Teoria geometria

Teorema di Kronecker

Se A è una matrice m×m, allora:

rang(A) = r  ⇔  ∃ un minore di ordine r, H_r, con det(H_r) ≠ 0      Tutti gli orlati di H_r hanno det = 0

Complemento algebrico

Si dice complemento algebrico di a_ij il determinante della matrice di ordine m-1 che si ottiene da A eliminando la i-esima riga e la j-esima colonna, preso con segno + o - a seconda che i+j sia dispari o pari.

Minore di ordine r

Sia A di tipo m×n, sia r ≤ m, r ≤ n, si dice minore di ordine r ogni matrice estratta da A ottenuta prelevando gli elementi comuni ad r righe e ad r colonne di A.

Rango

Si dice rango di A l'ordine massimo di un minore astratto con det ≠ 0. Ovvero, ∃ un minore di ogni ordine r con det ≠ 0   Tutti i minori di ordine r+1 hanno det = 0

Orlato

Si dice orlato di M ogni sottomatrice di ordine r+1 ottenuta sovrapponendo M con una riga e una colonna di A non appartenente né ad M.

Teorema di Cramer

Un sistema di equazioni lineari con m×n ammette una sola soluzione se e solo se det(A) ≠ 0. Tale soluzione k₁, k₂, ..., k_n si ottiene nel modo seguente:

k_i = det(A_i) / det(A)   per i=1,...,n

det(A_i) è il det della matrice ottenuta da A sostituendo la i-esima colonna con quella dei termini noti.

Teorema di Rouché

Un sistema lineare di m equazioni in m incognite è compatibile (ammette soluzioni) se e solo se rang(A) = rang(A,B)

Gruppo

G(+, *) si dice gruppo se è un insieme con un'operazione interna, che indichiamo con *, e che soddisfa le seguenti proprietà:

• Associatività: a*(b*c) = (a*b)*c   ∀a,b,c ∃ G
• Esistenza dell'elemento neutro: ∃ e ∃ G, a*e = e*a = a   vale ∃
• Esistenza del reciproco: ∃ α ∃ G, a*α = α*a = α   vale ∃

Gruppo abeliano

G(+, *) si dice gruppo abeliano se vale anche la seguente proprietà:

• Commutativa: a*b = b*a

Campo

G si dice campo se è un insieme in cui sono definite 2 operazioni, che indichiamo con "+" e "*", tali che:

• Gruppo (G,+) è gruppo abeliano con elemento neutro ε
• Gruppo (G-{ε},*) gruppo abeliano
• Appaiamento distributivo rispetto alla ∀a,b,c a(b+c) = a*b + a*c

Teorema di Kronecker

Se A è una matrice m x m, allora:

rang (A) = r <=> ∃ un minore di ordine r, H_r, con det(H_r) ≠ 0

Tutti gli orlati di H_r hanno det = 0

Complementi algebrici

Si dice complemento algebrico di a_ij il determinante della matrice di ordine m - 1 che si ottiene da A eliminando la i-esima riga e la j-esima colonna, preso con segno + o - a seconda che i+j sia pari o dispari.

Minore di ordine r

Sia A di tipo m x n, sia r ≤ m. r ≤ n si dice minore di ordine r ogni matrice estratta da A ottenuta prelevando gli elementi comuni ad r righe e r colonne di A.

Rango

Si dice rango di A l'ordine massimo di un minore estratto con det ≠ 0, ovvero ∃ un minore di ordini t con det ≠ 0

Tutti i minori di ordine t + 1 hanno det = 0

Orlato

Si dice orlato di M ogni sottomatrice di ordine t + 1 ottenuta aggiungendo a M con una riga e una colonna di A non appartenente al M.

Teorema di Cramer

Un sistema di equazioni lineari con m = n ammette una sola soluzione x se e solo se det(A) ≠ 0. Tale soluzione k₁, k₂, ..., k_n si ottiene nel modo seguente: k_i = (K_i) / det(A) con i = 1, 2, ..., n

K_i di det della matrice ottenuta da A sostituendo la i-esima colonna con quella dei termini noti

Teorema di Rouché-Capelli

Un sistema lineare di m equazioni in m incognite compatibile (ammette soluzioni) se e solo se rang(A) = rang(A, B)

Gruppo

G(+) si dice gruppo se è un insieme con un'operazione interna, che indichiamo con (+) e che soddisfi le seguenti proprietà:

• Associativa: (a + b) + c = a + (b + c); ∀a, b, c
• Esistenza dell'elemento neutro: ∃e ∈ G, a + e = e + a = a
• Esistenza del reciproco: ∃a' ∈ G, a + (a') = e

Gruppo abeliano

G(+) si dice gruppo abeliano o vale anche la seguente proprietà:

• Commutativa: a + b = b + a

Campo

G si dice campo se è un insieme in cui sono definite 2 operazioni che indichiamo con (+) e (*), tali che:

• Gruppo (G, +) è un gruppo abeliano con l'elemento neutro e
• Gruppo (G*, *) è un gruppo abeliano gruppo abeliano
• Le due leggi sono ovviamente distributive rispetto alla a (b+c)=a*b+a*c

Spazio vettoriale

In uno spazio