenerandotendala allariportare posizioneadi equilibrio ftp.hfIbm Edinamica odella F w.meLegge qq.snalta yclanica di Hooke F KayLegge l'eq ordinetroviamo del costantiI coglicosì adifferenzialed'g Ewtf doveO neDI mausiliaria radici inovit eeq compiereA Bsoluzione CwtsueWtcosy costanti arbitrariedove sonoa Be latramiteda rivista arianatrarianesoli esserepuóR in base Ratodialwe valoretocosg iltramitee dicoseno saunamia acoelwttcostui ksenlwtossenlwtj WtA b.snY cascataRoosA delèAh detta132 motoRWto Ra ampiezzaBIAsenBe R lotangutoWto ERRegspostamentodettoto ritardodettaW mièè Utffrequenza Wto dettoè te fangolare sfacamento2) Moto armonico smorzatosi tratta vuoto indi cuiarmonicofa un nelimpedimentovi un vuotoèno dal vista velocitàdelladi Comnenopuntodella derivata primasa D 0 abbiamo motoseby oa t Cy iny armonico semplicebaseRicordando i in Aalsoldicosi3 3 tipiriconduciamoci distinti3 dicasi

smorzare.

Caso A: smorzamento normale

YaNinja Finirà

C'è oscillazione ma l'ampiezza diminuisce progressivamente per effetto del fattore di smorzamento.

Caso B: smorzamento critico

YaSe Ot Il comportamento è non oscillatorio.

Caso C: sovrasmorzamento

Si osserva un comportamento non oscillatorio, anche se non positivo.

Caso 6: equazioni lineari non omogenee

Consideriamo un'equazione lineare con coefficienti costanti ma non omogenea.

Definizione: byay fixCY

Soluzioni: typeYukYg soluzione particolare

soluzione dell'eq Omogenea

by 0ay 4

Oss!: forzante f(x) fisici

In molti modelli viene considerata una forza esterna che agisce sul sistema, chiamata forzante.

Metodo di risoluzione: somiglianza

Il lato sinistro viene basato sul membro che si può considerare come un operatore in grado di restituire una particolare uscita.

L'ye dobbiamo trovare che tayGH soggettaCy yprestituiscae

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fixall'operatore è linearefit2g un operatore1) forzante esponenzialeAct derivatela dellesomiglianzabyay c g ci saràche esponenzialeYpsuggerisce Kentkeef yycèy sostituisco trovo CoagpGp Nfpy pEsempio: 3g typ2g ey yp.ee sostituiscocae't 2 nell'eegftp.pcarceref Èelido 541 44 Yppt 3cg ppp sovviene dell'omogeneaÈ calcolo as Yapp YuppOss!: c'è un'eccezione cyeaettex soluzioneQuando dell'aqby r.ietay associata AsoIn si del Ausa 0quel dell'escamotage ypcaso ctltsyp.clè delirio sostituisco trovo Ca oett ateatyj.ec accttettxate atcfaeat 2aynp soluzioniPer calcolare prima lebisogna dell'omogeneaquesto2) forzante polinomialeRE derivatela delleby somiglianzaay c g ci saràche polinomialeYpsuggerisce Ansostituisco trovoAoAut maiAntpp viii 2 Aituanman sistemaYp lineareviacosìppEsempio: AEypltlt 2by12gy btxc.jpLat Bt Latiy EBAE 3C313T2Asostituisco data 213 23At'C 2A 2313 1213e 3C

t4Araccolgoidentità sistemae 5 49D2 412789 3C3 12Ita f EppOss!: c’è un’eccezioneSe E 0 Yp Pratt ilalzarebisogna frodose b delPunch0c Gp polinomio3) forzante trigonometrico teBseulkatby tretay cyeacoslk.tl congeneralmentesostituiscoCi Ci ciut o trovotcosYp sen Cut2C Casete ut 2 cosGip 22C Vt V'CasementcosyEsempio: Costa senta337y 12g sente2ciYpf cos a sostituisco2cisenlztltzczcoscztftpGp 4C costa 4CasementLt4 costa 34script 144 costa3C Sleptcosca4C4 Castel4Ccosca Rosneftlee'identitàcostruiredevocosta 33G costo34 2t 4C senti4C444C sen Select7C 7A CACz 314 A4Csue cosCzcos 28 4 Èit 49428C 214C 654A 25 CiÈin coscasostituisco sempreYpOss!: c’è un’eccezioneQuando fatecane quandonell'capanienziale yr.irRicordiamo leAcoche soluzioniseinfatti sono trigamoneUsiamo Edel O costa Casementypetl.cil'escamotage soluzioniPer calcolare prima lebisogna dell'omogeneaquestoOss!: risonanzain ilchiama

fenomeno di risonanza si anima fisica quando FfUtf tselectut Inpcosy cosoquesto antepongo4) forzante esponenziale-trigonometrico è Bsa utby utcos entay c yè Ci sostituiscout Cutcos o trovosenYp ederivatecalcolando