Trasmissione dei segnali digitali - Decisore ottimo MAP/ML

DOMANDA 23

Dimostrazione della condizione di Nyquist. Condizione di Nyquist:

+∞

ℓ

X − E

S f = T

p p

T

ℓ=−∞

L’impulso quando è replicato è costante. La h(n) è un campionamento dell’au-

tocorrelazione: Z ∗ −

h(n) = p(t)p (t nT ) dt = r (nT ).

p

2

F {r |P

S (f ) = (τ )} = (f )| .

p p

Quindi se ←−

h(n) = r (nT ) = r (0)δ(n) perché se vale questa

p p

Una rastrelliera di δ che campiona:

+∞

X −

r (ℓT )δ(t ℓT ) = r (0)δ(t)

p p

ℓ=−∞

r (τ ) si annulla in tutti i punti tranne nell’origine, quindi r (ℓT ) è una costante.

p p

Campiono la r (t) nella delta:

p X −

r (t) δ(t ℓT ) = r (0) δ(t).

p p

| {z }

ℓ costante

FOURIER:

ℓ

1 X −

⊗ F {δ(t)}

δ f

S (f ) = r (0)

p p

T T | {z }

ℓ = 1 costante

ℓ

X − → E

S f = T r (0) T

p p p

T

ℓ 59

Domanda 24 — Struttura del decisore ottimo

La struttura del decisore a minima distanza è ottima se è presente un rumore

bianco e gaussiano jθ

r̃(t) = s (t)e + η̃(t)

i

con s (t) l’impulso trasmesso in (0, T ).

i

Il ricevitore a minima distanza, quindi, converte il mio segnale su M proie-

zioni sui segnali dei simboli. R

× R

1

∗

s (t)

1

r̃(t) R

× R

M

∗

s (t)

M

Quindi  

R 1

... M

∈ ∈ {1, }.

R = , R , m . . . , M

  C

 

R M R R

2 M

R 1

Il criterio ottimo è quello a minima distanza che ha la minore probabilità di

errore; quindi devo decidere quale degli elementi di R prendere. Equivale a

scegliere una regione di decisione Λ associata al segnale s . Deve valere che le

m m

N

regioni siano disgiunte e che la loro unione valga . Quando ricevo il segnale

R

N

estraggo il passabasso, costruisco il vettore R e lo passo al decisore che deciderà

un m̂. La partizione ottima è determinata dalla probabilità di decisione corretta:

Z |

P (C) = P (C R = r) f (r) dr,

R

N

R

dove f (r) è la densità (condizionata al vettore ricevuto r ben preciso).

R 60 |

Devo massimizzare questa probabilità. P (C R = r) è la probabilità che la

decisione sia corretta in base al fatto che la R per cui ho deciso sia r. Dato che

≥

f (r) 0,

R

|

devo massimizzare P (C R = r). La probabilità di corretta decisione è proprio