Teoria Geometria e algebra lineare

DEF

Dato G insieme munito di operazione interna, esso è un GRUPPO se:

1. ASSOCIATIVA (a+b)+c=a+(b+c) ∀a,b,c∈G
2. ESISTENZA NEUTRO e∈G sest a+e=a ∀a∈G
3. ESISTENZA OPPOSTO ∃ a'∈G sest a+a'=e ∀a∈G
4. COMMUTATIVA a+b=b+a ∀a,b∈G

PROP 1

Si dimostra che (ℝ(+)) è un gruppo abeliano

PROP 2

Si dimostra che ℝ(·) non è un gruppo abeliano perchè a=0 non ha reciproco (le 3) non è valida). Per cui se voglio eseguire questa legge di composizione devo farlo su ℝ-{0}(·)

PROP 3)

(ℕ(+), non è un gruppo (le 3) non è valida)

DEF

Doto G(+) e G(-) gruppi abeliani, posso creare una struttura più complessa detto CAMPO dove in G₁(+) e G₂(-) vale la doppia legge distributiva:

• a·(b+c) = a·b+a·c
• (a+b)·c = a·c+b·c

PROP a)

A = {1, 1, ..., 1} ⊆ ℚ è un GRUPPO FINITO (di cardinalità n ∈ ℚ)

PROP b)

ℤ_p è un CAMPO FINITO (con p = n° primo)

DIM

Considerando m (un numero), i resti che la divisione (∀a∈ℤ)/m varia (m-1) creo un insieme di classi di numeri a chi diviso per m danno il stesso resto ℤm = {0}, {1}, ..., {m-1};

Si osserva che in ℤm esiste (+) e (·). [a][±] [b] = [± a± b]

Si dimostra facilmente che ℤ₂ e ℤ₃ sono CAMPI mentre in ℤ₄ no perché: ℤ₄(+) nonostante forma un gruppo abeliano in ℤ₄-{0}(·) non vale la 3)

DEF

Lo spazio vettoriale è una struttura algebrica su IR dove:

• V ≠ ∅
• V {+}
• V (∙) esterna
• V (t) interna

(u+v)+z = u+(v+z) ∙ A.S. (u+v)+z = u+(v+z) ∙ A.S.

• (u+v) + z = (u+v) + z ∙ F.A.
• (u+v) = 0V ∙ F.DIST.
• (α+β)v = αV+βv ∙ F.ES.NEUTRO
• V + 0 = V ∙ F.ES.NEUTRO
• u+0v = u ∙ ES.NEUTRO
• u-v = 0V ∙ ES.OPPOSTO
• u+v = v+u ∙ COMMUTATIVA

⇒ V(ℕ) ABELIANO

DEF (A)

IRⁿ ∙ spazio vettoriale fondamentale: V(spazio) + E(.|.)

a ∙ V = (x₁, x₂,...,xn) + (y₁, y₂,...,yn) = (x₁+y₁, x₂+y₂,...xn+yn)

2(u) = a(x₁, x₂,xn) = (2x₁, 2x₂,...dxn)

DEF (B)

L'insieme di funzioni di doppio zero: V: f: IR -> IR {./.} ∙ spazio vettoriale (⊔ ⊕ ⊚)

(f * g) (x) = f(x) * g(x)

(α ∂) (x) = ∂(f(x))

DEF (C)

L'insieme : mmx su IR ∙ Mₘₙ(IR) ∙ spazio vettoriale

DEF (D)

L'insieme di polinomi con coefficienti scene (a₁) ∙ spazio vettoriale su IR

p = an = xn + a₁xn⁻¹ + ... + a₁x + a₀

q = bn = xn + bn₁xn⁻¹ + ...+bnx+bx₀

p + β = xⁿ(an+bn) + xⁿ¹(an₁+bn₁) + x (an₁+b₁) + a₀+b₀

p:α = a an xⁿ : a an xⁿ⁻¹ -...da.xₐ + a₀

DEF (E)

V₀ l’insieme dei: vettori liberi. Nel w e ∑ ∙ spazio vettoriale ℝ = IR

Vettori liberi sono quelli che hanno origine di: Ciplemento l'origine:

A (a₁, a₂), B (b₁, b₂) , u = =OA , V = =OB

u + v = =OA + =QB = =QC dove C (c₁, c₂) { C₁ = a₁+b₁ C₂ = a₂+b₂

2u = 2 OA = 2 (a₁, a₂) = (2a₁, 2a₂)

DEF Nell'insieme di S vettori v e w delle comb. lineari. che

garemo le w e sono GENERATORI. formo pare o i

Span S) v = λ₁ v₁ + . . . + λ_n v

DEF I vettori v₁ v₂ . . . v_n sono L1 se,

• h₁ v₁ + h₂ v₂ + . . . h_n v_n = 0V <=> h₁, h₂ . . . hn = 0 IR

DEF I vettori v₁ v₂ . . . v_n sono L0 se :

