Vibrazioni meccaniche

VIBRAZIONI

MECCANICHE

VIBRAZIONI MECCANICHE

Il moto vibratorio è un moto che avviene attorno ad una posizione di equilibrio stabile a causa dell'elasticità del corpo e delle adeguatezza dei vincoli.

Teoricamente ogni punto che rispetta può eseguire di moto vibratorio. Tuttavia molti sistemi vibratori reali, possono ricondursi ad un solo g.d.l. vibratorio in un modello a parametri concentrati e finanze.

L'obiettivo nello studio delle vibrazioni meccaniche è quello di:

1. Individuare le condizioni di risonanza.
2. Isolamento delle vibrazioni.

Gli elementi fondamentali sono:

Nel caso di sistemi reali è opportuno tenere conto anche di una caratteristica dissipativa.

SMORZATORE

Solitamente si ha e che fanno con uno smorzatore viscoso.

Comunque il sistema sia costituito si potrà dire che esso è soggetto a vibrazione quando almeno uno dei suoi punti presenta uno moto nel intorno di una data configurazione di equilibrio.

Tale moto si ripete con le medesime caratteristiche dopo un intervallo di tempo ben definito.

RIDUZIONE DELLE RIGIDITÉ

Collegamento in parallelo

F_i = K_i x ⇒

⇒ F = ∑_i=1^m F_i = x ∑_i=1^m K_i ⇒

⇒ F = (K_eq) . x ⇒

⇒ MOLLA (K) EQUIVALENTE

K_eq = ∑_i=1^m K_i

Collegamento in serie

F = F_i = K_i x_i ⇒

⇒ F = F_i = F₂ = ... = F_m = (K_eq) . x ⇒

⇒ F = (K_eq) (x₁ + x₂ + x₃ + ... + x_m) ⇒

⇒ x = F₁ / K₁ + F₂ / K₂ + ... + F_m / K_m = F (1 / K₁ + 1 / K₂ + ... + 1 / K_m)

⇒ MOLLA (K) EQUIVALENTE

1 / K_eq = ∑_i=1^m 1 / K_i

e si avrà come pulsazione naturale

\( \omega_m = \sqrt{\frac{k}{J_o}} \)

\( J_o \ddot{\Theta} + k \Theta = 0 \rightarrow \ddot{\Theta} + \frac{k}{J_o} \Theta = 0 \rightarrow \ddot{\Theta} + \omega_m^2 \Theta = 0 \) (6)

La soluzione della (6) sono formalmente identica a quella della (2) ovvero:

\( \Theta(t) = \Theta \cos(\omega_m t + \varphi) \)

con \( \Theta = \sqrt{\Theta_0^2 + \left(\frac{\dot{\Theta_0}}{\omega_m}\right)^2} \) e \( \varphi = \alpha \tan\left(\frac{-\omega_0}{\omega_m}, \Theta_0\right) \)

Sistema a 2 volani

In questo caso si abbiano 2 masse volaniche di inerzia \( J_1 \) e \( J_2 \).

Esse sono collegate fra di loro da un albero di rigidezza elastica \( K = G \frac{Ip}{l} = \frac{G \pi d^4}{32l} \)

Inizialmente i 2 volani ruotano con la stessa velocità angolare \( \omega_o \). Ad un certo istante per effetto di una qualsiasi perturbazione esterna se ha una rotazione relativa tra le 2 masse quindi vogliamo studiare cosa il conseguente moto relativo.

Per \( T = T_o \) non esiste più la perturbazione esterna.

Per l’equilibrio dinamico

\( \dot{H} + \dot{H}_i = 0 \)

1) d > 1 ⇒ C > C_c

X = A₁ e^α₁t + A₂ e^α₂t

α₁ = -d ω_n + ω_n √d²-1 = -ω_n (d - √d²-1) < 0

α₂ = -d ω_n - ω_n √d²-1 = -ω_n (d + √d²-1) < 0

√d²-1 < d

In tal caso ⇒ NESSUNA OSCILLAZIONE

Le masse avranno un moto aperiodico di tipo esponenziale con esponente negativo.

Tendono alla posizione di equilibrio ad un tempo infinito e non le attraverserai mai.

X = A₁ e^α₁t + A₂ e^α₂t

α₁ = -d ω_n + ω_n √d²-1 = -λ + σ

α₂ = -d ω_n - ω_n √d²-1 = -λ - σ

con λ > σ ⇒

x = e^-λt (A₁ e^σt + A₂ e^-σt)

{ x₀ = 1v₀ = 0 }

{ x₀ = 0v₀ = 1 }

la soluzione della (7) sarà data dalla somma della

risposta in transitorio (soluzione delle omogenee associate) e

della risposta a regime (soluzione particolare)

X = (A₁ e^{λ1 τ} + A₂ e^{λ2 τ})

| soluzione in transitorio | + | | soluzione particolare

| | | (vibrazione permanente)

C'è da dire che la risposta in transitorio è parabolica dal vapore

smorzio del fattore di smorzamento. Tuttavia dopo

un certo intervallo di tempo la sua influenza

sarà nulla.

Quindi è più importante a modificare la risposta a

regime associata alla vibrazione permanente.

Risposta a regime

La ricerca della soluzione sarà più semplice se si considera

che:

e^{i ω t} = cos(ωt) + i sin(ωt)

Poniamo che la forza eccitatrice esterna sia

parte reale di una forma complessa F = F_o e^{i ω t} ossia

che -> F = ℝ F

quindi anche per la soluzione particolare poniamo

scrivera:

X = ℝ X

quindi:

X̅ = X_o e^{i (ω t + φ)} = X_o e^{i φ} e^{i ω t} = X̅ e^{i ω t} ->

Se il moto alla massa è generato dalla presenza di una forzante esterna di tipo viscoso

Il valore massimo di FT lo ottieni da:

FT(\omega_d x) = X \sqrt{1 + (2 d \omega x)^2}

X = \frac{\Delta}{\sqrt{(x - x^2)^2 + (2 d \omega x)^2}} = \frac{F_0}{k} \frac{\sqrt{1 + (2 d \omega x)^2}}{\sqrt{(x - x^2)^2 + (2 d \omega x)^2}}

FT(max) = \frac{F_0}{k} \frac{1 + (2 d \omega x)^2}{\sqrt{(x - x^2)^2 + (2 d \omega x)^2}}

\hat{C} = \frac{F_0(\omega x)}{F_0} = \frac{\sqrt{1 + (2 d \omega x)^2}}{\sqrt{(x - x^2)^2 + (2 d \omega x)^2}}

Coefficiente di trasmissibilità

Diagramma di \hat{C}(x, d)

d=0.1

F(t) = F_0 \cos(\omega t)

F(t) = \hat{C} F_0 \cos(\omega t + \beta)