Scienza delle costruzioni: tutta la teoria del corso - Parte 1

Oggetto del corso:

• Determinare lo stato di sollecitazione e deformazione
• Verifica di sicurezza o resistenza

Edificio Macchina - Trovare la struttura - Valutazione dello schema - Dimensionamento dell'oggetto

Def. STRUTTURA: Solido di forma particolare per il quale lo studio dello stato di deformazione può essere condotto mediante "caratteristiche". Le caratteristiche sono grandezze MEDIE e GLOBALI.

Solido Generico:

Per un solido generico (forme casuali) lo studio delle sollecitazioni viene fatto punto per punto.

TRAVE:

Def. TRAVE: Per la costruzione e la rappresentazione di una trave servono i seguenti fattori:

• Linea d'asse: Curva continua nello spazio di lunghezza finita. Unisce tutti i baricentri delle singole sezioni.

Sezione: Area piana A(s) che "si muove" lungo la linea d'asse mantenendo la linea d'asse nel suo baricentro.

Un oggetto/corpo rigido è chiamato TRAVE se: L >> d(s) (dove L = lunghezza, d(s) = dimensione della sezione).

Azioni, Agenti sulle Travi

Forze Concentrare (astrazione)

Vettore forza applicato in un punto

Trave

Coppie Concentrare

Il verso di rotazione creato da un momento si trova con la regola della mano destra: pollice lungo la direzione del momento M.

Nel caso piano, una rotazione di un corpo rigido causata da un momento uscente o entrante nel piano di rappresentazione si rappresenta convenzionalmente cosi:

Per simboleggiare la rotazione causata:

M

IL CORPO RIGIDO RUOTA ATTORNO AD UN ASSE PERPENDICOLARE AL FOGLIO.

Forze Distribuite:

q(s)

Carico varia in base alla coordinata

Con la retta che varia con la base

Coppie Distribuite:

M(s)

IL CORPO RIGIDO RUOTA NEL PIANO ATTORNO AD UN ASSE PERPENDICOLARE AL FOGLIO.

Vincoli nel piano

Un corpo rigido nel piano ha 3 gdl: 2 traslazioni e 1 rotazione. Per questo in un piano, potrò avere a che fare solo con vincoli singoli (tolgono 1 gdl), doppi (tolgono 2 gdl) o tripli (tolgono 3 gdl).

Vincolo = dispositivo geometrico che fissa una componente di spostamento (generalizzata) ad un valore noto (dato). Direzione efficace del vincolo = direzione dello spostamento fissato.

Nel piano possiamo vedere i seguenti tipi di vincolo:

1. Carrello

   Vincolo semplice traslazionale. Impone nullo lo spostamento lungo la direzione efficace fissando quella componente di traslazione.

   Postulato della meccanica

   Se voglio fissare la x_A ad un valore ≠ 0.

   Altri tipi di rappresentazione:

   Perché la rappresentazione a pendolo è uguale alla rappresentazione comune al carrello?

   Perché si considerano atti di moto, cioè non moti di ampiezza finita. Consideriamo quindi movimenti di primo ordine infinitesimi nell'intorno della posizione data che quindi manterranno l'orizzontalità. Perciò le traiettorie verranno assimilate alla loro tangente alla configurazione data.

Esercizio

H_A = 0V_A - F = 0

(A) -M_A + Fℓ = 0

Sforzo Normale

0 < x < l N(x) = 0

Taglio

0 < x < l T(x) = V_A - F

Momento Flettente

0 < x < l M(x) = -M_A + Fx

Per i segni nei diagrammi e nelle equazioni in funzione di x devo confrontare semplicemente il verso reale delle sollecitazioni e i versi positivi del conciòse sono discordi, pongo un "-" davanti alla sollecitazioneSe sono concordi, pongo un "+" davanti alla sollecitazione

Esercizio

Q = ql

H_A = 0V_A - Q = 0

(A) -M_A + Q ℓ/2 = 0

H_A = 0V_A - Q = qlM_A = Q ℓ/2 = q l²/2

Problema statico associato alla trave cerniera-carrello. Isostatica. In tal caso otteniamo una soluzione per ogni valore assegnato della reazione momento M.

