Teoria Scienza delle costruzioni - parte 2

Nella fase lineare la deformazione è costante.

Superato il limite di proporzionalità si avrà la strizione del materiale.

Da pendenza della retta di comportamento lineare - reversibile è data da E

che è chiamato modulo di Young. [N/m²]

* proporzionalità tra sforzo e deformazione

σ = εE

Comportamento simmetrico a trazione e compressione

Prova su materiale fragile

- A trazione il comportamento è lineare fino a rottura. Frattura netta in direzione ortogonale alla sollecitazione applicata.

- Limite di proporzionalità a trazione molto minore di quello a compressione.

σ_c ≫ σ_t

- Dopo σ_c l'andamento non è più lineare - reversibile.

Ciò che si osserva sul provino compresso una volta superato il limite di proporzionalità è la formazione di fratture orientate in direzione parallela all'asse della trave. Nella parte non lineare la pendenza allo scarico è diversa dalla pendenza al carico.

Coefficiente di Poisson

Ciò che accomuna comportamento a trazione e comportamento a compressione è la fase iniziale; per deformazioni piccole:

σ = εE - Eε_t = ν (μ_s)

ε = di trasversale

ε = def. longitudinale

Questo coefficiente è generalmente molto piccoloper materiali fragili

• perché in direzione longitudinale si allungano in direzionetrasversale d'acciaio

• Per materiali duttili le quantità sono più significative

ε, γ parametri principali per individuare lecaratteristiche del materiale, e ci permettonodi definire le relazioni tra sforzo e deformazione.

MATERIALE ELASTICO LINEARE ISOTROPO

Assumiamo che il materiale sia isotropo estraiamoun elemento da campione e applichiamo lo sforzoδy, la deformazione sarà sia parallela sia trasversalealla direzione del carico.

• parallela: ε_y = δy / Ẹ
• trasversale: ε_x = - ν ε_y, ε_z = - ν δy / Ẹ

Nel caso 3D avremo: ε_z = -ν δy - ε_x

Applicato lo sforzo in direzione x:

ε_x = 6x / Ẹ, ε_y = -ν (6x/Ẹ), ε_z = -ν (6x/Ẹ)

Avremo dilatazione nelladirezione di sollecitazionee contrazioni nella direzionetrasversale allasollecitazione.

Considero sollecitazioni su entrambe le direzioni:

ε_x = 6x / Ẹ, 6y / Ẹ, ε_y = 6x / Ẹ, ε_z = -ν 6x / Ẹ - ν (6y / Ẹ)

Non ci sono deformazioni lungo z.

matrice costitutiva di un materiale elastico, lineare isotropo.

isotropia = esistono relazioni tra sforzi e deformazioni uguali in tutte le direzioni

→ lega le componenti indipendenti di σ_ij alle deformazioni

C deve essere invertibile, det C ≠ 0.

C è simmetrica e deve essere sempre simmetrica anche per materiali anisotropo.

elasticità: C simmetrica.

C definita positiva (∀^t σ ε > 0)

MATERIALI ELASTICI DENSITÀ DI ENERGIA DI DEFORMAZIONE

Noi definiamo materiale elastico se si riesce a definire questa funzione:

ω = ∫₀^ε 6 · dε

Funzione integrale definita da uno stato iniziale una formulata ad uno stato finale. È definita:

ω = ∫₀^ε 6 · dε =

= 6_xxdε_xx + 6_yydε_yy - 6_zzdε_zz + 6_xydε_xy

+6_yzdε_yz + 6_zxdε_zx + 6x_xdε_x

+ 6y_ydε_y + 6z_zdε_z + 6y_xydε_xy

- (12ε_xydε_xy = 6x_ydε_y = 6ε_ydε_y)

ω > 0

ω: funzione di stato (i.e. valore di ω dipende solo dello stato finale e da quello iniziale e non da percorso della deformazione)

ω: energia immagazzinata nel processo di deformazione

ω>0 richiede C definita positiva

ω è funzione di stato → C è simmetrica

Rappresentiamo le sollecitazioni sul piano xy:

Mz sarà funzione lineare di x

Per una generica lunghezza x per equilibrio avremo:

Mt = Mz0 - Tyx

Una condizione d'equilibrio analogo deve valere sul piano xz:

My = My0 + Tzx

Inoltre si considererà la coppia di momenti che agiscono intorno all'asse x detta momento torcente (unità di forma).

Da queste considerazioni dobbiamo risalire alla effettiva distribuzione degli sforzi che agiscono su questo solido.

Nella versione di Cauchy le sforze vengono rappresentate tramite le risultanti e i momenti risultanti degli sforzi.

Questi sforzi sono associati alle azioni interne attraverso equazioni di equilibrio globali:

N = ∫_A 6σ_xx dA

T_y = ∫_A 6σ_xy dA

T_z = ∫_A 6σ_xz dA

Le stesse considerazioni valgono per i momenti:

6σ_xx suggerisce una rotazione antioraria come concorde con Mz

Mz = ∫_A 6σ_xx y dA

My = ∫_A 6σ_xx z dA

Sezione sul piano zy

Mx = ∫_A (6σ_xx z y - 6σ_xy z) dA

Ipotesi: Mf costante

tagli nulli

La distribuzione degli sforzi è data dalla somma di

• 3 funzioni additive
• 1 fini costante e 2 lineari che non sono accoppiate tra di loro.

Distribuzione degli sforzi normali all'asse della trave.

Possono considerare singolarmente parametri N, M_z, M_y.

Formula di Navier - Sforzi Normali

Gli grafici rappresentano la distribuzione degli sforzi.

La formula di Navier vale quando consideriamo assi.

x asse della trave e y_z assi principali di inerzia.

La posizione in cui gli sforzi sono nulli individua l'asse neutro (6σ_x=0).

N/A - M_zy/I_z + M_yz/I_y=0

La formula definita da Navier deriva da considerazioni geometriche.

Sforzi di taglio

Determinare le contributo dovuto al taglio. Le tensioni degli sforzi tangenziali possono essere viste come integrali di τx/z e 6σ_x.

Possono calcolarsi con la propria conduzione di equilibrio.

Asse neutro

L'asse neutro è definito dalla condizione 6σ_x=0.

Le regioni di trazione e compressione sono divise dalla

z = b₂ sono u/c

z = -b₂ sono u/b

Sezioni in parete sottile con corda ortogonale alla linea media

a = sviluppo linea media

BC = corda ortogonale alla linea media

Le tensioni tangenziali più importanti sono quelle che si sviluppano lungo la linea media.

Tensioni ortogonali alla corda BC.

Ci sono più limitazioni sulle sezioni campate che sulle sezioni sottili.

• Conventoni

6xs = TySt>0 entrante

Ixb