Appunti Trasmissione dei Segnali Digitali

Prima lezione (28.09.2020)

Abbiamo una sorgente di informazione (un’immagine, un testo) e produce un segnale informativo che per sua natura è un segnale aleatorio (descritto in termini probabilistici, perché nell’informazione è implicitamente contenuto un concetto di "non conoscenza a priori": se io già sapessi il contenuto informativo che devo ricevere, non avrei bisogno della trasmissione). Il segnale che devo trasmettere, tipicamente richiede un trasduttore per essere convertito in un segnale di natura elettrica adeguata: ad esempio un microfono traduce un segnale acustico in un segnale elettrico. Ovviamente dal lato del destinatario, ci deve essere un ulteriore trasduttore che traduce il segnale in maniera inversa.

Componenti del sistema di trasmissione

Una volta che abbiamo trasformato l’informazione, abbiamo questi tre apparati:

• Trasmettitore
• Canale
• Ricevitore

Il trasmettitore trasmette il segnale elettrico in maniera adeguata (rispetto ad esempio alla banda appropriata che è stata assegnata): questo permette a trasmettitori diversi di non interferire tra di loro. Quest’operazione di adattamento del segnale al canale viene chiamata "modulazione": utilizzare il segnale informativo per andare a modulare/modificare un parametro di un segnale sinusoidale, detto portante. Si parla di modulazione di ampiezza, fase e frequenza: ognuna di esse ha caratteristiche diverse in termini di banda richiesta, in termini di protezione del rumore, in termini di dispositivi elettronici. Altre operazioni che effettua il trasmettitore sono il filtraggio, l’amplificazione e l’invio (nel caso di trasmissioni wireless).

Il canale è lo spazio libero nel caso del wireless, altrimenti il canale è il mezzo fisico che attraversa il segnale (un cavo, o una fibra ottica, o il canale radio). Nel passaggio attraverso il canale, il segnale può essere degradato: l’aggiunta di rumore può essere dovuta all’ingresso del ricevitore dove c’è un’amplificazione (parliamo in tal caso di rumore termico, legato all’agitazione di elettroni che comporta un non perfetto equilibrio); oppure i temporali possono creare disturbi; oppure l’accensione di un motore può essere considerato un rumore generato dall’uomo; oppure possiamo avere disturbi dati dall’interferenza con la trasmissione di altri segnali.

Possiamo avere una degradazione del segnale quando ad esempio abbiamo una stazione radio posta in alto e il segnale che noi riceviamo è costituito da una componente diretta più la riflessione di oggetti circostanti, e quindi il segnale ricevuto viaggia attraverso un canale che introduce diversi ritardi. Quindi bisogna portare in conto questa distorsione del canale attraverso l’utilizzo di modelli matematici che la caratterizzano statisticamente.

Il ricevitore deve recuperare il messaggio informativo: "demodulare" il segnale significa estrarre il segnale informativo dal segnale ricevuto. Quello che si recupera è una versione degradata del segnale informativo, sia a causa di rumore che a causa di distorsioni. Per questo motivo tale componente si occupa anche di operazioni di filtraggio e soppressione del rumore.

Trasmissione analogica e digitale

Quello che abbiamo descritto fino ad ora, fa implicitamente riferimento all’assunzione che stiamo trasmettendo un segnale di natura analogica e che questa sorgente va a modificare con continuità un parametro di una portante (tipo ampiezza, fase e frequenza). La sorgente analogica può essere trasformata anche in informazione digitale e quindi possiamo utilizzare tecniche di trasmissione digitale.

"Informazione digitale": un segnale numerico assume valori appartenenti ad un insieme di dimensione finita (ad esempio una sequenza di bit è una sequenza numerica). Per trasmettere informazioni di natura numerica, quello che si fa è di associare a ciascuno dei possibili valori che può assumere in ogni istante il messaggio da trasmettere, una forma d’onda. Se ad esempio trasmettiamo un’informazione binaria associamo 2 forme d’onda: una al bit 0 e una al bit 1. Il ricevitore digitale, osservando la forma d’onda in ogni intervallo di trasmissione, con opportuni criteri, stabilirà se è stato trasmesso un bit 0 o un bit 1. Ovviamente, nel decidere a quale forma d’onda il segnale è associato, possiamo avere degli errori anche a causa delle distorsione a cui è stato soggetto il segnale stesso.

