Teoria importante di Analisi matematica 2

ANALISI MATEMATICA 2

Curve ( )

( ) ( ) ( ) ( )

⃗ = ⃗ ⃗ ⃗

r t r t , r t ,… , r t

Notazione Vettoriale: 1 2 n

{ =x(

x t) ϵ[t

⃗ ]

r : t , t

Notazione Parametrica: = (t )

y y 1 2

=z(t)

z m

Def. Si dice sostegno (o supporto) di un arco di curva l’insieme

⃗

r : I → R

immagine

|

{

( )= ( ) ϵ m

⃗ ⃗ } Def. Sia un arco di curva continua:

r I r t r I ⃗

r :[a , b]→ R

( )=⃗ ( )

⃗

- si dice chiuso se r a r b

- si dice semplice se non si auto-interseca, eccezion fatta per gli estremi. Cioè

[ ] ( ) ( )

∃t ϵ ⇒t

⃗ =⃗ =a =b =b =a

, t a , b ,t ≠ t tale che r t r t , t oppure t , t

se 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

- si dice piano se il sostegno è contenuto in un piano.

Derivata di una Funzione Vettoriale

∈

t I

m

Sia , . Sia .

m≥ 2

⃗

r :I → R 0 t

⃗

Si dice che è derivabile in se esiste il limite

r 0

( ) ( )

⃗ +h −⃗

r t r t ( )

0 0 ⃗

r ' t

m Questo limite si indica con e prende il nome di

∈

lim R 0

h

h→ 0

Vettore Derivata.

Una funzione è derivabile se e solo se lo sono le componenti.

m

Def. Sia , .

m≥ 2

⃗

r :I → R ⃗

1

⃗ ( )

La curva si dice regolare se e

⃗ ∀ ϵ

r t I :⃗

r ' t ≠ 0

ϵC (

r I)

⃗ | | 1

Poiché, per si ha che una curva di classe è regolare se e

⟺

⃗ = ⃗ =0

v 0 v C

| |

( )

⃗

solo se r ' t ≠ 0

Def. Una curva si dice regolare a tratti se è unione di un numero finito di curve

regolari.

Def. Curva Grafico 2

Sono le curve (in che parametrizzano il grafico di una funzione di una

¿

R

variabile a valori reali. Data , il grafico di è

f : I → R f

|

{ 2

( )

⌈ ∈ ∈

= ( )}

x , y R x I , y=f x

f { ( )=t

x t ϵ[a

⃗

r : t , b]

La curva grafico di è ,

2

f ⃗

r :I → R ( )=f (t)

y t

Curve Piane in Coordinate Polari

Le curve piane in coordinate polari sono descritte dall’equazione polare

( ) ∈

⃗

r : ρ=f θ ,θ I

che individua il punto del piano di distanza dall’origine e angolo con

ρ θ

l’asse delle ascisse. √

(N.B. dal teorema di Pitagora: )

2 2

+

ρ= x y { ( )=f ( )

x θ θ cos θ

⃗ ϵ [a ]

r : θ , b

L’equazione polare si scrive come segue: ( )=f ( )

y θ θ sin θ

Integrale per Funzioni a Valori Vettoriali

m

Def. Sia , , una curva continua.

m≥ 2

⃗

r :[a , b]→ R [ ] ( )=(r ( ) ( ))

∀ ϵ ⃗

t a , b : r t t , … , r t

Supponiamo che . Si definisce l’integrale di una

1 m

funzione a valori vettoriali uguale al vettore che ha come componenti gli

integrali delle funzioni componenti.

( )

b b b

∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )

⃗ =

r t dt r t dt , … , r t dt

1 m

a a a

Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale b

∫

m ( )−⃗ ( )= ( )

Sia , , una curva di classe C . Allora

1 ⃗ ⃗

m≥ 2

⃗ r b r a r ' t dt

r :[a , b]→ R a

b

∫ ⃗

Osservazione. ( )

⇒

⃗

Sia una curva chiusa ⃗

r r ' t dt= 0

a

Lunghezza di una Curva

m

Sia , . Sia γ il suo sostegno. Fissata una partizione P di

m≥ 2

⃗

r :[a , b]→ R

[a,b], si associa a P una poligonale inscritta in γ costituita dai segmenti che

uniscono i punti della partizione. Si assegna la lunghezza della poligonale

N

∑ | |

( )

( ) = ⃗ −⃗ (t )

l P r t r

i i−1

i=1

⃗

Def. è rettificabile se ℓ(γ):=sup{ℓ(P):P è una poligonale inscritta in γ}

r

( ) ∈

l P R

Teorema di Rettificabilità di Curve [ ]

1 ( )

m ⃗ ⃗

Sia , . Sia γ il suo sostegno. Se , allora è

m≥ 2 r

⃗ ∈C

r a , b

r :[a , b]→ R

rettificabile. b

∫ '

( )

Inoltre = ¿ ⃗ (

l γ r t)∨dt

a m 1

Def. Sia , , arco di curva di classe di sostegno .

m≥ 2 γ

⃗

r :[a , b]→ R C

m

Sia con tale che . L’integrale di linea di prima specie

f : A → R γ c A

A c R

di lungo è:

f γ

b

❑ | |

∫ ∫ ( ) ' Proposizione.

( ) ( )

∶= L’integrale di linea di lungo è

⃗ ⃗ f γ

f ds f r t r t dt

γ a

invariante per parametrizzazioni equivalenti e per cambi di orientazione.

b

❑ | |

∫ ∫ ( ) '

Dimostrazione. ( ) ( )

∶=

L’integrale di linea di prima specie è ⃗ ⃗

f ds f r t r t dt

γ a

~ ( )

( )=r ( ) ( )=t

Se cambio parametrizzazione e scrivo: ,

r u φ u :φ u

~

~ ( )

' ' '

( ) ( ) ( )∨¿

' ( ))φ

Allora: , quindi: .

¿ ∨¿∨r ∨¿

r u φ u φ u

(u)=r ( (u)

r ' φ u '

Il punto fondamentale è il valore assoluto. Se cambio verso di percorrenza,

' ( ) , però il valore assoluto elimina il segno. Quindi l’integrale di linea di

<0

φ u

prima specie non cambia se percorro la curva al contrario.

□

Formule di Frenet-Serret

3

Sia curva regolare di classe C , parametrizzata per lunghezza arco.

3

⃗

r :I → R

Allora:

{ ⃗ )⃗

' ( )=k (s (

T s N s)

⃗ ⃗ ⃗

' '

( )=−k ( ) ( )−τ dove è una funzione scalare che prende il

=τ (s)

τ

(s) (s)

N s s T s B

⃗ ⃗

' ( )=τ (s) (

B s N s)

nome di torsione e misura la tendenza della cruva ad uscire dal piano

osculatore. ~

~

Piano Osculatore: Dato un istante , il piano passante per di direzioni

⃗ (

t r t)

~ ~ ~

⃗ ⃗ ( )

⃗

e si dice piano osculatore della curva in è il piano più

( ( r t :

T t) N t)

vicino localmente a una curva.

⃗

Quindi ci dà informazioni sul piano osculatore e se varia vuol dire che la

B

curva non rimane sullo stesso piano.

Dimostrazione delle Formule di Frenet-Serret

( )

Supponiamo che . Ipotesi necessaria altrimenti il versore normale

k s ≠0

principale non sarebbe definito. ⃗ ⃗

' ( )=k ( ) ( )

Dim 1. Vogliamo di