Teoria Fondamenti di algebra lineare e geometria

F

Data una famiglia = v , v , . . ., v (finita, non vuota) di vettori in uno spazio vettoriale V , il

1 2 r K

sottospazio generato da

F ⟨F ⟩ ∈

è = { x v + x v + … + x v | x , x , …, x K}.

1 1 2 2 r r 1 2 r

19. Definire la nozione di base di uno spazio vettoriale.

Una base di uno spazio vettoriale V è una famiglia di generatori di V, linearmente

K

indipendente.

20. Definire le coordinate di un vettore rispetto ad una base finita di uno spazio vettoriale.

B

Se u e = v , v , . . ., v sono rispettivamente un vettore e una base di uno spazio vettoriale

1 2 n = + + ⋯ +

V , gli scalari x , x , …, x soddisfacenti ovvero univocamente

K 1 2 n 1 1 2 2 B.

determinati, prendono il nome di coordinate del vettore u rispetto alla base

21. Enunciare il teorema dello scambio.

= , , … ,

Sia una famiglia di generatori di uno spazio vettoriale . Sia poi

1 2

= , , … , ≤ .

una famiglia linearmente indipendente in . Allora Inoltre, in G è

1 2

− , , … ,

possibile scegliere vettori in modo che

1 2 −

< , , … , , , , … , > =

1 2 1 2 −

22. Enunciare la formula di Grassmann. ,

La formula di Grassmann è valida per due sottospazi finiti di uno spazio vettoriale

1 2

+

: dim( ) + dim(W ∩ W ) = dimW + dimW .

1 2 1 2

1 2

23. Definire la nozione di funzione lineare. →

Siano spazi vettoriali costruiti sul medesimo campo K. Una funzione L : V W si

∀h ∈ ∀ ∈

dice funzione lineare se K : v, v’ V :

(i) L(hv) = hL(v);

(ii) L(v+v’) = L(v)+L(v’).

24. Definire la nozione di nucleo di una funzione lineare.

→ ∈

Il nucleo di una funzione lineare L : V W è kerL = {v V | L(v) = 0 }.

W

25. Definire la matrice associata ad un'applicazione lineare tra due spazi vettoriali di

dimensione finita, rispetto a basi date per il dominio e per il codominio.

′

→ ℬ, ℬ ,

Data una funzione lineare L: V W e due basi per gli spazi vettoriali la

ℬ

′

ℬ ℬ = ( , , … , ) ℬ = , … ,

matrice associata a L rispetto è dove

( ) ( ) ( ) 1

ℬ′ 1 2

′

∀ ∈ , è la colonna delle coordinate di rispetto ℬ

e →

26. Date un'applicazione lineare L : V W, una base B per il dominio, una B' per il codominio

∈

e un vettore v V, descrivere con una formula la relazione esistente tra le colonne delle

coordinate di v e di L(v).

La relazione tra le colonne delle coordinate di un medesimo vettore rispetto due basi

ℬ

′

ℬ, ℬ = ∈

di è: , V.

()

ℬ′ ℬ

ℬ M

= ( , , … , )

dove (m × n, K) dove se noi ponessimo L= è

( ) ( ) ( )

ℬ′ ℬ′

1 2

chiamata matrice di cambiamento di coordinate.

27. Definire la matrice di cambiamento di coordinate in uno spazio vettoriale di dimensione

finita. ℬ ( ),

= , , … , ℬ = , , … ,

Matrice di cambiamento di coordinate: dove e

1 2 1 2

ℬ′ ′

∀ ∈ , è la colonna delle coordinate di rispetto ℬ ; è la colonna rispetto ℬ.

28. Descrivere, per mezzo di una formula, la relazione esistente tra le due n-ple delle

coordinate di un vettore in uno spazio vettoriale n-dimensionale, rispetto a due basi di .

ℬ ℬ ( ),

= , ∈ = , , … , ℬ = , … ∀ ∈ ,

, dove

1 2 1

ℬ′ ℬ′ ′

è ℬ

29. Definire la nozione di rango di una matrice.

∈ ℳ( × , )

Il rango di una matrice è la dimensione del sottospazio di generato

1 2

() = < ⟨ , , … , >.

dalle colonne di A:

30. Date due matrici A e B, delle quali si possa fare il prodotto, enunciare una relazione tra il

rango di A, di B e di AB, sia nel caso generale che nel caso in cui B sia una matrice quadrata

invertibile.

(i) Se si può fare il prodotto delle matrici A e B, allora rk(AB) ≤ rkA; rk(AB) ≤ rkB.

(ii) Se A è una matrice m × n, B è invertibile d’ordine m e C è invertibile d’ordine n, allora

rk(BA) = rkA = rk(AC). ′

→ ℬ ℬ

(iii) Data una funzione lineare L : V W, basi finite di, rispettivamente, V e W ,

K K

ℬ

= dim

vale ℬ′ M(n

∈

(iv) Per ogni A × n, K), A risulta invertibile se, e solo se, rkA = n.