Un altro vantaggio del digitale sta nel fatto che, quando abbiamo una distanza lunga tra sorgente e destinatario, il collegamento viene suddiviso in tratte e alla fine di ogni tratta possiamo fare quella che si chiama "rigenerazione": possiamo demodulare e rimodulare con la sequenza che abbiamo deciso, il nostro segnale, e quindi possiamo ripulirlo dagli effetti del rumore. Attenzione però, perché potremmo andare a commettere degli errori e rigenerare simboli scorretti: possiamo evitare di far accumulare il rumore ma non possiamo evitare errori di simboli. Quest’operazione di demodulazione e rimodulazione, non la possiamo fare nel caso analogico.

Un altro motivo per cui è ragionevole scegliere la trasmissione digitale, sta nel fatto che il contenuto informativo può essere preservato associando al segnale un ridotto numero di simboli, risparmiando banda. Possiamo dunque effettuare quella che viene chiamata "compressione" ed andare ad eliminare la ridondanza nella trasmissione. Inoltre, i sistemi digitali spesso sono meno costosi da realizzare. In alcuni casi, il segnale da trasmettere è per sua natura digitale (ad esempio file di testo); però noi possiamo anche pensare di effettuare la conversione del segnale da analogico a digitale prima di effettuare la trasmissione, ed analogamente fare la stessa operazione dal lato ricevitore.

Estensione dei blocchi

Se estendiamo i vari blocchi:

• La codifica di sorgente permette di eliminare la ridondanza (algoritmi di compressione che permettono di comprimere il numero di bit necessari per trasmettere l’informazione).
• Con la codifica di canale, introduciamo ridondanza controllata per proteggere il segnale informativo dal rumore introdotto dal canale. Se io introduco nella sequenza numerica da trasmettere una ridondanza controllata (ad esempio ripeto un’informazione binaria più volta), e in ricezione ne tengo conto, posso abbattere notevolmente la probabilità di errore, migliorando le prestazioni.

La prestazione del sistema si misura con la probabilità di errore media per bit: dipende dalla caratteristica del codice, dalla potenza trasmessa, dal tipo di modulazione e demodulazione.

Se si desidera un’uscita analogica (il segnale originale era analogico, lo abbiamo trasformato in numerico e vogliamo recuperare il segnale analogico), dobbiamo effettuare un’interpolazione. Anche il processo di registrazione su un supporto e lettura, può essere visto come trasmissione e ricezione. Per ridurre gli effetti del rumore, possiamo (ma non necessariamente) aumentare la potenza in trasmissione: noi però abbiamo delle limitazioni sul segnale che andiamo a trasmettere sia a causa delle apparecchiature sia a causa della banda disponibile.

Shannon ha definito la capacità di canale, ovvero un valore di velocità di trasmissione al di sopra della quale non possiamo avere trasmissione. Avere la conoscenza di limiti teorici è importante perché se oggi trasmettiamo ad una velocità più elevata di quella dei giorni scorsi è legato al fatto che siamo ancora lontani dai limiti teorici di utilizzo di certi canali. I diversi canali hanno diverse caratteristiche di banda, attenuazione e distorsione.

(SLIDES introduttive su valori numerici comunicazioni radio) Il modello più semplice di canale che possiamo considerare è quello in cui abbiamo soltanto il rumore termico, dovuto all’agitazione degli elettroni: viene modellato come un processo aleatorio gaussiano bianco additivo (AWGN). Un modello più complesso, come le linee telefoniche, è quello in cui il segnale viene distorto in maniera lineare. In questo caso abbiamo un problema di distorsione da bilanciare.

Oppure nel caso di collegamenti in mobilità: Noi studieremo in dettaglio il modello con rumore additivo gaussiano bianco: modello realistico in diverse situazioni (ad esempio comunicazioni nello spazio libero).

Lezione 2 (01.10.2020)

Segnali passa-banda

La prima cosa che facciamo è trattare i segnali passa-banda (o anche detti a banda stretta), perché sono i segnali adoperati nelle trasmissioni, sia analogiche che numeriche. Vedremo anche come questi segnali, costituendo una generalizzazione del segnale monocromatico (singola frequenza, cioè sinusoidale puro), passano attraverso sistemi LTI. Il modulo della trasformata di Fourier è nullo, se ci allontaniamo da f di una quantità maggiore di W, con f una frequenza lontana dall’origine.

La trasformata è diversa da zero SOLO lontana dall’origine in un intorno di f. Nel primo caso nell’immagine f è proprio la frequenza di centro banda; nel secondo caso f è l’estremo; nel terzo caso f non appartiene proprio alla banda. La terminologia "passa-banda" fa riferimento al fatto che lo spettro è diverso da zero lontano dall’origine, per questo motivo tutti e 3 i casi nell’immagine sono esempi di segnali passa-banda.

