Tutta la teoria di Scienza delle costruzioni

• Lezione aggiuntiva: (martedí)
• Ricevimento (Tutoraggio): mercoledì ore 16:15 aula C1

Spazio euclideo E: ρ ∈ E ⟶ punti Q, P

Spazio vettoriale affine V ⟶ vettori u ∈ V

(notazioni: i vettori hanno una sottolineatura (u) e le matrici sono in lettera maiuscola con una tilde sotto (A), gli scalari con la letterina (m)).

C’è una corrispondenza biunivoca tra E e V, perché: ∀P, Q ∈ E ∃! u = (P-Q) ∈ V.

Questo se si prendono i punti P e Q si ottiene nello spazio vettoriale affine un vettore che da Q va a P:

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯> Q ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯> P

il vettore é l'operatore che prende il punto Q e lo trasla sul punto P.

Nello spazio in cui viviamo possiamo definire una base di vettori (e₁, e₂, e₃ ) che sono:

• ortogonali tra di loro (e_i•e_j = 0 ∀ i, j ∈ {1, 2, 3}, con i ≠ j)
• versori a norma unitaria.

Sono una base nel senso che preso un generico vettore V,

Si può definire la componente i_i del vettore i come la proiezione di i nella direzione del versore di base e_i.

i_i = i · e_i ⇒ i = (i₁, i₂, i₃) = i₁e₁ + i₂e₂ + i₃e₃

componenti cartesiane di i rispetto alle basi e₁, e₂, e₃,

Si può anche definire il sistema di riferimento con i versori i, j, k e le coordinate associate a questi versori sono rispettivamente x, y, z.

"Un corpo è una regione dello spazio euclideo, un insieme di punti continui, cioè (dal punto di vista topologico) un insieme APERTO (ovvero è sempre possibile prendere un intorno di questo punto, piccolo a piacere, sempre contenuto all'interno dell'insieme)."

Un insieme APERTO è un insieme di punti dove ciascuno di essi è un punto di accumulazione, cioè è un insieme di punti senza soluzione di continuità (è un insieme continuo).

Proprietà dei descrittori:

I) Non dipendono dai punti di applicazione delle forze concentrate;

II) Non dipendono dal punto di applicazione lungo la retta d'azione della forza.

Dimostriamo il II:

P₂ P₃ P₁

da risultante della forza non cambia

h₁' = h₁

M_o' = (P'_A - O) × Σf_i + ΣM_d=1

Posso scrivere che:

(P_i' - O) = (P'_A - P_A) + (P_A - O) => (P_i' - O) × F = (P'_A - P_A) × F + (P_A - O) × F

=>

M_o' = (P'_A - P_A) × F + Σf_i=2 (P_i - O) × ΣE_i + ΣM_d=1A

il primo fattore a destra dell'uguale è nullo perché prodotto vettoriale di due vettori paralleli.

=>

• h₁' = h₁
• M_o' = M_o

legge di variazione del Polo (Th. di Varignon)

M_A = M_o + (O - A) × μ

(con A ≠ O, ovvero i due poli sono diversi)

Due forze sono in equilibrio quando sono uguali e contrarie e con d=0

(ovvero hanno la stessa retta d'azione)

Sistema con tre forze

S = { (F₁, P₁); (F₂, P₂); (F₃, P₃) }

R = F₁ + F₂ + F₃ = 0 => F₁ + F₂ = -F₃

Per avere "R = 0" le tre forze devono essere complanari esi deve poter applicare la regola del parallelogramma.

(le forze devono inseguirsi)

Per avere "M_o = 0" le tre forze devono avere le proprie retted'azione concorrenti in uno stesso punto, così facendo ilmomento sarà nullo per tutte e tre le forze siccome l'angolocompreso è nullo oppure è π.

Lo strumento che mette in relazione la statica con la cinematica è il Principio dei Lavori Virtuali (PLV). Esso infatti ci aiuta a verificare una condizione statica partendo da una cinematica o viceversa.

PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI per CORPI RIGIDI

Ω è in equilibrio ⇔ ( L_v = Σ_i E_i · S_Pi + Σ_j M_j · Ψ = 0 )

∀Ω e Ψ^r (campo degli spostamenti rigidi infinitesimi)

S_P = S₀ + Ψ^r × (P - O)

• q = b · c
• a = a₁ × a₂
• (q × b) · c = q · (b × c)

Per le forze è necessario specificare qual è il suo punto di applicazione;

Per le coppie non è necessario specificare il suo punto di applicazione perché la coppia lavora per la rotazione (ovvero è un unico vettore per tutto il corpo).

Il lavoro è detto virtuale perché il campo degli spostamenti è indipendente dal campo di forze.

Dimostrazione della condizione necessaria e sufficiente

L_v = Σ_i E_i · S_Pi + Σ_j M_j · Ψ =

Carrello

Siccome siamo nell'ipotesi di piccoli spostamenti possiamo dire che il carrello e il pendolo sono simili (al pi di campi di spostamento rigidi infinitesimi).

Quindi per entrambi si sta vincolando uno spostamento perpendicolare all'asse del pendolo.

Incastro

S₀ = 0

ψ = 0

x = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

(S_0x S_0y S_0z) = (0 0 0)

M.C. = 3

È stato bloccato il movimento del corpo nei tre assi (due di traslazione e uno di rotazione).

L_v = M ⋅ S₀ + M₀ ⋅ ψ = 0

M = A₁ i + A₂ j + A₃ k

M₀ = A₃ k

M.S. = 3

da coppia è sparita perché è stata "usata" per traslare la forza,

avremmo usato l'informazione che la coppia ci da riguardo il

braccio.

Tre forze convergenti in un punto (B) e che si chiudono in un

triangolo di equilibrio => sono equilibrate.

VINCOLI INTERNI :

Impongono restrizioni sul moto relativo tra due corpi

(vincolo interno che coincide)

tra i due corpi.

Il punto "O" è lo stesso punto prima dello spostamento, ma in

realtà sono due punti adiacenti :

O I - - - corpo I

O II - - - corpo II ; prima dell'atto di moto i due punti

coincidono nella loro posizione (è un unico punto chiamato "O").

Ma questi due punti, poiché appartengono a due corpi diversi

possono avere uno spostamento diverso. Ecco perché c'è scritto

"S_o^I" e "S_o^II"; perché "O" si può muovere in modo diverso a seconda

che lo Veda E corpo I o E corpo II.

Quindi, quali sono le incognite?

Bisogna quindi vedere le condizioni cinematiche; se vengono cambiate ma si possono spostare i vincoli.

MC = MS = 4

Esercizio (Equilibrio fra due corpi)

Equilibrio

Diagramma di corpo libero:

A

q_e

B

M_de

A e B

H = 0

M = ∫₀^e m_z dz = m l

A

B

H_u

torniamo all'esercizio:

q

e

e

e

è sbagliato applicare le forze come seguito: perchè il carico distribuito agisce su due corpi e vederlo come un'unica forza applicata ad un unico corpo equivale a padrone delle cose:

q₃e