DIMOSTRAZIONI

1. Dimostrare che, se A e B sono due matrici quadrate d'ordine n, invertibili, ad elementi in un campo

−1 −1 −1

() =

K, allora anche AB e invertibile e .

−1 −1

Dim.: poniamo X = AB e Y = . Usando più volte la proprietà associativa del prodotto tra

matrici, si ottiene:

−1 −1 −1 −1

) ( )

( = =

XY = = I

m

−1 −1 −1 −1

( ( )

) = = =

YX= I

m

Quindi X è invertibile e Y è la sua inversa.

2. Dimostrare l’esistenza degli elementi neutri per le due operazioni nel campo complesso, nonché

l’esistenza di un opposto di ogni elemento e di un inverso per ogni elemento non nullo.

Cerchiamo gli elementi neutri. Per la somma, ⊕

∈ ℂ ∀(a; ∈ ℂ

cerchiamo (c; d) tale che b) valga (a; b) (c; d) = (a; b).

′ ′ ′ ′

(, ( )

; ℂ ∀(, ) ∈ ℂ ) ∙ , =

Si ottiene con (c; d) = (0; 0). Cerchiamo poi ( )∈ tale che valga

′ ′ ′ ′ ′ ′

(, ( )

). − , + = (, ), = 1, = 0.

Sfruttando si ottiene il risultato con

↔

− , + ) = (1,0)

Usando

− = 1, − 10

↔( ) ( ) =

{ ( )

+ = 0,

2 2

− = + ≠ 0,

Siccome la matrice a sinistra è invertibile e il sistema ha soluzione unica:

−1

−

1 1

1 1

( ) = ( ) = ( ) = ( )

( ) ( )

−

0 0 −

2 2 2 2

+ +

L’inverso cercato è

−

(, ) = ( , ).

2 2 2 2

+ +

ℂ

Conseguenza: in valgono usuali regoli dell’algebra, in particolare quadrati e potenze di binomi,

formule per le equazioni di secondo grado, th di Ruffini ecc.

3. Enunciare e dimostrare la formula per il calcolo delle radici n-esime di un numero complesso.

Dim.: Esprimiamo α e l’incognita z in forma esponenziale

= , = ∈ ℝ,

, ρ, θ, σ, ϕ ρ, σ > 0.

Vale:

= ↔ ( ) = ⇔ = ;

l’ultima è un’equazione in due incognite da cui deriva

= √ ,

{ 2

= , ∈ ℤ

+

Quindi, le soluzioni sono esattamente n:

2

( )

+

= √ , k = 0, 1, 2, …, n – 1.

4. Enunciare il Teorema Fondamentale dell'Algebra e dimostrare come sua conseguenza che ogni

polinomio di grado n>0 a coefficienti complessi si scompone nel prodotto di n polinomi di primo

grado a coefficienti complessi.

Data l’equazione di grado n nell’incognita complessa z:

−1

+ + ⋯ + + = 0 #

−1 1 0

, , … , ∈ ℂ,

dove ≠ 0, n > 0,

−1 0

essa ha almeno una soluzione nel campo complesso.

Dim.: il teorema fondamentale dell’Algebra afferma l’esistenza di una soluzione dell’equazione (#)

che chiameremo α .

1

In virtù del teorema di Ruffini, il polinomio P(z) = (#) è divisibile per z - , dove P(z) = (z - ) (z)

1 1 1

e (z) è un polinomio di grado n - 1. Se n > 1, si può applicare nuovamente il t.f.A. a (z) = 0 e

1 1

nuovamente il t.d.R., ottenendo = (z – ) (z).

1 2 2

Applicando iterativamente i 2 teoremi è possibile ottenere (z) = (z – ) (z), dove (z) è un

−1

polinomio di grado 0;

ne segue (z) = . Vale quindi: P(z) = (z - )(z – ) … (z – ).

1 2

5. Dimostrare che se un numero complesso α è radice di un polinomio P(z) a coefficienti reali, anche

il coniugato di α è una radice di P(z). ̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅̅̅̅ ̅̅

+ = ̅ + , =

Per ipotesi, P(α) = 0. Ricordiamo le proprietà da cui

̅̅̅̅

= (̅) ∈ ℕ, ∈ ℝ ⟺ = ̅.

per n e l’equivalenza

Vale allora ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅̅

0̅ −1

0 = = () = + + ⋯ + +

−1 1 0

Con un po’ di passaggi di arriva a

−1

= (̅) + (̅) + ⋯ + ̅ + = (̅)

−1 1 0

6. Dimostrare che, se un polinomio P(z) a coefficienti reali di grado n > 0 non è divisibile per alcun

polinomio di grado uno a coefficienti reali, allora esso e divisibile per un polinomio di grado due, a