Rappresentazione dei segnali passa-banda

Perché ci interessano questi segnali? Perché un’ampia gamma di segnali di trasmissione, sono fatti in questo modo. Vogliamo determinare una rappresentazione analoga a quella per i segnali sinusoidali. Un segnale monocromatico, ha una sola frequenza: Quello che si fa è introdurre il fasore: si associa al segnale x il numero complesso: Dato il sistema pilotato da questo segnale, con strumenti noti si trova il fasore di uscita e da esso si determina il segnale sinusoidale in uscita facendo l’operazione inversa da fasore a segnale.

Per rappresentare i segnali passa-banda, facciamo gli stessi passaggi e vediamo cosa succede. Questo come possiamo vederlo ottenuto? Il coseno si può vedere come la somma di due esponenziali complessi (uno a cui corrisponde un impulso centrato su f0, e l’altro a cui corrisponde un impulso centrato su -f0). Se voglio ottenere solo quello a frequenza f0, devo prendere la parte a frequenze positive (moltiplicando per un gradino), eliminando le frequenze negative, e moltiplico per 2 quelle positive: Per ottenere il segnale nel dominio del tempo, si ottiene facendo il prodotto di 2 per la convoluzione dell’anti-trasformata del gradino in frequenza e l’anti-trasformata del segnale.

La trasformata del gradino: Se a questa trasformata applico la proprietà di dualità Per il teorema di riflessione, una riflessione nel dominio del tempo, corrisponde ad una riflessione nel dominio della frequenza: Il segnale z(t) è un segnale complesso, perché X(f) è trasformata di Fourier di un segnale reale hermitiano, ma andando a moltiplicare per il gradino, si perde l’hermitianità, perché cancello le frequenze negative e quindi nel dominio del tempo ottengo un segnale complesso.

Trasformata di Hilbert

Questo segnale complesso si ottiene aggiungendo al segnale originario una parte jx(t), detta trasformata di Hilbert. Questo tipo di trasformata non comporta cambiamento di dominio, è una convoluzione nello stesso dominio. Vediamo cosa comporta questa trasformata di Hilbert. La trasformata notevole di: Non viene alterata l’ampiezza, viene alterata solo la fase. Quest’operazione, comporta una distorsione: l’assenza di distorsione equivale a modulo costante e fase lineare. Il passaggio ulteriore è quello di prendere lo spettro e valutarlo in f+f0: Se il segnale non è monocromatico, ma ha una banda intorno ad f0, succede quello che c’è in figura.

Nel caso di un segnale passa-banda il segnale non è costante, è lentamente variabile: abbiamo costruito un segnale il cui spettro è concentrato alle basse frequenze. L’inviluppo complesso è in generale anch’esso un segnale complesso. Un qualsiasi segnale passa-banda si può scrivere in questo modo qui: tutta la variabilità del segnale può essere vista come la somma di questi due contributi: Questo risultato è del tutto generale, è valida per un qualsiasi segnale passa-banda. Questa non è l’unica rappresentazione di rilievo di un segnale passa-banda, in realtà noi un numero complesso lo possiamo rappresentare anche in termini di modulo e fase, per cui: individuiamo modulo e fase, che dipendono da t perché il segnale è lentamente variabile, e possiamo scrivere la formulazione polare (in figura) Quando allora andiamo a scrivere il segnale analitico z(t):

Perché viene chiamato "inviluppo"? Perché ho un coseno rapidamente variabile con una fase lentamente variabile, ma questo coseno viene ad essere moltiplicato per un segnale lentamente variabile, vediamo che significa. Noi abbiamo trovato questa rappresentazione: Questo segnale essendo moltiplicato per A(t), è compreso tra A(t) e -A(t) perché il coseno al massimo vale 1 e al minimo -1. Questo segnale, disegnato opportunamente, oscilla rapidamente. Viene chiamato "inviluppo" perché varia rapidamente nell’ambito di una curva che varia più lentamente. Noi vediamo solo il segnale oscillatorio in realtà, però possiamo identificare questa curva che lo delimita che chiamiamo inviluppo.