CASO 3)

H_A + F_x = 0

V_A + F_y = 0

-H_Ay₁ + V_Ax_A - M = 0

Per un carico generico il sistema è IMPOSSIBILE: Ci sono 2 incognite e 3 equazioni linearmente indipendenti (rango 3).

LA TRAVE È DETTA STATICAMENTE IMPOSSIBILE O IPERSTATICA (LABILE) INFATTI IL CORPO NON SARÀ IN EQUILIBRIO

In questo problema esisterà un'unica soluzione nel caso in cui una delle righe è combinazione lineare di un’altra e quindi il rango diventerà = 2.

COMBINAZIONE LINEARERANGO 2: [ ] soluzioni

1) FO IL GRAFICO SOTTO E

DOPRO LO RIBALTO.

a) Grafico di rottura

b) Ribaltiamo Θ

Ex

(a)

H_A = 0

V_B = ql = 0 → V_A = ql

H_MA + ql² = 0 → M_A = - ql²

(b)

0 < x < l

M(x) = ^q2l22 - q_x²

M(x) = - q² ₂ + ql(l - x) - q _(l-x)²2

M(l) = - q² ₂ + ql(l - l) - q _(l-l)²2 = 0

TRAVI RIGIDE

• Definizione
• Caratteristiche e sollecitazioni - Postulato fondamentale della meccanica
• Problema statico: isostatico, labile, iperstatico
• Problema cinematico:
• Equazioni differenziali di equilibrio
• h V = l - n

l = angolo senza vincoli, v = n. incognite, l = lat minori, n = n. constrant

TRAVATURE

Assemblaggio di "n" travi connesse (vincolate) tra loro e di riferimento fisso mediante vincolo.

t = z travi

Controlliamo la risolvibilità:

• h V = l - n
• h = 3t - V = n incognite

Per risolverlo potresti venire l'idea di separare mutuamente le travi ma non serve a molto, serve solo ad aumentare le incognite e le soluzioni del sistema. Si ingrandisce solo la matrice.

• h = 3t - g
• V = g

Rimani invariato

M(x) = ⁹/₂ x - ⁹/₂ x

I(0) = ⁹/₂ ⁹/₂

I(1) = ⁹/₄ l²

I(2) = ^{2 q l2}/₄ z²

M(x) = q l (^x/₂)

q l²/₂

Per i diagrammi devi

scalmenti scegliere un valore

di riferimento e guardare cosa

c'è prima fermandosi nel resto

jt - v + l - n = 6 - 6 = l - n

l = n - l + n = l

essendo la reazione

H_A

V_A

V_B + q ^l2/₂

H_B

H_B = ¹/₃ q l

V_A = ⁵/₃ q l

V_B = ^{3/q l}

H_AB = ^{q l2}/₂

H_AB = ^{q l2}/₃ q l

H_A = ³/₄ q l

Def: L'insieme dei punti impropri forma la retta impropria.

Adesso, avendo illustrato tutti i casi che possono riguardare un moto rigido, eseguiamo un esercizio trovando il centro di istantanea rotazione e studiamo il moto rigido attorno a una vettura arbitraria inclinata al polo di istantanea rotazione.

Se riesco a determinare il centro di istantanea rotazione la trave è indeformata e ciò significa che la trave può compiere un moto rigido.

Se il centro di istantanea rotazione è il punto improprio affermiamo che la trave non si può muovere intorno ad un punto a distanza infinita e quindi la trave non è labile.

Ex.

Ex.

Centro di istantanea rotazione

Questa trave è isostatica perché non riesco a trovare un centro di istantanea rotazione che intersechi contemporaneamente le due rette delle cerniere e la retta passante nei due dirette istantanee del carrello.

Dal teorema di Eulero non posso descrivere un moto rigido senza arrivare al centro di istantanea rotazione e quindi la trave è sostanza.

Quando abbiamo un punto improprio, ricordo che la direzione istantanea del moto rigido sarà perpendicolare all'asse che interseca in tre punti i vincolo.