• h_i v_i + . . . + h_n v_n = 0V <=> h₁, h₂ , . . . hn ∈ OR

e.g.) Se h_i ≠ 0 => v_i = - _{h2 v2 + . . . + hn vn} /_hi

DEF I vettori v₁, v₂, . . . v_n sono BASE di S : < genero lo S

DEF e.g. s.colorate, h₁ h_n sono le COMPONENTI RISPETO ALLA BASE {v₁,v₂

e.g. w = h₁ v₁ ; h₂ w₂

DEF I vettori v₁, v₂ . . . v_n base di V espiranno in uno maudo le

comb. lineari, quado le copointe sono UNICAMENTE DETERMINATE

DIM Se v = λ₁ v₁ + λ₂ v₂ ∈ V = μ₁ v₁ + μ₂ v₂

e auuegos. _{left ( espreuo e nothogg ( λ1 V + λ2 V2}

_{U bos fa bonoste distituta @0r}

(λ₁ - μ₁) v₁ + (λ₂ - μ₂) v₂ = 0V_{we :} (0 , 0 ) <=> | λ₁ - μ₁ = 0 )

_{( @} | λ₂ - μ₂

|λ₂ - μ₂

CVD

DEF La DIMENSIONE di V ( dim V ) e' 1 numero di elemt di una bom

LEMMA v₁, v₂, . . . v_m (.

w₁, w₂ . . . w_n generatori | V | m ≤ n

TEOREMA I diverse bom di V hamo Lo steso numero di elumeri.

DIM |v₁, v₂, . . . v_{m Le bom V}

re feque

|w₁, w₂, . . . w_{n base V}

{v₁, v₂, ...v_m} e : _>

{w₁ w₂ . . . wn}|: { generatori

=> m = n

DEF. Det V e W spazi vettoriali su K. dim V = n, dim W = m e {v1, v2, ..., vn} base V, {w1, w2, ..., wm} base W. Posso costruire dalla funzione f: V -> W una matrice A mnx. Dove aij sono le componenti di A rispetto w base W.

CASO PARTICOLARE 1. Nel caso V = Rⁿ con la base canonica {ei} = {e1, ..., en} di Rⁿ e f: Rⁿ -> Rⁿ allora la matrice A f rispetto a tutte basi canoniche è una matrice che ha colonne {f(e1), f(e2), ..., f(en)}

CASO PARTICOLARE 2. Nel caso f: V -> V (ENDOMORFISMO) con basi {v1, v2, ..., vn}, A f è a per lo spazio partenza da quello arrivo. Le A f ha colonne delle componenti f(vi) rispetto una stessa base.

PROP 8.1) Dato f: V -> V e provo che la matrice associata ré un ENDOMORFISMO e NON è IDENTICA rispetto alla stessa base, con colonna con In.

PROP 8.2) Le matrice A f rispetto a ad un endomorfismo identico con la base e indici e {vi, vj, ..., vm} è uguale a quello del cambiamento di base.

PROP 9) Se spazi vettoriale d (V, W) e M mn sono ISOMORFI, questo perché d (V, W) e uno spazio vettoriale e che è possibile associare ogni elemento f: V -> W una matrice A f di M mn.

CASO PARTICOLARE 3. Se d (V, V) è omomorfismo allora End V posso cercare θ: End V -> M mn è ISOMORF dove θ(f) = A f.

Si prova che: 1) θ è appo lineo 2) θ è iniettivo perché è isomorfe e ammette inverse θ^-1 3) θ^-1 è appo lineo 4) se f è End V è invertibile allora anche A f è invertibile

PROP 1)

Se f V→V dim V=n

• f diagonalizzabile (s) tutte le matrici autoed sei λ diagonalizz.

f diagonalizzabile s (f ha V ; x_i ; i=1...n) base di autovett.

CRITERIO DIAGONALIZZ.

A dato A

DIM f ℝⁿ → ℝⁿ A rispetta base canonical ℝⁿse A possiede n auto.\A diagonalizz.

DIM f ℝⁿ → ℝⁿ A rispetta base canonical ℝⁿse A possiede n auto.A diagonalizz.

PROP

Se A ha n autoval. di λ₁, λ₂, dim distinct, suppon. che A...

DIM La D= diagonal degli autoval corrisponde alla MATRICE del CAMBIAMENTO di BASE fra {v_i} e {e_i}

→ la C f_apre A e multi una lype b box avere

CRITERIO DIAGONALIZZ 2

A diagon attorbile A diagonizzabile → x₁ ℝ

• mult. opech li = mult geom di : dim E_x

→ D = mult autovalor → C = mult con contore autovett. box di tuni a rsport. E_s