Quindi un segnale passabanda o lo esprimiamo in termini di fase e quadratura, o in termini di inviluppo e fase istantanea. Dimostriamo che la segnale di Fourier del segnale passamanda si può scrivere come: Vediamo con un disegno quanto detto, per capire meglio: OSS: quando traslo a destra, traslo soltanto. A sinistra, prima lo rifletto e poi lo traslo. La riflessione è necessaria, se essa non ci fosse, non avremmo la simmetria hermitiana dello specchio originario.

Trasmissione dei segnali passa-banda

Occupiamoci ora della trasmissione dei segnali passa-banda attraverso sistemi passa-banda. Ho un segnale di ingresso passa-banda posto in un sistema anch’esso di tipo passa-banda, allora l’uscita data dal prodotto di questi due spettri, sarà anch’essa diversa da zero per frequenze lontano dall’origine, quindi sarà anch’essa passa-banda. La risposta in generale di un sistema LTI ad un ingresso: Noi vogliamo vedere se possiamo trovare qualcosa di analogo con riferimento agli inviluppi complessi. Y(f) abbiamo detto che è passa-banda, e di esso possiamo trovare nel dominio della frequenza l’inviluppo complesso: prendiamo Y(f), lo moltiplichiamo per 2 volte per il gradino in frequenza e trasliamo di f0

Ora l’inviluppo complesso relativo al segnale di ingresso: L’inviluppo complesso della risposta all’impulso: Se faccio il prodotto di queste ultime due: Se guardiamo la trasformata di Fourier dell’inviluppo dell’uscita, scritta sopra, per differenza: Questa è la trasformata di Fourier dell’inviluppo dell’uscita. Chiaramente, se torno nel dominio del tempo: Abbiamo trovato la relazione che esiste tra l’inviluppo di uscita, ingresso e risposta all’impulso. Tutti e 3 sono segnali passa-banda. Quindi quando un segnale passa-banda attraversa un sistema passa-banda, l’uscita è sempre un segnale passa-banda.

Per passare dall’inviluppo complesso al segnale effettivo: Questo tipo di risultato cosa ci permette di dire? Ci permette di dire che se io voglio trovare la risposta di un segnale passa-banda attraverso un sistema passa-banda, posso operare direttamente con i segnali passa-banda ma significa operare con segnali rapidamente variabili con tutti i costi che ne conseguono (più sono elevate le frequenze di clock, più i dispositivi da usare sono complessi e costano); invece, io posso dal segnale originario di ingresso e dalla risposta all’impulso, estrarre l’inviluppo complesso che è un segnale lentamente variabile, elaborare questo inviluppo complesso e quindi fare la convoluzione (ma con segnali lentamente variabile), e infine ottengo l’uscita rapidamente variabile prendendo la parte reale. Quindi di tutta questa rapide variazioni di x,h, in realtà sono legate a lente variazioni traslate intorno ad f0: basta considerare queste lente variazioni per elaborare quello che ci serve, il che agevola quello che dobbiamo farlo, rendendo tutto meno complicato e soprattutto meno costoso.

Lezione 3 (05.10.2020)

Esercizio 1

Dobbiamo determinare l’inviluppo complesso dell’uscita e in particolare la sua trasformata di Fourier. L’ingresso può essere rappresentato come il prodotto tra Vx e il coseno (vedi lezione scorsa). La prima cosa che facciamo è quella di ricavare l’inviluppo complesso della TF di H: moltiplico per il gradino e per 2, e traslo a sinistra di f0 (quindi intorno all’origine). Se invece di f, considero f+f0 e lo inserisco in teta(f), il secondo termine scompare, allora: È chiaro che il gradino è pari ad 1 dove l’esponenziale è diverso da 0: quindi il gradino possiamo toglierlo. Vediamo meglio questa cosa con un rapido disegno. Il nostro sistema intorno ad f0 è circa costante in un intervallo di ampiezza 2B, ed è pari ad A(f0) e la fase è lineare intorno ad f0. Noi dobbiamo prendere 2u (f+f0)*H(f+f0)-1

Se prendo la parte a frequenze positive e la traslo in basso di f0 (cioè il comportamento intorno ad f0 lo ottengo intorno all’origine) ed ho un gradino che parte da -f0: Però il gradino è 1 dove la H è diversa da zero, quindi possiamo togliere il gradino. Quindi otteniamo: La trasformata dell’inviluppo dell’uscita è Questa è la TF dell’inviluppo complesso, tornando nel dominio del tempo: -A(f0) è una costante, quindi può andare fuori sia dell’antitrasformata che dalla convoluzione: quindi ho la convoluzione tra x e l’antitrasformata dell’esponenziale.