Scienza delle costruzioni: tutta la teoria del corso - Parte 3

PROBLEMA ELASTICO

Studiamo il problema elastico di un solido generico sottoposto a forze e a spostamenti/deformazioni. Disponiamo delle seguenti equazioni:

1. Equazioni di equilibrio (Relazioni tra forze e tensioni)
   • σ_ij,j + b_i = 0 in V
   • U_in_i = f_i in ∂V

   3 equazioni indipendenti

2. Equazioni di congruenza (Relazioni tra spostamenti e deformazioni)
   • ε_i = 1/2 (u_i,j + u_j,i) in V
   • N_i = M_i in ∂V

   6 equazioni indipendenti

   1. Equazioni di congruenza implicite
   • ε_ijk + ε_hjk,x = ε_ijk,f + ε_{lof, m}
3. Equazioni di legame (Relazioni tra tensioni e deformazioni)
   • T_ij = E_ijkl ε_kl

   6 equazioni indipendenti

Questo insieme di sistemi viene considerato un unico sistema formato da 15 equazioni in

• Incognite
  • σ_ij 6 funzioni incognite
  • ε_ij 6 funzioni incognite
  • u_i 3 funzioni incognite

  → 15 incognite

Questo sistema di 15 equazioni in 15 incognite è definito

PROBLEMA ELASTICO

Oss: TUTTE LE EQUAZIONI SONO LINEARI se:

1. Uso l'ipotesi di piccoli spostamenti

1. Deformazioni infinitesime
2. Il solido è E.L. (elastica lineare)

Conseguenze della linearità delle equazioni:

1. Teorema di esistenza; La soluzione esiste
2. Teorema di unicità; o Teorema di Kirchhoff: La soluzione è unica
3. Sovrapposizione degli effetti

Infatti la sovrapposizione degli effetti non vale per il lavoro/energia di deformazione dato che il lavoro è una quantità quadratica e non è lineare.

Nonostante tutto ciò, la soluzione analitica (in forma chiusa) è possibile solo per casi particolari.

Soluzioni Numeriche

Metodo Inverso

(Ipòtizzo una soluzione e, con il procedimento inverso, ricavo i dati che mi daranno la soluzione ipotizzata)

Metodo Semi-Inverso

(Si assume una parte della soluzione e si determina la parte rimanente incognita)

Problema di De Saint Venant (TSV)

Soluzione del problema elastico secondo il metodo semi-inverso

Assumendo il solido di De Saint Venant

Risuzione di una Trave Iperstatica

a+b=l

• 3t-v=l-i
• 3-4-l-i
• Trave 1 volta iperstatica

P.b. statico

1. H_A + F + H_B = 0 – Soluzione indeterminata
2. V_A + V_B = 0 – V_A = 0
3. -V_B = 0 – V_B = 0

Soluzione indeterminata → ∞ soluzioni equilibrate (tutte le coppie H_A, H_B che soddisfano l’equazione di equilibrio)

Il teorema di esistenza e il teorema di unicità ci dicono però che la soluzione esiste ed è unica

Strategia Determinare tra le infinite soluzioni equilibrate l’unica che è anche congruente (ovvero che rispetta le condizioni date dai vincoli)

Diagramma sollecitazioni:La trave è soggetta solo a sforzo normale

Avendo il diagramma dello sforzo normale posso calcolare l’allungamento della trave. Essendo deformazione infinitesima

• ∆l = 0
• ∆l = ∆l_a + ∆l_b = 0

Eq. Di congruenza (rispetto le condizioni date dai vincoli)

Quando lo spostamento del punto B è:

¹/_{√2 (√2 + 1)} = ^P/_EA

μ = (2√2 +1) ^Pl/_EA

Altro esempio

SPOSTAMENTO VERTICALE DI B

Per trovare lo spostamento verticale nel sistema inserisco una forza unitaria verticale nel sistema 1.

Inserisco sempre una forza unitaria diretta lungo la direzione dello spostamento incognito.

SISTEMA REALE (α) (Spostamenti e deformazioni)

SISTEMA DELLE FORZE (1.) (Forze)

È scarica anche l’asta BC dato che...

Il nodo è in equilibrio solo se N_BC = 0

Esercizio

3T + V = A - α = 1

Struttura Principale

S = _PL/^EA

αΔT = _P/^EA

Eq Convergenza

M_i = 0

Sistema Equivalente

x_i = 1

Sistema O (Vincoli + Forze Est)

A B

C D

P

Equilibrio al Nodo

N_3C N_BC N_BD N_CD

Sforzi sulle Aste:

N_EC N_ND

Quindi:

Verificate a posteriori controllando che tutte le equazioni del problema elastico siano soddisfatte. Se ciò accade si giustificano le ipotesi fatte correntemente:

Hp.1) Conservazione delle sezioni piane

Durante il processo di deformazione associato alla flessione le sezioni su rimanogono piane ed il oltre deformazione delle fibre // ad x

Incertezza:

Questa ipotesi si riassume in

Non esiste scorrimento angolare o deformazione angolare tra le fibre nel piano della sezione e le fibre // x

Fibre nel piano della sezione:

Os) Nella trave deformata notiamo che le fibre nella parte superiore della trave subiscono una contrazione le fibre nella parte inferiore subiscono un allungamento.

Questo significa che nella sezione esistono delle fibre // x che intengono la loro lunghezza iniziale.

Valutiamo questa deformazione in un pezz h trave lungo dx.

Vedi e quindi lo spostamento della sezione ala accesso x + x dx

dx

Ex (x) dx

Hp.2) Ciascuna libera / x della trave si comporta come un elemento soggetto a solo N (l’invariante sulla sezione) quindi, risulta tesa o compressa. Perciò lo stato tensinoale nella trave su riman la sola Ex

Quindi abbiamo

1) _dw/_dx = φ_y = -_My/EI

Se x = l

φ_x=l = -_Hl/EI

Eseguo il procedimento con il PLV

SISTEMA 0

Hp(x) = M

SISTEMA 1

Hp(x) = -1

Applico il PLV : L_e^Hp = L_x^Hp

1. φ₁ = ∫₀^l _Mo/EI dx = ∫₀^l _M/EI dx = _Ml/EI

- φ₁ = -_Ml/EI

Hp(x) = M_A - V_Ax = L + 1x

t_x = 0

l'equazione dell'asse h è z = tgα y e quindi divia rispetto all'asse m

tg β = tg α I_y / I_z

Quindi l'asse h non corrisponde più all'asse m. Abbiamo quindi la FLESSIONE DEVIATA

In tal caso perché h ≠ m ⇒ f' ≠ f.

Il fatto che f' ≠ f significa che la deformata si dispone in un piano di flessione diverso da quello che contiene le forze.

Nella flessione deviata vengono impegnate contemporaneamente le due direzioni di max e min rigidezza flessionale. In poche parole, vengono impegnati contemporaneamente il max I e il min I.

I_y max I

I_z min I

Dato che:

• 1) M_y ⇒ Χ_y = M_y / EI_y
• 2) M_z ⇒ Χ_z = M_z / EI_z

Avo maggiore deformazione attorno all'asse corrispondente all'inerzia più piccola. Quindi la trave ruota di più attorno all'asse più cedevole.